Varianz, E-wert, Tschebychev < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Do 16.08.2012 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Es sei X eine Zufallsvariable auf [mm] (\Omega, [/mm] A, P) mit [mm] E(X^2)<\infty. [/mm] Dann gilt:
(i) [mm] Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2, [/mm] für a,b [mm] \in \IR
[/mm]
(ii) [mm] Var(aX+b)=a^2*Var(X)
[/mm]
(iii) [mm] P(|X|\ge\alpha)\le\bruch{E|X|^k}{\alpha^k}
[/mm]
(iv) [mm] P(|X-EX|\ge\alpha)\le\bruch{Var(X)}{\alpha^2} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich lerne gereade für meine Examensprüfung in Stochastik und werde vermutlich in Zukunft häufiger Verständnisfragen stellen.
Konkret geht es mir um Eigenschaften der Varianz und Feinheiten in der Notation:
Ich möchte etwas zu den Beweisen fragen:
zu (i)
[mm] Var(X)=E(X-E(X))^2=E(X^2-2(E(X))X+(E(X))^2)=E(X^2)-(E(X))^2
[/mm]
Hier würde mich interessieren, was im letzten Schritt passiert, also wie sich z.B. E(E(X)) verhält, also wie darf man E verwedenen, ist das eine lineare Abbildung und wenn ja von wo nach wo bildet sie ab? (also welche Räume). Wieso darf ich so die Klammer auflösen? Ich weiß dass E linear ist. Kann mir in diesem Zusammenhang vielleicht jemand den Unterscheid zwischen den Schreibweisen [mm] EX^2, E(X)^2, E(X^2), (EX)^2, (E(X))^2 [/mm] erklären, also was davon z.B. gleich ist.
zu (ii) hier ist es ein ähnliches Problem, konkret der Schritt 5. Ich glaube aber, wenn ich (i) verstanden habe wird mit (ii) auch klar:
[mm] Var(aX+b)=E(aX+b-(aE(X)+b))^2=E(aX+b-(aE(X)+b))^2=E(aX-aE(X))^2=E(a^2X^2-2a^2E(X)+a^2E(X)^2)=E(a^2X^2)-2a^2E(X)^2+a^2E(X)^2=a^2E(X^2)-a^2E(X)^2=a^2(E(X^2)-E(X)^2)=a^2Var(X) [/mm]
zu (iii)
Hier habe ich den Beweis:
[mm] I_{(|X|\ge\alpha)}\le(\bruch{|X|}{\alpha})^k \Rightarrow P(|X|\ge\alpha)=EI_{(|X|\ge\alpha)}\le\bruch{E|X|^k}{\alpha^k}, [/mm] wobei I eine Indexfunktion ist (bekomme die Mengenklammern im Index nicht hin :)).
Hier verstehe ich den vorletzten Schritt nicht, also wie komme ich von der WKt. dass [mm] |X|\le\alpha [/mm] ist auf den Erwartungswert [mm] EI_{(|X|\ge\alpha)}?
[/mm]
zu (iv)
folgt aus (iii) mit k=2, X-EX statt X, das habe ich verstanden :)
Danke für die Hilfe
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Hiho,
normalerweise ist bei solchen Fragen die Antwortzeit wesentlich kürzer. Aufgrund von Prüfungszeiträumen scheint sich das aber gerade etwas hinzuziehen 
Aber wollen wir mal:
> [mm]Var(X)=E(X-E(X))^2=E(X^2-2(E(X))X+(E(X))^2)=E(X^2)-(E(X))^2[/mm]
> Hier würde mich interessieren, was im letzten Schritt
> passiert, also wie sich z.B. E(E(X)) verhält, also wie
> darf man E verwedenen, ist das eine lineare Abbildung und
> wenn ja von wo nach wo bildet sie ab? (also welche Räume).
Machen wir es mal Schritt für Schritt:
1.) $E[E[X]] = E[X]$ da E[X] eine Konstante ist und damit aus dem Erwartungswert herausgezogen werden kanm.
2.) Ja, die Erwartungswertbildung ist linear. Das solltest du dir aber auch selbst nochmal an der Definition des Erwartungswertes klar machen. In einer Examensprüfung wird das unter Umständen auch rankommen.
3.) Von wo nach wo sie abbildet, solltest du dir mithilfe der Definition auch mal klarmachen.
> Wieso darf ich so die Klammer auflösen? Ich weiß dass E linear ist.
Ach nun doch?
> Kann mir in diesem Zusammenhang vielleicht jemand den Unterscheid zwischen den Schreibweisen [mm]EX^2, E(X)^2, E(X^2), (EX)^2, (E(X))^2[/mm] erklären, also was davon z.B. gleich ist.
