Urnenmodell als Markovkette < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Urne mit N [mm] \ge [/mm] 2 Kugeln in den Farben weiß udn schwarz,wobei es von jeder Farbe mindestens eine Kugel gibt. Rein zufällig wird eine Kugel ausgewählt und zusammen mit einer weiteren Kugel der gleichen Farbe aus einem externen Vorrat wieder zurückgelegt, Seien [mm] W_{n} [/mm] und [mm] S_{n} [/mm] jeweils die Anzahl der weißen bzw. schwarzen Kugeln nach n-maliger Durchführung dieses Verfahren.
a) Zeigen Sie, dass [mm] X_{n}:=(W_{n},S_{n}) [/mm] eine Markovkette auf dem Zustandsraum [mm] E={1,2,...}^{2} [/mm] ist. Bestimmen Sie die zugehörige Übergangsmatrix [mm] \Pi.
[/mm]
b) Sei [mm] h:=\bruch{w}{w+s} [/mm] der Anteil der weißen Kugeln einer Konfiguration (w,s) [mm] \in [/mm] E. Zeigen Sie, dass für die Funktion h gilt: [mm] \Pi*h=h, [/mm] d.h. [mm] \summe_{y \in E}^{}\Pi(x,y)h(y)=h(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] E
c) Zeigen Sie, dass es keine stationäre Startverteilung [mm] \alpha [/mm] für diese Markovkette gibt. |
Hallo Leute!
Bei dieser Aufgabe habe ich nicht ganz den Durchblick und weiß auch nicht, wie sie ansetzen soll.:-(
a) E ist der Zustandsraum und abzählbar, aber nicht endlich. Ich habe versucht, den Zustandsgraph aufzumalen, komm aber irgendwie auf keinen grünen Zweig, weil ja je nachdem,ob ich eine weiße oder schwarze Kugel gezogen habe, erhöht sich nach jedem Zug die Gesamtzahl der jeweiligen Farbe um 1. D.h. nach jedem Schritt erhöht sich immer weiß oder schwarz um 1. Wie schreibe ich dazu die Übergangsmatrix auf? [mm] \Pi [/mm] müsste einen nxn-Matrix sein, deren Zeilen jeweils immer Summe 1 haben.
b) Wenn man [mm] \Pi [/mm] schon mal hat, könnte man die b) ja auch ausrechnen...
c) Es gilt für die stationäre Verteilung [mm] \alpha:
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\pi^{n}(x,y)=:\alpha(y). [/mm] Diese existiert nach dem Ergodensatz nur dann, wenn E endlich ist. Hier ist E nicht endlich, und es müsste ein k [mm] \ge [/mm] 1 geben mit [mm] \pi^{k}(x,y)>0.
[/mm]
Man soll hier beispielsweise die Anzahl aller Kugeln in jedem Schritt betrachten. Nach einem Zug erhöht sich die Gesamtzahl der Kugeln der jeweils gezogenen Kugel um 1.
Als Tipp habe ich bekommen, dass man die Menge [mm] A_{n}:= [/mm] {(w+s) [mm] \in [/mm] E:w+s=n} betrachten soll.
Kann mir bitte jemand helfen,und mir sagen, welche Überlegungen man sich hier machen muss, und als Modell aufschreiben kann? Wie kommt man hier insbesondere auf diese Matrix?
DANKE!
Infinity
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 21.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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