V.intervalle Verträglichkeit < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:45 So 13.07.2014 | | Autor: | steve.joke |
| Aufgabe | In einer Firma werden täglich 2450 Prozessoren hergestellt. Es ist bekannt, dass im Durchschnitt 26 fehlerhaft sind.
Bestimme unter Verwendung der Normalverteilung das 92%-Vertrauensintervall für die Anzahl fehlerhafter Prozessoren.
In einer anderen Firma werden an einem Tag 35 fehlerhafte Prozessoren identifiziert. Entscheide, ob diese Anzahl verträglich ist mit dem 92%-Vertrauensintervall |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zu dieser Verträglichkeit.
"Ergebnisse, die innerhalb der 1,96∙σ-Umgebung (95%) von μ bzw. der 1,96∙ σ/n-Umgebung von p liegen, werden als verträglich mit der zugrunde liegenden Erfolgswahrscheinlichkeit p bezeichnet."
Zur Aufgabe:
Gegeben: n=2450, [mm] \gamma=92%, [/mm] Radius der Umgebung z=1,76, X=26 und X normalverteilt.
Ich kriege als Vertrauensintervall: [mm] p\in[0.00754;0.0149]
[/mm]
In Anzahl von fehlerhaften Prozessoren ergibt sich ein Intervall [19;36]
Ist es jetzt so, dass X=35 zwar im Vertrauensintervall liegt, dennoch nicht mit [mm] \gamma=92% [/mm] verträglich ist, da man nur von verträglich spricht, wenn es in der 95%-Umgebung um [mm] \mu [/mm] ist und alles andere ist nicht verträglich, verstehe ich die Definition oben so richtig?
Grüße
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Hallo,
ich stelle mal auf 'teilweise beantwortet', da ich nicht nachgerechnet habe.
> ich habe mal eine Frage zu dieser Verträglichkeit.
>
> "Ergebnisse, die innerhalb der 1,96∙σ-Umgebung (95%) von
> μ bzw. der 1,96∙ σ/n-Umgebung von p liegen, werden als
> verträglich mit der zugrunde liegenden
> Erfolgswahrscheinlichkeit p bezeichnet."
>
> Zur Aufgabe:
> Gegeben: n=2450, [mm]\gamma=92%,[/mm] Radius der Umgebung z=1,76,
> X=26 und X normalverteilt.
>
> Ich kriege als Vertrauensintervall: [mm]p\in[0.00754;0,0.0149][/mm]
>
> In Anzahl von fehlerhaften Prozessoren ergibt sich ein
> Intervall [19;36]
>
> Ist es jetzt so, dass X=35 zwar im Vertrauensintervall
> liegt, dennoch nicht mit [mm]\gamma=92%[/mm] verträglich ist, da
> man nur von verträglich spricht, wenn es in der
> 95%-Umgebung um [mm]\mu[/mm] ist und alles andere ist nicht
> verträglich, verstehe ich die Definition oben so richtig?
Wenn der Wert im Vertrauensintervall drin liegt, dann liegt er drin. Punkt. Das ist doch der Sinn der Sache. Also ist es - richtige Rechenergebnisse vorausgesetzt - hier so, dass die Frage nach der Veträglichkeit zu bejahen ist. Beachte in diesem Zusammmenhang, dass da extra steht, dass es sich um die Zahl defekter Prozessoren an einem Tag handelt.
Die 95% bei Konfidenzintervallen sind einfach nur ein sehr häufig verwendeter Wert. Das hat ja gerade den Vorteil, dass man eben die Umgebung um den Erwartungs- bzw. Mittelwert sofort als Vielfaches der Standdardabweichung angeben kann, ohne groß rechnen zu müssen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
also die Ergebnisse müssten eigentlich stimmen.
Das z mit z=1,76 war natürlich nicht gegeben, das habe ich selber bestimmt aus der Sicherheitswahrscheinlichkeit von 92%.
Die Sache war halt nur, im Internet und in allen Lehrbüchern findet man immer nur:
"Ergebnisse, die innerhalb der 1,96∙σ-Umgebung (95%) von μ bzw. der 1,96∙ σ/n-Umgebung von p liegen, werden als verträglich mit der zugrunde liegenden Erfolgswahrscheinlichkeit p bezeichnet."
