V.I. Teilbare von 7 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 29.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mittels vollständiger induktion dass jede der Zahlen [mm] $2^{3n} [/mm] -1$ n [mm] \in \IN [/mm] durch 7 teilbar ist |
wie soll man sowas beweisen?
mir ist schon klar dass [mm] $2^{3n}$ [/mm] immer das 8fashe einer zahl ist wenn man dan -1 mach ist es das 7 fache dieser.
aber wie soll man das hier beweisen?
[mm] $2^{3n} [/mm] -1 = 7n$
A(1), Bassis
=> [mm] $2^{3*1} [/mm] -1 = 7*1$
=> $8 -1 = 7$
=> $7=7$ Basis OK!
A(n), Annahme es stimmt für jedes n
=> [mm] $2^{3n} [/mm] -1 = 7n$
A(n+1), beweis das es auch für n+1 stimmt
=> [mm] $2^{3(n+1)} [/mm] -1 = 7(n+1)$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo masa-ru!
Machen wir mal weiter mit dem Induktionsschritt für $A(n+1)_$ :
[mm] $$2^{3*(n+1)}-1 [/mm] \ = \ [mm] 2^{3n+3}-1 [/mm] \ = \ [mm] 2^{3n}*2^3-1 [/mm] \ = \ [mm] 2^{3n}*8-1 [/mm] \ = \ [mm] 2^{3n}*(7+1)-1 [/mm] \ = \ [mm] 7*2^{3n}+\red{2^{3n}-1}$$
[/mm]
Und nun die Induktionsvoraussetzung anwenden auf den roten Term: denn dieser ist durch 7 teilbar.
Und was ist mit dem Term [mm] $7*2^{3n}$ [/mm] - ist dieser durch 7 teilbar?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Sa 29.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
[mm] $7\cdot{} 2^{3n}=7n+7 [/mm] $ | durch 7
$ [mm] 2^{3n} [/mm] = n+1$ | -1
$ [mm] 2^{3n}-1 [/mm] = n$
das war die annahme aber ist es damit bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo masa-ru!
Ich behandle hier gar keine Gleichung sondern habe lediglich einen Term umgeformt. Da "wandert" also auch nichts von links nach rechts oder umgekehrt.
Also haben wir festgestellt, dass [mm] $7*2^{3n}$ [/mm] durch 7 teilbar ist.
Und was ist nun mit dem Term [mm] $2^{3n}-1$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 29.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Aber es ist ja nur bewiesen wenn man am schluß linken term gleich dem rechten da stehen hat???
mir ist selbst klar das $ 2^{3n}-1 $ durch 7 teilbar ist!
aber wie beweise ich das richtig :-(
nach der umformung hast du sozusagen :
$\blue{7(2^{3n})+\red{2^{3n}-1} =\blue{7(n}+(\red{1}))$
aber wie soll es weiter gehen ???
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> Aber es ist ja nur bewiesen wenn man am schluß linken term
> gleich dem rechten da stehen hat???
Hallo,
ich durchschaue nicht so recht, welchen der Terme Du mit linkem und rechtem Term meinst.
Es geht doch hier um eine Induktion.
Induktionsanfang war bereits erledigt, die Induktionsvorraussetzung ist (zur Erinnerung):
I.V.: Es ist $ [mm] 2^{3n} [/mm] -1 $ für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ durch 7 teilbar.
Im Induktionsschluß ist zu zeigen, daß unter dieser Voraussetzung auch
[mm] 2^{3(n+1)} [/mm] -1 durch 7 teilbar ist.
Loddar hatte dies für Dich mundgerecht umgeformt zu
[mm] 2^{3(n+1)} [/mm] -1=[mm]\blue{7(2^{3n})+\red{2^{3n}-1} [/mm]
Du hattest irgendwo festgestellt, daß natürlich [mm] 7(2^{3n}) [/mm] durch 7 zu teilen ist.
> mir ist selbst klar das [mm]2^{3n}-1[/mm] durch 7 teilbar ist!
>
> aber wie beweise ich das richtig :-(
Da ist nichts zu beweisen. Das ist so lt. Induktionsvoraussetzung.
Lt: I.V. ist [mm] 2^{3(n+1)} [/mm] -1 durch 7 teilbar, also gibt es ein t [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] 2^{3(n+1)} [/mm] -1=7t.
> aber wie soll es weiter gehen ???
So:
[mm] 2^{3(n+1)} [/mm] -1=...= [mm] 7(2^{3n}+t), [/mm] also ist [mm] 2^{3(n+1)} [/mm] -1 durch 7 teilbar.
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Dein Problem scheint mir weniger in der Rechnung als im Wesen der Induktion begründet zu liegen.
Guck Dir nochmal allgemein an, wie eine Induktion abläuft.
Die Induktionsvoraussetzung ist eine Voraussetzung, man muß sie nicht beweisen.
(Falls Dein Problem dort liegt, wo ich es vermute, ein Rat: lerne zunächst einfach, eine Induktion korrekt durchzuführen - auch wenn Du letzte Zweifel an ihrer Funktionstüchtigkeit nicht ausräumen kannst.
Daß Du Induktion kannst, ist erstmal das Wichtigste, ihre Funktionstüchtigkeit ist bewiesen, und eines Tages wirst auch Du verstehen, warum sie funktioniert.)
Gruß v. Angela
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> Annahme [mm]\red{2^{3n} -1}[/mm] ist durch 7 teilbar!
>
> [mm]\blue{7(2^{3n})+\red{2^{3n}-1}[/mm] (danke @Loddar)
>
> hier ist der blaue teil duch 7 teilbar, und der rot
> dargestellter teil ist duch 7 teilbar, weil es angenohmen
> wurde  ????
Ganz genau.
Ich will versuchen, Dir kurz zu erklären, warum die Aussage nun bewiesen ist:
Du hattest gezeigt, daß sie für n=1 gilt.
Im folgenden ist gezeigt worden: wenn sie für ein beliebiges n gilt, dann auch für das darauffolgende, also für n+1.
Da Du die Gültigkeit für n=1 gezeigt hast, folgt also die Gültigkeit für n=1+1=2, hieraus die für n=2+1=3 und immer so weiter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Sa 29.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
ich danke dir Angela!
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