Deine Verwirrtheit ist hier zurecht und liegt einfach an der schlechten Notation des Schreibers, in dem er (notwendige!) Klammern weglässt
Es gilt aber meist:
$E(X) = EX$
[mm] $EX^2 [/mm] = [mm] E(X^2)$
[/mm]
[mm] $E^2(X) [/mm] = [mm] \left(E(X)\right)^2 [/mm] = [mm] (EX)^2$
[/mm]
Was nun [mm] $E(X)^2$ [/mm] sein soll, ist aufgrund obiger Darstellungen nicht ganz klar, ich würde aber auch [mm] (E(X))^2 [/mm] tippen.
Eindeutig sind meines Erachtens nach nur:
$E(X), EX, [mm] E(X^2), E^2(X),\left(E(X)\right)^2, (EX)^2$
[/mm]
> zu (ii) hier ist es ein ähnliches Problem, konkret der
> Schritt 5. Ich glaube aber, wenn ich (i) verstanden habe wird mit (ii) auch klar:
So siehts aus.
> bekomme die Mengenklammern nicht hin
Da die Klammern { als Anweisungsklammern verwendet werden, musst du das eben unterdrücken, fachlich als "escapen" bezeichnet. Dies macht man bei allen Zeichen mit einem Backslash davor.
Mengenklammern im LaTeX-Code bekommst du also mit \{ hin, * bspw. mit [mm] \*
[/mm]
Möchtest du mal Code schreiben, ohne dass er umgewandelt wird, machst du das mit [code]Text[/code].
Das musst du auch mit Mengenklammern im Fließtext machen, da diese sonst automatisch als Code erkannt werden.
> Hier verstehe ich den vorletzten Schritt nicht, also wie
> komme ich von der WKt. dass [mm]|X|\le\alpha[/mm] ist auf den
> Erwartungswert [mm]EI_{(|X|\ge\alpha)}?[/mm]
Bis auf den kleinen Tippfehler von dir im Absatz oben, folgt das einfach aus der Definition des Erwartungswerts / Maßintegrals.
Es gilt immer: [mm] $E[1_A] [/mm] = P(A)$
Sollte man sich merken 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 19.08.2012 | | Autor: | Peon |
> 1.) [mm]E[E[X]] = E[X][/mm] da E[X] eine Konstante ist und damit aus
> dem Erwartungswert herausgezogen werden kanm.
Hier habe ich eine Frage, was meinst Du mit E(X) ist eine Konstante? Ist das nicht eine Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ? Wieso wird E(E(X)) zu E(X)?
Also, wenn ich die Klammer auflöse steht da dann in einem Zwischenschritt erstmal:
[mm] E(X-E(X))^2=E(X^2-2(E(X))X+(E(X))^2)=E(X^2)-2E(X)E(X)+E((E(X))^2)=E(X^2)-(E(X))^2
[/mm]
Und wieso wird dann E(E(X)) zu E(X)? Das läuft auf deine Aussage mit E(X) als Konstante hinaus denke ich? Ich meine, so unglaublich wichtig ist das bestimmt auch nicht, aber ich würde es gerne wissen :)
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 So 19.08.2012 | | Autor: | abakus |
> > 1.) [mm]E[E[X]] = E[X][/mm] da E[X] eine Konstante ist und damit aus
> > dem Erwartungswert herausgezogen werden kanm.
> Hier habe ich eine Frage, was meinst Du mit E(X) ist eine
> Konstante?
Hallo,
ich denke, Man hat eine Zufallsgröße X und berechnet davon den Erwartungswert. Was erhält man????
Eine Zahl!
(z.B. sei X die Augenzahl beim einmaligen Wurf eines idealen Würfels.
Bekannterweise ist dabei E(X)=3,5. Das ist doch wohl eine konstante Zahl, oder?)
Gruß Abakus
> Ist das nicht eine Abbildung von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] ?
> Wieso wird E(E(X)) zu E(X)?
>
> Also, wenn ich die Klammer auflöse steht da dann in einem
> Zwischenschritt erstmal:
>
> [mm]E(X-E(X))^2=E(X^2-2(E(X))X+(E(X))^2)=E(X^2)-2E(X)E(X)+E((E(X))^2)=E(X^2)-(E(X))^2[/mm]
> Und wieso wird dann E(E(X)) zu E(X)? Das läuft auf deine
> Aussage mit E(X) als Konstante hinaus denke ich? Ich meine,
> so unglaublich wichtig ist das bestimmt auch nicht, aber
> ich würde es gerne wissen :)
>
> DANKE
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