Deswegen dachte ich, diese Verträglichkeit bezieht sich nur aauf das 95%-Vertrauensintervall und alles was außerhalb liegt, ist somit nicht verträglich. Dann ist diese Definition wohl eher als ein Bsp. anzusehen.
http://b-cw-waos.logoip.de:8079/fachbereiche/mathematik/klassen-und-kurse/2009-10/leistungskurs-13/arbeitsblatter/4.-semester/stochastik/sigmaumgebungen2.pdf/at_download/file
Dort findet man die Definition z.B. auch auf Seite 2.
Grüße
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Hallo,
> Hallo,
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> also die Ergebnisse müssten eigentlich stimmen.
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> Das z mit z=1,76 war natürlich nicht gegeben, das habe ich
> selber bestimmt aus der Sicherheitswahrscheinlichkeit von
> 92%.
>
> Die Sache war halt nur, im Internet und in allen
> Lehrbüchern findet man immer nur:
>
> "Ergebnisse, die innerhalb der 1,96∙σ-Umgebung (95%) von
> μ bzw. der 1,96∙ σ/n-Umgebung von p liegen, werden als
> verträglich mit der zugrunde liegenden
> Erfolgswahrscheinlichkeit p bezeichnet."
>
> Deswegen dachte ich, diese Verträglichkeit bezieht sich
> nur aauf das 95%-Vertrauensintervall und alles was
> außerhalb liegt, ist somit nicht verträglich. Dann ist
> diese Definition wohl eher als ein Bsp. anzusehen.
Nochmal: was ein Konfidenzintervall ist, das ist definiert. Zu welcher Irrtumswahrscheinlichkeit bzw. zu welchem Konfidenzniveau das Intervall berechnet werden soll, das hängt ganz von der Anwendung ab. Während man bei alltäglichen Statistiken oft die Werte 90% bzw. 95% findet, verwendet bspw. die Teilchen-Physik meistens Niveaus, bei denen vorne einen 99 und hinter dem Komma auch noch eine Anzahl 9er stehen...
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> http://b-cw-waos.logoip.de:8079/fachbereiche/mathematik/klassen-und-kurse/2009-10/leistungskurs-13/arbeitsblatter/4.-semester/stochastik/sigmaumgebungen2.pdf/at_download/file
>
> Dort findet man die Definition z.B. auch auf Seite 2.
>
Meiner bescheidenen Meinung nach ist in der betreffenden Pdf eben der Begriff der Verträglichkeit für das sehr übliche Konfidenzniveau von 95% definiert, während dein Aufgabentext eindeutig nahelegt, dass sich die Verträglichkeit hier auf ein 92%-Intervall beziehen soll.
PS: ich hab jetzt dein Intervall nochmal nachgerechnet. Das sollte [16;34] sein, sonst kommst du nicht annähernd Richtung 92%. Außerdem hast du wohl mit dem falschen Mittelwert von 26 gerechnet.
Rechne nochmals nach und gib bitte in Zukunft grundsätzlich deine Rechnung an oder kommentiere wenigstens deinen Ansatz und deine Rechenschritte. Es muss ja auch klar sein, dass Fragesteller und Antwortgeber vom gleichen Verfahren ausgehen.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal.
jetzt verstehe ich nicht, wie du auf dieses Intervall gekommen bist.
Ich habe die Aufgabe mit dieser Näherungsformel berechnet:
[mm] h_{n}-z\cdot{}\wurzel{\bruch{p(1-p)}{n}}\le p\le h_{n}+z\cdot{}\wurzel{\bruch{p(1-p)}{n}}
[/mm]
Den Radius habe ich bestimmt mit: [mm] \phi(z)=\bruch{1+\gamma}{2}=0,96
[/mm]
0,96 in der Tabelle nachgeschlagen ergibt: z=1,76
also: [mm] (\bruch{26}{2450}-p)^2-(1,76)^2*\bruch{p(1-p)}{2450}\le [/mm] 0
Mein GTR hat mir hier als Lösung rausgegeben: [mm] p\approx0,007754, p\approx0,0149 [/mm] ⇒ [mm] p\in[0.00754;0.0149]
[/mm]
Also [2450*0.00754; [mm] 2450*0.0149]\approx [/mm] [19; 36]
Wo soll ich denn einen Fehler gemacht haben?
Grüße
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Moin,
leider fuktioniert zum wiederholten Mal die Zitierfunktion nicht.
