V_4, Diedergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Di 18.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir haben die Diedergruppe [mm] D_n [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 3 definiert als die Untergruppe
[mm] D_n:=<\alpha, \beta> [/mm] von [mm] S_n, [/mm] wobei
[mm] \alpha=(123..n)
[/mm]
[mm] \beta= \pmat{ 1 & 2 &3 &...&n-1&n \\ 1 & n&n-1&...&3&2}
[/mm]
In einer Nebenbemerkung meinte der Prof. für n=2 entspricht das der kleinschen Vierergruppe. Jetzt frag ich mich natürlich warum?
Konkret möchte ich zeigen, dass die Diedergruppe [mm] D_2 [/mm] isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist. |
Hallo,
[mm] (V_4, [/mm] *)..kleinsche Vierergruppe
[mm] V_4=$ (\IZ/2\IZ) [/mm] $ x $ [mm] (\IZ/2\IZ) $=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}
[/mm]
or(1,0)=ord(0,1)=ord(1,1)=2, ord(0,0)=1
[mm] D_2=<(12), \epsilon>
[/mm]
ord(12)=2
[mm] ord(\epsilon)=1
[/mm]
Jetzt hab ich mich gefragt ob ein Homomorphismus ordnungserhaltend ist und bin darauf gekommen, dass es nur für injektive Homomorphismen gilt:
Sei [mm] \phi: [/mm] G->H Homomorphismus mit g [mm] \in [/mm] G mit ord(g)=n, d.h. [mm] g^n=e
[/mm]
[mm] ZZ.:ord(\phi(g))=n
[/mm]
[mm] (\phi(a))^ n=\phi(a^n)=\phi(e)=e_H
[/mm]
[mm] \Rightarrow ord(\phi(g)) \le [/mm] n
Sei m<n mit [mm] (\phi(g))^m=e \Rightarrow \phi(g^m)=e [/mm]
Wenn [mm] \phi [/mm] injektiv ist => [mm] g^m [/mm] =e => Widerspruch zur Minimalität von n
Ich erreich so aber irdgwie kein Insomorphismus, wie ich mir das vorstelle..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 18.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> Wir haben die Diedergruppe [mm]D_n[/mm] für [mm]n\ge[/mm] 3 definiert
Für n=2 passt das so auch nicht.
Das fällt doch sofort auf, da du dann nur zwei Elemente hast, die kleinsche Vierergruppe aber 4 ;)
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Hallo,
ich hebe mal zwei Stellen hervor:
> Wir haben die Diedergruppe [mm]D_n[/mm] für
> [mm] $\color{red}n \geq [/mm] 3 [mm] \color{black}$ [/mm] definiert als
> die Untergruppe
> [mm]D_n:=<\alpha, \beta>[/mm] von [mm]S_n,[/mm] wobei
> [mm]\alpha=(123..n)[/mm]
> [mm]\beta= \pmat{ 1 & 2 &3 &...&n-1&n \\ 1 & n&n-1&...&3&2}[/mm]
>
> In einer Nebenbemerkung meinte der Prof. für [mm] $\color{red}n=2 \color{black}$
[/mm]
> entspricht das der kleinschen Vierergruppe. Jetzt frag ich
> mich natürlich warum?
Fällt dir was auf?
> Konkret möchte ich zeigen, dass die Diedergruppe [mm]D_2[/mm]
> isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist.
> Hallo,
> [mm](V_4,[/mm] *)..kleinsche Vierergruppe
> [mm]V_4=[/mm] [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm][mm] =\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}[/mm]
>
> or(1,0)=ord(0,1)=ord(1,1)=2, ord(0,0)=1
>
> [mm]D_2=<(12), \epsilon>[/mm]
> ord(12)=2
> [mm]ord(\epsilon)=1[/mm]
Deine zwei Gruppen haben verschiedene Ordnungen.
Wie sollen die isomorph sein?
> Jetzt hab ich mich gefragt ob ein Homomorphismus
> ordnungserhaltend ist und bin darauf gekommen, dass es nur
> für injektive Homomorphismen gilt:
> Sei [mm]\phi:[/mm] G->H Homomorphismus mit g [mm]\in[/mm] G mit ord(g)=n,
> d.h. [mm]g^n=e[/mm]
> [mm]ZZ.:ord(\phi(g))=n[/mm]
> [mm](\phi(a))^ n=\phi(a^n)=\phi(e)=e_H[/mm]
> [mm]\Rightarrow ord(\phi(g)) \le[/mm]
> n
> Sei m<n mit [mm](\phi(g))^m=e \Rightarrow \phi(g^m)=e[/mm]
> Wenn [mm]\phi[/mm] injektiv ist => [mm]g^m[/mm] =e => Widerspruch zur
> Minimalität von n
>
> Ich erreich so aber irdgwie kein Insomorphismus, wie ich
> mir das vorstelle..
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 18.11.2014 | | Autor: | sissile |
Ja darum war ich ja so verwirrt.
Was ist aber jetzt gemeint mit:
[mm] D_2 [/mm] ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.
Steht z.B. auch auf der Wikipedia-Seite. Ist für n=2 die Diedergruppe anders definiert?
LG,
sissi
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> Ja darum war ich ja so verwirrt.
>
> Was ist aber jetzt gemeint mit:
> [mm]D_2[/mm] ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.
> Steht z.B. auch auf der Wikipedia-Seite. Ist für n=2 die
> Diedergruppe anders definiert?
Man kann die Diedergruppen auf viele Weisen definieren, namensgebend sind Drehgruppen von regelmäßigen n-Ecken, ihr habt sie scheinbar für $n [mm] \geq [/mm] 3$ auf eine Weise definiert. Insdofern ihr keine allgemeinere Def. gemacht habt sehe ich die Bemerkung zu n=2 als Definition.
> LG,
> sissi
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