VF, Dichte, Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Di 07.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo!
Bin neu hier, die Seite wurde mir empfohlen, bin Mathe-Studentin im Grundstudium, höre Einführung in die Stochastik, hoffe mir kann jemand helfen.
1.Aufgabe:
"Lebensdauer UC-verteilte ZufallsgrößenII":
Ein elektrisches Netzwerk bestehe aus 2 Widerständen, die parallel geschaltet sind. Die Lebensdauern [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] von [mm] R_1 [/mm] bzw. [mm] R_2 [/mm] können als unabhängige UC[0,L]-bzw. UC[0,2L]-verteilte Zufallsgrößen aufgefasst werden. (Nach Ablauf dieser Lebensdauern verlieren die Widerstände ihre elektrische Leitfähigkeit vollständig.) Mit T werde die Lebensdauer des gesamten Netzwerkes bezeichnet (das gesamte Netzwerk wird als funktionsfähig angesehen, solange zwischen den Punkten A und B Strom fließen kann.)
Ermitteln Sie die VF, deren Dichte und den Erwartungswert von T.
Nun meine Überlegungen:
Ich habe nach der Aufgabenstellung zwei voneinander unabhängige Größen: [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2. [/mm] Da ich weis, dass diese UC-verteilt sind, kenne ich somit ihre Dichtefunktionen, also [mm] f_1(T_1) [/mm] und [mm] f_2(T_2). [/mm] Da die Widerstände parallel geschaltet sind, denke ich, dass [mm] T=T_1+T_2. [/mm] Also suche ich die VF, Dichte und Erwartungswert von [mm] T_1+T_2:
[/mm]
g(T)= [mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} {f_1(T_1)*f_2(T-T_1) dT_1} [/mm]
Wenn ich dann die Dichte habe, kann ich natürlich weiter auch die VF, und auch den Erwartungswert ausrechnen.
Ist denn das so richtig??? Ich bin mir nicht sicher, ob wirklich gilt [mm] T=T_1+T_2. [/mm] Wäre für einen Tip echt dankbar!
2. Aufgabe:
"Nichtalterungseigenschaft":
Es sei T die zufällige Lebensdauer eines Aggregates. Man nimmt an, T sei exponentialverteil mit Parameter [mm] \lambda, [/mm] d.h.
P(T [mm] \le t)=(1-e^{-\lambda *t})1_{[0, \infty)}(t), (t\in [/mm] IR).
Man zeige, dass folgende "Nichtalterungseigenschaft" gilt:
P(T [mm] \le t+s|T\ge s)=P(T\le [/mm] t), (s,t [mm] \ge [/mm] 0).
Also hier weis ich gar nicht, wo ich ansetzen soll... Ich starr' die Aufgabe an, und verstehe nicht mal den Zusammenhang, geschweige denn, was man von mir will...
Lieben Dank für jeden kleinen Tip im Voraus!
lg
abadonna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo abandona!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1.Aufgabe:
> "Lebensdauer UC-verteilte ZufallsgrößenII":
>
> Ein elektrisches Netzwerk bestehe aus 2 Widerständen, die
> parallel geschaltet sind. Die Lebensdauern [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2[/mm] von
> [mm]R_1[/mm] bzw. [mm]R_2[/mm] können als unabhängige UC[0,L]-bzw.
> UC[0,2L]-verteilte Zufallsgrößen aufgefasst werden. (Nach
> Ablauf dieser Lebensdauern verlieren die Widerstände ihre
> elektrische Leitfähigkeit vollständig.) Mit T werde die
> Lebensdauer des gesamten Netzwerkes bezeichnet (das gesamte
> Netzwerk wird als funktionsfähig angesehen, solange
> zwischen den Punkten A und B Strom fließen kann.)
> Ermitteln Sie die VF, deren Dichte und den Erwartungswert
> von T.
>
> Nun meine Überlegungen:
>
> Ich habe nach der Aufgabenstellung zwei voneinander
> unabhängige Größen: [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2.[/mm] Da ich weis, dass diese
> UC-verteilt sind, kenne ich somit ihre Dichtefunktionen,
> also [mm]f_1(T_1)[/mm] und [mm]f_2(T_2).[/mm] Da die Widerstände parallel
> geschaltet sind, denke ich, dass [mm]T=T_1+T_2.[/mm] Also suche ich
> die VF, Dichte und Erwartungswert von [mm]T_1+T_2:[/mm]
>
> g(T)= [mm]\integral_{- \infty}^{ \infty} {f_1(T_1)*f_2(T-T_1) dT_1}[/mm]
>
> Wenn ich dann die Dichte habe, kann ich natürlich weiter
> auch die VF, und auch den Erwartungswert ausrechnen.
