Variable berechnen in ln -Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:53 Fr 04.10.2013 | | Autor: | MaBe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe die Formel von "Shannon entropy" gegeben. Diese will ich gerne nach der Variable p ableiten. Ich bin nun an einen Punkt angekommen bin, nachdem ich sämtlich Regeln zum Ableiten dieser Funktionen angewendet habe, dass ich nicht weiter weiß.
Ich möchte den Wert p haben und bin bis zur folgenden Formel vorgedrungen:
0=-p/2 ln(p)- ((1-p)/2) ln (1-p)
Ich habe nach sämtlichen Logarithmusgesetzen geschaut,doch leider habe ich nichts passendes gefunden um die ln-Funktionen zu eliminieren.
Hat einer von euch einen Hint wie ich das Problem angehen kann?
Besten Gruß
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> Hallo,
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> ich habe die Formel von "Shannon entropy" gegeben. Diese
> will ich gerne nach der Variable p ableiten. Ich bin nun an
> einen Punkt angekommen bin, nachdem ich sämtlich Regeln
> zum Ableiten dieser Funktionen angewendet habe, dass ich
> nicht weiter weiß.
>
> Ich möchte den Wert p haben und bin bis zur folgenden
> Formel vorgedrungen:
>
> 0=-p/2 ln(p)- ((1-p)/2) ln (1-p)
>
> Ich habe nach sämtlichen Logarithmusgesetzen geschaut,doch
> leider habe ich nichts passendes gefunden um die
> ln-Funktionen zu eliminieren.
Guten Tag MaBe
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
willst du nun eine Ableitung berechnen oder die obige
Gleichung auflösen ?
Im letzteren Fall kann man die Gleichung vereinfachen
zu:
$\ [mm] p*ln(p)\,+\,(1-p)*ln(1-p)\ [/mm] =\ 0$
Ich denke aber, dass diese Gleichung keine Lösung
im gewünschten Bereich 0<p<1 haben wird, da dann
sowohl p als auch (1-p) positiv und ihre Logarithmen
beide negativ sind. Dann wird der Term auf der linken
Seite dieser Gleichung stets negativ, also sicher nicht
gleich null.
Im Übrigen wird die Gleichung auch im Fall, dass
auf der rechten Seite eine Zahl ungleich 0 steht,
nicht formal, sondern nur numerisch zu lösen sein.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:19 Fr 04.10.2013 | | Autor: | MaBe |
> Guten Tag MaBe
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> willst du nun eine Ableitung berechnen oder die obige
> Gleichung auflösen ?
> Im letzteren Fall kann man die Gleichung vereinfachen
> zu:
>
> [mm]\ p*ln(p)\,+\,(1-p)*ln(1-p)\ =\ 0[/mm]
>
> Ich denke aber, dass diese Gleichung keine Lösung
> im gewünschten Bereich 0<p<1 haben wird, da dann
> sowohl p als auch (1-p) positiv und ihre Logarithmen
> beide negativ sind. Dann wird der Term auf der linken
> Seite dieser Gleichung stets negativ, also sicher nicht
> gleich null.
> Im Übrigen wird die Gleichung auch im Fall, dass
> auf der rechten Seite eine Zahl ungleich 0 steht,
> nicht formal, sondern nur numerisch zu lösen sein.
>
> LG , Al-Chw.
Hallo,
Danke für diese Begrüßung ;)
Die Formel sowie sie da steht ist schon abgeleitet und nun wollte ich beweisen, dass p zwischen 0 und 1 liegt, sowie du bereits geschrieben hast (Y)
Die genau Problemstellung lautet wie folgt: "Prove that if H(X) is maximal, then both outcomes are equally likely."
Ich habe noch nicht ganz verstanden wie es möglich ist, dies zu beweisen, wenn H(X) maximal ist.
Hat einer eine Antwort darauf?
Besten Gruß
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Hallo und auch von mir
> > willst du nun eine Ableitung berechnen oder die obige
> > Gleichung auflösen ?
> > Im letzteren Fall kann man die Gleichung vereinfachen
> > zu:
> >
> > [mm]\ p*ln(p)\,+\,(1-p)*ln(1-p)\ =\ 0[/mm]
> >
> > Ich denke aber, dass diese Gleichung keine Lösung
> > im gewünschten Bereich 0<p<1 haben wird, da dann
> > sowohl p als auch (1-p) positiv und ihre Logarithmen
> > beide negativ sind. Dann wird der Term auf der linken
> > Seite dieser Gleichung stets negativ, also sicher
> nicht
> > gleich null.