Auf deine Frage nach dem Fehler:
[mm] p=\bruch{25}{2450}=\bruch{1}{98}\approx{0.0102}
[/mm]
Das von dir ausgerechnete Intervall [19;36] deckt - eine Binomialverteilung mit den oben angegebenen Parametern vorausgesetzt - eine Wahrscehinlichkeit von ca. 89.5% ab. Und das sind halt keine 92% ...
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal.
Ich hatte am Anfang in der Aufgabe einen kleinen Fehler im Aufgabentext. Es musste 26 heißen und nicht 25.
Und nochmal meine Rechnung.
> Ich habe die Aufgabe mit dieser Näherungsformel berechnet:
> $ [mm] h_{n}-z\cdot{}\wurzel{\bruch{p(1-p)}{n}}\le p\le h_{n}+z\cdot{}\wurzel{\bruch{p(1-p)}{n}} [/mm] $
> Den Radius habe ich bestimmt mit: $ [mm] \phi(z)=\bruch{1+\gamma}{2}=0,96 [/mm] $
> 0,96 in der Tabelle nachgeschlagen ergibt: z=1,76
> also: $ [mm] (\bruch{26}{2450}-p)^2-(1,76)^2\cdot{}\bruch{p(1-p)}{2450}\le [/mm] $ 0
> Mein GTR hat mir hier als Lösung rausgegeben: $ [mm] p\approx0,007754, p\approx0,0149 [/mm] $ ⇒ $ [mm] p\in[0.00754;0.0149] [/mm] $
> Also [2450*0.00754; $ [mm] 2450\cdot{}0.0149]\approx [/mm] $ [19; 36]
Ich kriege mit der Rechnung diese Ergebnisse. Ich kann mir dann ja nicht andere Grenzen zurechtschneiden, oder?
Wo steckt denn mein Rechenfehler?
Viele Grüße
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Hallo,
und wieder die Zitierfunktion...
Ich probiers mal 'von Hand':
> Ich hatte am Anfang in der Aufgabe einen kleinen Fehler im Aufgabentext. Es musste 26 heißen und nicht 25.
Ok, dass ändert natürlich alles.
> 0,96 in der Tabelle nachgeschlagen ergibt: z=1,76
Das ist etwas unsauber abgelesen. Näher dran liegt z=1.75, per CAS getestet hätte ich dir noch z=1.751 als noch genaueren Wert anzubieten.
Ich komme damit jetzt auf [17;35], und das deckt dann das geforderte Niveau von 92% deutlich ab (mit gut 94%).
Rechne selbst nochmals nach, aber die z=1.76 sind auf jeden Fall falsch abgelesen, wenn du mit einem zweistelligen Wert rechnen möchtest, dann nimm z=1.75.
Was ich auch noch verwirrend finde ist die Verwendung des Symbols [mm] h_n. [/mm] Hier sollte doch ein Schätzer für eine gesuchte Wahrscheinlichkeit stehen, also so etwas wie [mm] \hat{p}, [/mm] aber doch nicht eine absolute Häufigkeit?
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal.
danke, habe die Sachen jetzt auch nochmal nachgerechnet. Und mir sind dabei nochmal paar Fragen aufgekommen.
Ich kriege als Vertrauensintervall dann: V=[0.00699;0.0142]
Und damit: [mm] [2450*0.00699=17.1255;2450*0.0142=34.79]\approx[18;34]
[/mm]
So, ich war es gewöhnt, bei Aufgaben des Typs "Schluss von der Gesamt auf die Stichprobe" die linke Grenze aufzurunden und die rechte abzurunden. Wenn ich dein Intervall sehe, hast du die linke Grenze abgerundet und die rechte Grenze aufgerundet. Gibt es hierfür eine Begründung, macht man das Runden immer so? Denn wie gesagt, ich habe es sonst immer anders gemacht.
> Ich komme damit jetzt auf [17;35], und das deckt dann das geforderte Niveau von 92% deutlich ab (mit gut 94%).
Darf man fragen wie du hier die 94% berechnet hast? Mit der Normalverteilung? Wo hast du dann ein [mm] \mu [/mm] bzw. [mm] \sigma [/mm] her?
Grüße
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Hallo,
> Hallo nochmal.
>
> danke, habe die Sachen jetzt auch nochmal nachgerechnet.
