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Urnenproblem: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Di 02.08.2005
Autor: Janni

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, aber keine Ahnung. Kann mir jemand helfen?

Aufgabe: In einer Urne befinden sich 1000 Kugeln. Davon tragen 500 Kugeln die Zahl 0, 350 Kugeln tragen die Zahl 1, 100 die Zahl 2, 45 die Zahl 5 und 5 Kugeln die Zahl 10.
Bei einer Tombola wird aus der Urne eine Kugel zufällig gezogen, und der Einsatz der Spieler von € 10,- multipliziert mit der gezogenen Zahl, wird ausbezahlt.

a) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X an, die den Gewinn des Veranstalters der Tombola beschreibt.
b) Berechnen Sie E (X)


Ich komme mit der Aufgabe irgendwie nicht klar. Den Erwartungswert kann ich, hoffe ich jedenfalls, alleine berechnen, aber dafür brauche ich doch die Zufallsvariable, oder?

Ich weiß nur so viel: Jeder Zufallsvariablen X kann ein Wert xi und die Wahrscheinlichkeit p(X=xi) zugeordent werden. Aber das hilft mir irgendwie nicht weiter.
Ich wäre für jegliche Hilfe und Tipps sehr dankbar.
Vielen Dank und Gruß

        
Bezug
Urnenproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Di 02.08.2005
Autor: Sigrid

Hallo Janni
>  
> ich habe eine Aufgabe, aber keine Ahnung. Kann mir jemand
> helfen?
>  
> Aufgabe: In einer Urne befinden sich 1000 Kugeln. Davon
> tragen 500 Kugeln die Zahl 0, 350 Kugeln tragen die Zahl 1,
> 100 die Zahl 2, 45 die Zahl 5 und 5 Kugeln die Zahl 10.
>  Bei einer Tombola wird aus der Urne eine Kugel zufällig
> gezogen, und der Einsatz der Spieler von € 10,-
> multipliziert mit der gezogenen Zahl, wird ausbezahlt.
>  
> a) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X an, die
> den Gewinn des Veranstalters der Tombola beschreibt.
>  b) Berechnen Sie E (X)
>  
>
> Ich komme mit der Aufgabe irgendwie nicht klar. Den
> Erwartungswert kann ich, hoffe ich jedenfalls, alleine
> berechnen, aber dafür brauche ich doch die Zufallsvariable,
> oder?
>  
> Ich weiß nur so viel: Jeder Zufallsvariablen X kann ein
> Wert xi und die Wahrscheinlichkeit p(X=xi) zugeordent
> werden. Aber das hilft mir irgendwie nicht weiter.
>  Ich wäre für jegliche Hilfe und Tipps sehr dankbar.

Der Gewinn des Veranstalters ist die Einnahme (also 10 €) verringert um den  an den Spieler auszuzahlenden Gewinn.
Die Zufallsvariable kannst du durch diesen Wert definieren.

Dann ist
[mm] p(X=10 - 10 \cdot 0) = p(X= 10)= \bruch{500}{1000} = 0,5 [/mm] ,
da auf 500 von 1000 Kugeln eine 0 steht.

Weiter ist
[mm] p(X=10 - 10 \cdot 1) = p(0) = \bruch{350}{1000} =0,35[/mm]

[mm] p(X=10 - 10 \cdot 2) = p(-10) = \bruch{100}{1000} =0,1[/mm]

usw.

Versuch mal, ob du jetzt weiter kommst

Gruß
Sigrid


Bezug
                
Bezug
Urnenproblem: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Di 02.08.2005
Autor: Janni

Hallo Sigrid,

erstmal vielen Dank für die Hilfe.

Wenn ich es richtig verstanden habe, dann sieht die Verteilung so aus:

xi           0          1            2           5              10


p(X=xi)    0,5         0,35        0,1         0,045          0,005



Der Ergebnisraum ist dann

[mm] 0*\bruch{500}{1000}+1*\bruch{350}{1000}+2*\bruch{100}{1000}+5*\bruch{45}{1000}+10*\bruch{5}{1000}=0,825 [/mm]

Ich hoffe, dass mein Ergebnis richtig ist. Aber ich bin auf jeden Fall sehr dankbar für die schnelle Hilfe.

Gruß


Bezug
                        
Bezug
Urnenproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Di 02.08.2005
Autor: Sigrid

LIebe Janni,

> Wenn ich es richtig verstanden habe, dann sieht die
> Verteilung so aus:
>  
> xi           0          1            2           5          
>     10
>  
> p(X=xi)    0,5         0,35        0,1         0,045        
>   0,005
>  
>
>
> Der [red] Erwartungswert [/mm] ist dann
>
> [mm]0*\bruch{500}{1000}+1*\bruch{350}{1000}+2*\bruch{100}{1000}+5*\bruch{45}{1000}+10*\bruch{5}{1000}=0,825[/mm]
>  
> Ich hoffe, dass mein Ergebnis richtig ist.

Hier hast du jetzt den Erwartungswert einer anderen Zufallsvariablen berechnet. Du solltest doch den Erwartungswert für den Gewinn des Veranstalters ausrechnen.
Der Veranster gewinnt 10€, wenn der Teilnehmer eine 0 zieht, Wird eine 1 gezogen, so gibt der Veranstalter die bezahlten 10 € zurück, der Gewinn ist also 0. In den anderen Fällen muss der Veranstalter mehr ausbezahlen, als er einnimmt. Wird eine 10 gezogen, so verliert er z.B. 90€ (100€-10€)
Diese Gewinne (Verluste werden einfach als negative Gewinne gezählt) sind die möglichen Werte deiner Zufallsvariablen. Du musst in deiner Tabelle also die Werte für [mm] x_i [/mm] verändern.

xi         10        0         -10       -40       -90  
p(X=xi)   0,5      0,35        0,1       0,045     0,005  

Das ist die Wahrscheinlichgkeitsverteilung für den Gewinn des Veranstalters. Daraus kannst du den Erwartungswert, d.h. den Gewinn, den der Veranstalter auf Dauer pro Spiel erwarten kann.

Du kannst aber auch mit deiner Tabelle diesen Wert berechnen. Dein Erwartungswert von 0,825 gibt die zu erwartende durchschnittliche Punktzahl auf der Kugel an. (D.h. wenn du genügend oft spielst, ist es dasselbe als wenn du aus 1000 Kugeln, die alle die 0,825 tragen, eine ziehst.) Da du den 10-fachen Wert ausgezahlt bekommst, kannst du also im Mittel eine Auszahlung von 8,25€ erwarten. Dafür musst du aber 10€ bezahlen. Der Erwartungswert für den Gewinn des Veranstalters müsste also 1,75€ sein. Guck mal, ob du diesen Wert auch herausbekommst.

Gruß
Sigrid

> Aber ich bin auf
> jeden Fall sehr dankbar für die schnelle Hilfe.
>  
> Gruß
>  


Bezug
                                
Bezug
Urnenproblem: Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Di 02.08.2005
Autor: Janni

Hallo Sigrid,


habe auch €1,75 raus bekommen. Danke, für die schnelle Hilfe.
Gruß

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