> > Im Übrigen wird die Gleichung auch im Fall, dass
> > auf der rechten Seite eine Zahl ungleich 0 steht,
> > nicht formal, sondern nur numerisch zu lösen sein.
> >
> > LG , Al-Chw.
>
>
> Hallo,
>
> Danke für diese Begrüßung ;)
>
> Die Formel sowie sie da steht ist schon abgeleitet und nun
> wollte ich beweisen, dass p zwischen 0 und 1 liegt, sowie
> du bereits geschrieben hast (Y)
So wie du das angegeben hast, besitzt die Gleichung keine Lösung. Von daher erhebt sich die Frage, ob du richtig abgeleitet hast? Am besten gibst du mal die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut an.
>
> Die genau Problemstellung lautet wie folgt: "Prove that if
> H(X) is maximal, then both outcomes are equally likely."
>
> Ich habe noch nicht ganz verstanden wie es möglich ist,
> dies zu beweisen, wenn H(X) maximal ist.
> Hat einer eine Antwort darauf?
Das könnte man zum Beispiel einfach tun, indem man für ggf. erhaltenen Lösungen in der Ableitung einen Vorzeichenwechsel von + nach - nachweist. Aber wie gesagt: das Ding oben hat keine Lösung.
Gruß, Diophant
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> > > [mm]\ p*ln(p)\,+\,(1-p)*ln(1-p)\ =\ 0[/mm]
> > >
> > > Ich denke aber, dass diese Gleichung keine Lösung
> > > im gewünschten Bereich 0<p<1 haben wird, da dann
> > > sowohl p als auch (1-p) positiv und ihre Logarithmen
> > > beide negativ sind. Dann wird der Term auf der linken
> > > Seite dieser Gleichung stets negativ, also sicher
> > > nicht gleich null.
> > > Im Übrigen wird die Gleichung auch im Fall, dass
> > > auf der rechten Seite eine Zahl ungleich 0 steht,
> > > nicht formal, sondern nur numerisch zu lösen sein.
> > >
> > > LG , Al-Chw.
>
> Hm, und wo liegt das Problem? Ich habe die Gleichung recht
> mühelos aufgelöst bekommen. Allerdings besitzt die so,
> wie du sie angegeben hast, als einzige Lösung p=1. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hallo Diophant,
für p=1 ist doch ln(1-p) gar nicht definiert ...
Ich könnte mir aber vorstellen, dass nicht eine
Nullstelle des Terms -p/2 ln(p)- ((1-p)/2) ln (1-p)
gesucht war, sondern der Wert p, für welchen
er sein Maximum annimmt.
Dies wäre nämlich [mm] p=\frac{1}{2} [/mm] und würde dann auch
zur Formulierung in der Aufgabenstellung passen:
"Prove that if H(X) is maximal, then both outcomes
are equally likely."
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Fr 04.10.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al,
> Hallo Diophant,
>
> für p=1 ist doch ln(1-p) gar nicht definiert ...
ja, da hast du völlig Recht: es war wohl noch zu früh am Morgen...
Gruß, Diophant
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> > für p=1 ist doch ln(1-p) gar nicht definiert ...
>
> ja, da hast du völlig Recht: es war wohl noch zu früh am
> Morgen...
>
> Gruß, Diophant
Naja - und sooo katastrophal war der Fehler
ja eigentlich auch gar nicht, denn der Term
$\ p*ln(p)+(1-p)*ln(1-p)$
hat ja, wenn man p (von links her) gegen 1
streben lässt (oder auch von rechts her gegen 0)
immerhin den einseitigen Grenzwert 0 .
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Fr 04.10.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al,
> Naja - und sooo katastrophal war der Fehler
> ja eigentlich auch gar nicht, denn der Term
>
> [mm]\ p*ln(p)+(1-p)*ln(1-p)[/mm]
>
> hat ja, wenn man p (von links her) gegen 1
> streben lässt (oder auch von rechts her gegen 0)
> immerhin den einseitigen Grenzwert 0 .
Danke, danke.  Aber wenn man bedenkt, dass ich den Fall p=0 ja abgefangen habe (den man ja beim Umformen auch herausbekommt, zumindest bei Anwendung einer gewissen 'modernen Definition'), den Fall p=1 jedoch nicht: dann war es eindeutig zu früh. :-P
Gruß, Diophant
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