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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 16.07.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
Seien [mm] A_1,...,A_n [/mm] unabhängige Ereignisse mit Wahrscheinlichkeiten [mm] P(A_1),...,P(A_n). [/mm] Berechne die Varianz der Anzahl [mm] M_n [/mm] der eingetretenen Ereignisse, d.h die Varianz
[mm] M_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}1_{A_k}
[/mm]
[mm] E[\summe_{k=1}^{n}1_{A_k}] [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}E1_{A_k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}P(A_k)
[/mm]
somit [mm] E[M_n^2] [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n}P(A_k))^2
[/mm]
[mm] E[M_n^2]=E[\summe_{k=1}^{n}1_{A_k}^2 [/mm] + 2 [mm] \summe_{k=1}^{n}\summe_{j=k+1}^{n-1}1_{A_k}1_{A_j}] [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}P(A_k) [/mm] + 2 [mm] \summe_{k=1}^{n}\summe_{j=k+1}^{n-1}P(A_k)P(A_j)
[/mm]
Varianz:
[mm] \summe_{k=1}^{n}P(A_k) [/mm] + 2 [mm] \summe_{k=1}^{n}\summe_{j=k+1}^{n-1}P(A_k)P(A_j) [/mm] - [mm] (\summe_{k=1}^{n}P(A_k))^2 [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{n}P(A_k) [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}P(A_k)^2
[/mm]
ist das richtig ? und vorallem geht da noch irgendwas kann man etwas vereinfachen ???
vielen dank für eure hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mi 16.07.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> ist das richtig ? und vorallem geht da noch irgendwas kann
> man etwas vereinfachen ???
>
Moin vivo,
das Ergebnis ist richtig, laesst sich aber direkter zeigen. Da die
Ereignisse unabhaengig sind, sind auch die in die Summe eingehenden
Variablen unabhaengig. Jede ist Bernoulli-verteilt mit Parameter
[mm] $P(A_i)$, [/mm] besitzt also den Erwartungswert [mm] $P(A_i)$ [/mm] und die
Varianz [mm] $P(A_i)(1-P(A_i))$. [/mm] Wende jetzt die Rechenregeln an zur
Bestimmung des Erwartungswertes einer Summe von Zufallsvariablen sowie
zur Bestimmung der Varianz einer Summe von unabhaengigen
Zufallsvariablen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 16.07.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
danke für deine antwort aber wie ist diese regel?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 16.07.2008 | | Autor: | luis52 |
> hallo,
>
> danke für deine antwort aber wie ist diese regel?
>
> gruß
[mm] $E[\sum X_i]=\sum E[X_i]$, $Var[\sum X_i]=\sum Var[X_i]$.
[/mm]
vg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mi 16.07.2008 | | Autor: | vivo |
achso dass meintest du ... voll auf der leitung gestanden .-)
danke
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