> Und mir sind dabei nochmal paar Fragen aufgekommen.
>
> Ich kriege als Vertrauensintervall dann:
> V=[0.00699;0.0142]
Ja, bei dem Intevall für p hatte ich das selbe heraus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und damit:
> [mm][2450*0.00699=17.1255;2450*0.0142=34.79]\approx[18;34][/mm]
>
> So, ich war es gewöhnt, bei Aufgaben des Typs "Schluss von
> der Gesamt auf die Stichprobe" die linke Grenze aufzurunden
> und die rechte abzurunden. Wenn ich dein Intervall sehe,
> hast du die linke Grenze abgerundet und die rechte Grenze
> aufgerundet. Gibt es hierfür eine Begründung, macht man
> das Runden immer so? Denn wie gesagt, ich habe es sonst
> immer anders gemacht.
Die gängige Definition des Konfidenzintervalls ist dahingehend formuliert, dass die in dem Intervall liegenden Stichprobenwerte das vorgegebene Intervall (hier: 92%) auf jeden Fall überdecken. Oder anders ausgedrückt: die Wahrscheinlichkeit dafür dass ein Wert außerhalb des Intervall liegt, sollt höchstens gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit sein. Um das zu erreichen, muss man vom Erwartungswert weg runden, so wie ich es gemacht habe.
Wenn ich es noch recht in Erinnerung habe, gibt es aber auch Situationen, wo das anders gemacht wird. Von daher solltest du in deinen Unterlagen nochmals nachsehen, was ihr zu diesem Thema gelernt bzw. definiert habt. Es ist ein wenig schwierig, zu dieser Theamtik im Netz zu recherchieren. Es interessiert mich zwar selbst auch, aber ich habe momentan leider nicht die Zeit dazu.
Nochmals zusammengefasst: damit das Intervall tatsächlich mindestens 92% abdeckt, habe ich an beiden Enden vom Erwartungswert weg gerundet.
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> > Ich komme damit jetzt auf [17;35], und das deckt dann das
> geforderte Niveau von 92% deutlich ab (mit gut 94%).
>
> Darf man fragen wie du hier die 94% berechnet hast? Mit der
> Normalverteilung? Wo hast du dann ein [mm]\mu[/mm] bzw. [mm]\sigma[/mm] her?
Um ehrlich zu sein: per Binomialverteilung mit dem Rechner TI-nspire cx CAS. Das ist keine Kunst, denn der hat die Binomialverteilung mit Eingabemaske an Bord, so dass man auch Wahrscheinlichkeiten der Form [mm] P(a\le{X}\le{b}) [/mm] direkt ausrechnen kann.
Gruß, Diophant
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Hallo,
eine richtige Definition zu den Grenzen habe ich nicht gefunden. Deswegen wollte ich ja hier nochmal nachfragen. Ich schaue später aber nochmal genauer nach.
> Um ehrlich zu sein: per Binomialverteilung mit dem Rechner TI-nspire cx CAS. Das ist keine Kunst, denn der hat die Binomialverteilung mit Eingabemaske an Bord, so dass man auch Wahrscheinlichkeiten der Form $ [mm] P(a\le{X}\le{b}) [/mm] $ direkt ausrechnen kann.
Und hast du hierbei für p benutzt? Also [mm] P(17\le{X}\le{35})=\summe_{k=17}^{35}B(2450;???;k)
[/mm]
Grüße
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Hallo,
> Hallo,
>
> eine richtige Definition zu den Grenzen habe ich nicht
> gefunden. Deswegen wollte ich ja hier nochmal nachfragen.
> Ich schaue später aber nochmal genauer nach.
>
> > Um ehrlich zu sein: per Binomialverteilung mit dem Rechner
> TI-nspire cx CAS. Das ist keine Kunst, denn der hat die
> Binomialverteilung mit Eingabemaske an Bord, so dass man
> auch Wahrscheinlichkeiten der Form [mm]P(a\le{X}\le{b})[/mm] direkt
> ausrechnen kann.
>
> Und hast du hierbei für p benutzt? Also
> [mm]P(17\le{X}\le{35})=\summe_{k=17}^{35}B(2450;???;k)[/mm]
>
Ja genau, mit [mm] p=\bruch{26}{2450}=\bruch{13}{1225} [/mm] 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Mi 16.07.2014 | | Autor: | steve.joke |
Danke
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