>
> Ist denn das so richtig??? Ich bin mir nicht sicher, ob
> wirklich gilt [mm]T=T_1+T_2.[/mm] Wäre für einen Tip echt dankbar!
Das würde ja bedeuten, dass der zweite Widerstand erst eingeschaltet wird, wenn der erste ausfällt. Dann würde man die Lebensdauern addieren. Parallelschaltung bedeutet doch, dass es genügt, wenn einer der beiden Widerstände funktioniert. Beide werden aber zu Beginn gleichzeitig in Betrieb genommen. Mein Ansatz lautet daher [mm] $T=\max(T_1,T_2)$.
[/mm]
> 2. Aufgabe:
> "Nichtalterungseigenschaft":
> Es sei T die zufällige Lebensdauer eines Aggregates. Man
> nimmt an, T sei exponentialverteil mit Parameter [mm]\lambda,[/mm]
> d.h.
>
> P(T [mm]\le t)=(1-e^{-\lambda *t})1_{[0, \infty)}(t), (t\in[/mm]
> IR).
>
> Man zeige, dass folgende "Nichtalterungseigenschaft" gilt:
>
> P(T [mm]\le t+s|T\ge s)=P(T\le[/mm] t), (s,t [mm]\ge[/mm] 0).
>
Das bedeutet, dass es egal ist, wie lange das Aggregat schon "lebt". Die Wahrscheinlichkeit dafür, in den nachsten t Zeiteinheiten auszufallen, bleibt stets dieselbe. Das Teil "weiß also nicht, wie alt es ist".
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist per Definition
[mm] $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
[/mm]
Durch Einsetzen der Verteilungsfunktion, die Du oben ganz richtig aufgeführt hast, solltest Du nun die bedingte Wahrscheinlichkeit weiter vereinfachen können, bis Du auf den Ausdruck
[mm] $1-e^{-\lambda t}$
[/mm]
kommst, was gerade [mm] $P(T\le [/mm] t)$ entspricht.
Vielleicht kannst Du hier noch etwas präzisieren, wo Dein Problem liegt.
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Do 09.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo!
Danke für die Antwort! Ja klar, jetzt erscheint mir das auch logisch, dass man das Maximum berechnen soll, wäre es die Serienschaltung, dann Minimum. Zweite Aufgabe ist mir jetzt auch klar, ist nur umformen.
Ich hätte da aber noch Problem beim Integrieren (1.Aufgabe)...
Zunächst habe ich [mm] F(T_1), F(T_2), [/mm] dann die VF F(T) und die Dichte f(T), und nun muss ich den EW ausrechnen:
EW= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {x*f(x) dx}
Hier habe ich die Dichte [mm] f(T)=t/L^2. [/mm] Dann also nur mit t multiplizieren und dann integrieren, ist ja alles kein Problem, aber ich weis nicht, welche Grenzen ich einsetzen soll???
ET= [mm] \integral_{?}^{?} {t^2/L^2 dt}
[/mm]
Etwa 0 bis [mm] \infty [/mm] ??? Dann existiert doch kein Integral???
Wäre echt für eine Antwort dankbar!
lg
abadonna
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Hallo abadonna!
> Zunächst habe ich [mm]F(T_1), F(T_2),[/mm] dann die VF F(T) und die
> Dichte f(T), und nun muss ich den EW ausrechnen:
> EW= [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {x*f(x) dx}
Genau.
> Hier habe ich die Dichte [mm]f(T)=t/L^2.[/mm] Dann also nur mit t
> multiplizieren und dann integrieren, ist ja alles kein
> Problem, aber ich weis nicht, welche Grenzen ich einsetzen
> soll???
Hm. Dann müssen wir es doch ausführlich machen.
[mm] $F_1(t)=\begin{cases}
0 & \text{für } t<0\\
t/L& \text{für } t\in[0,L]\\
1& \text{für } t>L
\end{cases}$
[/mm]
[mm] $F_2(t)=\begin{cases}
0 & \text{für } t<0\\
t/(2L) & \text{für } t\in[0,2L]\\
1& \text{für } t>2L
\end{cases}$
[/mm]
Damit folgt für die Verteilungsfunktion von [mm] $T=max(T_1,T_2)$:
[/mm]
[mm]F(t)=F_1(t)\cdot F_2(t)=\begin{cases}
0 & \text{für } t<0\\
t^2/(2L^2) & \text{für } t\in[0,L]\\
t/(2L)& \text{für } t\in(L,2L]\\
1 & \text{für } t>2L
\end{cases}[/mm]
Nun ableiten, um die Dichte rauszubekommen, und dann siehst Du auch, von wo bis wo Du über welche Funktion integrieren musst (intervallweise). Alles klar?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mo 13.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo!
Wollte nur mal Danke sagen, habe in letzter Minute doch noch alles kapiert 
lg
abadonna
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