Urnenmodell mit Farben&Zahlen < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:13 Di 24.03.2009 | | Autor: | kai09 |
| Aufgabe | | In einer Urne befinden sich 52 Kugeln, davon 13 blaue, 13 rote, 13 gelbe und 13 weiße . Die Kugeln jeder Farbe sind mit den Zahlen 1 bis 13 durchnummeriert. Aus der Urne werden zufällig 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass fünf aufeinanderfolgende Zahlen (egal welcher Farbe und egal in welche Reihenfolge) gezogen werden. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hat hier jemand einen Ansatz?!
Danke,
Gruß
Kai
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> hat hier jemand einen Ansatz?!
Ein Ansatz wäre:
Es gibt insgesamt [mm] \bruch{52*51*50*49*48}{1*2*3*4*5} [/mm] Möglichkeiten, 5 der 52 Kugeln zu ziehen.
Nun muss man raus finden, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass diese in einer Reihenfolge sind.
Wie viele Reihenfolgen sind möglich?
Antwort: 1-2-3-4-5 ... bis ... 9-10-11-12-13
Und wie viele Möglichkeiten gibt es für eine Reihenfolge ?
Denke an die unterschiedlichen Farben ...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mi 25.03.2009 | | Autor: | kai09 |
Hallo rabilein,
die Gesamtanzahl habe ich auch raus. Die steht dann, wenn man von einem Laplace-Experiment ausgeht, unten im Nenner.
Nur was kommt in den Zähler?
Es gibt 9 Kombinationen 1...5, 2...6, 3...7 ,........ ,9.....13.
Da die Reihenfolge egal ist, kann man diese 5 jeweils auf 5! verschiedene Arten anordnen.
Bisher also 9 * 5!.
[mm] \bruch{9*5!}{\vektor{52 \\ 5}} [/mm] = 0,000416
Die Wahrscheinlichkeit klingt zwar plausibel, aber wir haben die verschiedenen Farben noch nicht betrachtet...
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> Es gibt 9 Kombinationen 1...5, 2...6, 3...7 ,........
> ,9.....13.
Ja. Richtig.
> Da die Reihenfolge egal ist, kann man diese 5 jeweils auf
> 5! verschiedene Arten anordnen.
>
> Bisher also 9 * 5!
Das ist doppelt gemoppelt. Die Reihenfolge ist schon bei der Anzahl der Möglichkeiten berücksichtigt
>
> ... aber wir haben die verschiedenen Farben noch nicht betrachtet
Das ist einfach: Jede der 5 Zahlen hat 4 Möglichkeiten.
Also 4*4*4*4*4
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 25.03.2009 | | Autor: | kai09 |
Nabend Rabilein,
doppelt gemoppelt kann man so nicht ganz sagen. Ich habe die Lösung.
Also erstmal ist ja klar, dass es 9 Kombinationen gibt 1,2,3,4,5 ... 9,10,11,12,13.
So beim weiten Vorgehen muss man ab hier jetzt unterscheiden zwischen zwei Fällen:
(i)
Man unterscheidet innerhalb der Kombinationen nach Reihenfolge, d.h. z.B. 12345 ist nicht gleich 12354. An dieser Stelle käme dann die 5!, weil es 5! = 5*4*3*2 Möglichkeiten gibt 5 unterscheidbare Zahlen anzuordnen.
Diese 5! Möglichkeiten gibt es für jede der 9 Zahlenfolgen.
(ii)
Man unterscheidet nicht, d.h. die 5! Fakultät entfällt und die Reihenfolge 12345 ist gleich 12354. (und entsprechend bei allen anderen 8 Zahlenfolgen).
So. Grundsätzlich kann man das Ganz wieder als Laplace-Experiment betrachten, d.h.
P = [mm] \bruch{Anzahl der guenstigen Ereignisse}{Anzahl der moeglichen Ereignisse }.
[/mm]
Den Zähler oben haben wir durhc (i) bzw. (ii) geklärt.
Der Nenner richtet sich aber nun natürlich auch danach. Wenn wir im Zähler oben nach Reihenfolge unterscheiden (i), dann muss das im Nenner auch geschehen. Es gibt dann [mm] \bruch{52!}{(52-5)!} [/mm] Möglichkeiten, 5 aus 52 Zahlen ohne zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge (weil (i)) zu ziehen.
Die Gesamtlösung ergibt sich dann wie folgt:
P(alle unterschiedlich) = [mm] \bruch{5^{4}*9*5!}{\bruch{52!}{(52-5)!}} \approx [/mm] 0,0021643, wobei die [mm] 5^{4} [/mm] durch deine Überlegung bzgl. der Farben zu Stande kommt.
Wenn man allerdings nicht nach Reihenfolge unterscheidet (ii), dann darf man das im Nenner auch nicht machen. D.h. man braucht die Formel für Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Hier die entsprechende Lösung:
P(alle unterschiedlich) = [mm] \bruch{5^{4}*9}{\vektor{52 \\ 5}} \approx [/mm] 0,0021643.
Man sieht, die Wahrscheinlichkeiten sind gleich. Man muss nur konsequent im Zähler und im Nenner die gleichen Fälle betrachten.
Danke für deine Anregung bzgl. der Farben und deine Hilfe,
Gruß
Kai
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Ich hatte bei meinem allerersten Posting die Reihenfolge schon rausgenommen, indem ich die Anzahl der Möglichkeiten mit [mm] \bruch{52*51*50*49*48}{1*2*3*4*5} [/mm] angab.
Dieses 1*2*3*4*5 im Nenner darfst du nur ein einziges Mal tun.
Deshalb schrieb ich "Doppelt gemoppelt", als du es später nochmals tatest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Do 26.03.2009 | | Autor: | kai09 |
Hallo,
verstehe deine Antwort nicht ganz.
Stimmst du also nicht mit meiner Lösung überein?
Gruß
Kai
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> Stimmst du also nicht mit meiner Lösung überein?
Du hast [mm] 4^{5} [/mm] und [mm] 5^{4} [/mm] verwechselt.
Für die Reihe 5-6-7-8-9 gibt es 4*4*4*4*4 = [mm] 4^{5} [/mm] Möglichkeiten.
Ansonsten ist deine Lösung korrekt.
Allerdings fand ich es umständlich, dass du es auf ZWEI Arten rechnest, nur um zu "beweisen", dass beide Male dasselbe raus kommt.
(Es wäre eher verwunderlich, wenn da jedes Mal was anderes raus käme)
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