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Varianz berechnen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:57 Do 03.11.2016
Autor: Rocky14

Hallo Leute,
ich versuche gerade ein Beispiel aus der VL zu verstehen und stehe total auf dem Schlauch.
Es geht um U-Statistiken, aber für meine Frage ist das eigentlich nebensächlich. Es ist eigentlich nur eine ganz normale Varianz, die berechnet wurde.
Im Skript steht:
[mm] var(\bruch{1}{2} (x_1-x_2)^2) [/mm] = [mm] 2\sigma^4 [/mm]

Habe das jetzt wie folgt aufgedröselt:
[mm] var(\bruch{1}{2} (x_1-x_2)^2) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} var((x_1-x_2)^2) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] var [mm] (z^2) [/mm]        wobei [mm] x_1-x_2 [/mm] := z ~ N [mm] (0,2\sigma^2) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] [ E [mm] (z^4) [/mm] - E [mm] (z^2)^2 [/mm] ]

Und nun habe ich nur noch Knoten im Kopf.
Eigentlich gilt doch: (E [mm] (z^2))^2 [/mm] = (var [mm] (z))^2 [/mm] = [mm] (2\sigma^2)^2 [/mm] = 4 [mm] \sigma^4 [/mm]
Damit müsste E [mm] (z^4) [/mm] = [mm] 12\sigma^4 [/mm] sein,  damit es passt.
Und genau das sehe ich gerade gar nicht.
Wäre super lieb, wenn mir das jemand erklären könnte :)
Danke!!!

        
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Varianz berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Do 03.11.2016
Autor: Omega91

Hallo Rocky,


es lohnt sich hier einen Blick auf die Charakteristiche Funktion zu werfen.
kennst du den Zusammenhang zwischen ihr und den Momenten?

Lg Omega

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Varianz berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:29 Do 03.11.2016
Autor: Rocky14

Ja, aber angeblich soll es mit ganz elementaren Tricks gehen und  das soll man sofort sehen. Ohne viel rechnen....

Auffällig ist ja:
Das 4. Moment für X ~ [mm] N(0,\sigma^2) [/mm] ist [mm] 3\sigma^4. [/mm]
Und es gilt [mm] 12\sigma^4 [/mm] = [mm] 4*3\sigma^4. [/mm]

Kann mir trotzdem noch keinen Zusammenhang erklären.

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Varianz berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Do 03.11.2016
Autor: Omega91

Hallo,


prinzipiell gibt es (außer den steinerschen Verschiebungssatz (und dieser geht auch nur um das zweite Moment elementar einzusehen)) wenig Möglichkeit um etwa

[mm] $\mathbb{E}(X^4)$ [/mm] mit $X [mm] \sim N(\mu, \sigma^2)$ [/mm]

zu bestimmen.

du kannst aber sowohl über Momentenerzeugende, als auch über charakteristische Funktion arbeiten.

ich lasse mich aber gerne von einem elementaren Trick, den ich gerade nicht sehe, überzeugen.

Lg

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Varianz berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Do 03.11.2016
Autor: Rocky14

Falls mir hier niemand helfen kann, muss ich halt bis Dienstag warten und dann frage ich meinen Professor :) Allerdings hätte ich es schon gerne alleine bzw. mit eurer Hilfe herausgefunden. Wenn er mir den Trick verrät, dann teile ich ihn natürlich gerne.
Trotzdem schonmal vielen Dank, dass du dir dazu Gedanken gemacht hast.

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Varianz berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:55 Do 03.11.2016
Autor: Herby

Hallo,

> Falls mir hier niemand helfen kann, muss ich halt bis
> Dienstag warten und dann frage ich meinen Professor :)
> Allerdings hätte ich es schon gerne alleine bzw. mit eurer
> Hilfe herausgefunden. Wenn er mir den Trick verrät, dann
> teile ich ihn natürlich gerne.
> Trotzdem schonmal vielen Dank, dass du dir dazu Gedanken
> gemacht hast.

ich habe die Frage nun einmal auf halb-beantwortet gestellt.


Liebe Grüße

[Dateianhang nicht öffentlich] Herby

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Varianz berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Do 03.11.2016
Autor: Rocky14

Geht das vllt so? Oder darf ich das nicht machen?
Wir setzen voraus, dass die [mm] x_i [/mm] alle iid sind

[mm] E(z^4) [/mm]
= [mm] E((x_1-x_2)^4) [/mm]
= [mm] E(x_1^4 [/mm] + [mm] 4x_1^3x_2 [/mm] + [mm] 6x_1^2x_2^2 [/mm] + [mm] 4x_1x_2^3 [/mm] + [mm] x_2^4) [/mm]
= [mm] E(x_1^4) [/mm] + [mm] 4E(x_1^3)E(x_2) [/mm] + [mm] 6E(x_1^2)E(x_2^2) [/mm] + [mm] 4E(x_1)E(x_2^3) [/mm] + [mm] E(x_2^4) [/mm]
= [mm] 3\sigma^4 [/mm] + 4*0*0 + [mm] 6\sigma^2\sigma^2 [/mm] + 4*0*0 + [mm] 3\sigma^4 [/mm]
= [mm] 12\sigma^4 [/mm]

Allerdings ist das auch sehr viel Rechnerei und nicht einfach nur draufschauen,  wie unser Professor meinte.

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Varianz berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Do 03.11.2016
Autor: Omega91

Du unterschlägst vollkommen, was die [mm] $x_{i}$ [/mm] für eine Verteilung besitzen.

Sind die [mm] $x_{1,2} \sim N(0,\sigma^2)$ [/mm] ?
oder [mm] $x_{1,2} \sim N(\mu, \sigma^2)$? [/mm]

in beiden fällen ist : [mm] $x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} \sim [/mm] N(0,2 [mm] \sigma^2)$ [/mm]

im ersten Fall ist auch [mm] $\mathbb{E}(x_{1}^4) [/mm] = [mm] 3\sigma^4$ [/mm]

im zweiten Fall nicht.

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Varianz berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Do 03.11.2016
Autor: Omega91

Ich habe dir doch gesagt, wie du das vierte Moment berechnen kannst.
Das steht aber mehr als im Widerspruch zu:

" Falls mir hier niemand helfen kann, ..." ^^




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Varianz berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 Do 03.11.2016
Autor: Rocky14

Jaaaaa *lach*
So meinte ich das ja nicht.
Ich will diesen Trick wissen :)

Setze mich morgen aber mal dran und benutze die
charakteristischen Funktionen für die Berechnung.
Dann habe ich im Notfall eine alternative Begründung.

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Varianz berechnen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Fr 11.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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