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Variante Lipschitz-Stetigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Variante Lipschitz-Stetigkeit: Tipp, Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Mo 07.12.2015
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Sei h(x) eine Hilfsfunktion mit [mm] h:\IR\to\IR, x\mapsto|x|^{p}. [/mm] Weise nach, dass h für p>2 zwei mal stetig differenzierbar sowie konvex ist. Nutze diese Erkenntnisse, um zu zeigen, dass für jedes x,y [mm] \in [/mm] (a,b) mit a<b [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] ||x|^{p}-|y|^{p}| \le p(max(|a|,|b|)^{p-1}|x-y|. [/mm]

Guten Abend!
Bisher habe ich Differenzierbarkeit und Stetigkeit immer nur in einem speziellen Punkt nachgewiesen. Wie weise ich diese Eigenschaften für eine gesamte Funktion nach?
Außerdem wäre ich sehr dankbar für einen Tipp bezüglich der Ungleichung.
Ich danke Euch allen bereits im Voraus für Eure Unterstützung!
Einen angenehmen Abend!
mathe_thommy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Variante Lipschitz-Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mo 07.12.2015
Autor: Hias

Hallo
Zur Ungleichung schau mal bei Wikipedia "Mittelwertsatz der Differentialrechnung"  Kapitel "Beispiel einer Anwendung des Mittelwertsatzes".
Die Differenzierbarkeit kann nur am Punkt 0 problematisch werden, denn
[mm] $\bruch{d}{dx} |x|=\bruch{x}{|x|} =\bruch{0}{0}$ [/mm]
Das Problem kann eben mit einen Exponenten umgangen werden, der hoch genug ist, denn mit der Kettenregel erhält man
[mm] $\bruch{d}{dx} |x|^p=p|x|^{p-1}\bruch{x}{|x|}=p|x|^{p-2}x$ [/mm]
Für die zweifache stetige Differenzierbarkeit musst du noch einmal ableiten und schauen, was du bekommst und wie es sich auf auf die Differenzierbarkeit speziell im Punkt 0 auswirkt.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
MfG Hias

Bezug
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