Varianz des Fehlers bei Monte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich suche seit gestern an der Lösung und bin langsam am Verzweifeln. Ich hoffe, dass Ihr mir helfen könnt:
Ich beschäftige mich gerade mit Monte-Carlo-Integration. Das Integral
[mm] \integral_{Q \subset \IR^m}^{ }f(x)\,dx [/mm]
ist zu berechnen.
Als Näherung für das Integral ist
[mm] \theta_{N} [/mm] := [mm] \lambda_{m}(Q)\bruch{1}{N}\summe_{i=1}^{N} f(x_{i}) [/mm]
zu nehmen.
Der Fehler ist also:
[mm] \delta_{N} [/mm] := [mm] \integral_{Q \subset \IR^m}^{ } f(x)\, [/mm] dx - [mm] \theta_{N} [/mm]
Ich soll nun die Varianz des Fehlers berechnen.
Als Lösung habe ich vorgegeben:
[mm] Var(\delta_{N}) [/mm] = [mm] E(\delta_{N}^2)-(E(\delta_{N}))^2 [/mm] = [mm] \bruch{\sigma^2(f)}{N}\lambda_{m}^2(Q) [/mm]
mit
[mm] \sigma^2(f) [/mm] := [mm] \integral_{Q \subset \IR^m}^{ }f(x)^2\,dx [/mm] - [mm] (\integral_{Q \subset \IR^m}^{ }f(x)\,dx )^2 [/mm]
Ich verstehe das letzte Gleichheitszeichen nicht. Ich weiß nicht, wo das [mm] \bruch{1}{N} [/mm] herkommt.
Muss ich das Gesetz der großen Zahlen mit benutzen? Es gilt doch:
Da [mm] x_{i} [/mm] gleichverteilt sind:
[mm] \bruch{1}{N} \summe_{i=1}^{N}f(x_{i})=E(f(x_{i})) [/mm]
Es wäre wirklich schön, wenn Ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße ... Franziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Franziska!
Da [mm] $\int\limits_Q f(x)\, [/mm] dx$ nur eine Konstante ist, gilt:
[mm] $Var(\delta_N) [/mm] = [mm] Var(\theta_N)$.
[/mm]
Nun ist aber:
[mm] $Var(\theta_N) [/mm] = Var [mm] \left( \lambda_m(Q) \cdot \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N f(X_i) \right) [/mm] = [mm] \lambda_m(Q)^2 \cdot \frac{1}{N^2} \sum\limits_{i=1}^N Var[f(X_i)] [/mm] = [mm] \lambda_m(Q)^2 \frac{1}{N} \cdot \left[ \int\limits_Q f^2(x)\, dx - \left( \int\limits_Q f(x) \, dx \right)^2 \right]$,
[/mm]
was zu zeigen war. 
Liebe Grüße
Julius
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