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Varianz und Kovarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:05 Mi 22.05.2019
Autor: KatarinaE

Aufgabe
Seien $X$ und $Z$ unabhängig mit derselben Verteilung und $Y :=X-Z .$ Berechnen Sie [mm] $\operatorname{cov}(X, [/mm] Y)$
und [mm] $\operatorname{corr}(X, [/mm] Y) .$

Hallo!

Ich hoffe ich bin hier im richtigen Unterforum, falls nicht bitte Verschieben.

Ich hänge gerade etwas an der Aufgabe (dort open), denn es gibt Eigenschaften der von Kovarianzen und Varianzen, allerdings nur für X+Y und und nicht X-Y, also nicht für die Subtraktion. Meine Frage wäre hier nun, wie man die bestimmten Umformungen durchführt um auf das Ergebnis zu kommen.

Ich fange einem an.

[mm] $\operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, X-Z)=\operatorname{cov}(X, X)+\operatorname{cov}(X, [/mm] -Z) = [mm] \operatorname{cov}(X, X)*\operatorname{cov}(X, [/mm] Z)$

Ich hätte aber gerne [mm] $\operatorname{cov}(X, [/mm] Y)=V(X)$

Wie kann man das gestalten?


Vielen dank im Voraus


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Varianz und Kovarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Mi 22.05.2019
Autor: hippias


> Seien [mm]X[/mm] und [mm]Z[/mm] unabhängig mit derselben Verteilung und [mm]Y :=X-Z .[/mm]
> Berechnen Sie [mm]\operatorname{cov}(X, Y)[/mm]
>  und
> [mm]\operatorname{corr}(X, Y) .[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich hoffe ich bin hier im richtigen Unterforum, falls nicht
> bitte Verschieben.
>  
> Ich hänge gerade etwas an der Aufgabe (dort open), denn es
> gibt Eigenschaften der von Kovarianzen und Varianzen,
> allerdings nur für X+Y und und nicht X-Y, also nicht für
> die Subtraktion. Meine Frage wäre hier nun, wie man die
> bestimmten Umformungen durchführt um auf das Ergebnis zu
> kommen.
>
> Ich fange einem an.
>  
> [mm]\operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, X-Z)=\operatorname{cov}(X, X)+\operatorname{cov}(X, -Z) = \operatorname{cov}(X, X)*\operatorname{cov}(X, Z)[/mm]
>  

Wie begründest Du die letzte Gleichheit?

Tips:

1. Immitiere die Rechnungen, die in der Vorlesung zu dem Fall $X+Z$ gemacht wurden
Oder 2. Überlege doch einmal, was man über die Korrelation Kovarianz für unabhängige ZG sagen kann.

> Ich hätte aber gerne [mm]\operatorname{cov}(X, Y)=V(X)[/mm]
>  
> Wie kann man das gestalten?
>
>
> Vielen dank im Voraus
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Varianz und Kovarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Mi 22.05.2019
Autor: KatarinaE

Hallo Hippias!

Ich weiß gerade nicht wie man her zitiert, deshalb werden wir wohl mit ".." leben müssen.

"Tips:

1. Immitiere die Rechnungen, die in der Vorlesung zu dem Fall $ X+Z $ gemacht wurden
Oder 2. Überlege doch einmal, was man über die Korrelation Kovarianz für unabhängige ZG sagen kann."


1) Ok nehmen wir mal an es würde lauten $Y=X+Z$, dann würde folgen

$ [mm] \operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, [/mm] X-Z = [mm] \operatorname{cov}(X, X)\cdot{}\operatorname{cov}(X, [/mm] Z) = V(X) $ Da X und Z unabhägig sind und somit [mm] $\operatorname{cov}(X, [/mm] Z)= 0$ gilt.


"Wie begründest Du die letzte Gleichheit?"
Ja dies habe ich mal so nebenbei mitbekommen, leider finde ich dazu nichts im Skript, darf ich wahrscheinlich dann auch nicht nutzen, :(
Hast du da vlt einen Tipp, wie man dies umgehen kann?

Bezug
                        
Bezug
Varianz und Kovarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Mi 22.05.2019
Autor: hippias


> Hallo Hippias!
>  
> Ich weiß gerade nicht wie man her zitiert, deshalb werden
> wir wohl mit ".." leben müssen.

Du findest links unter dem Editorfenster den Knopf "Zitieren"

>  
> "Tips:
>
> 1. Immitiere die Rechnungen, die in der Vorlesung zu dem
> Fall [mm]X+Z[/mm] gemacht wurden
> Oder 2. Überlege doch einmal, was man über die
> Korrelation Kovarianz für unabhängige ZG sagen kann."
>  
>
> 1) Ok nehmen wir mal an es würde lauten [mm]Y=X+Z[/mm], dann würde
> folgen
>  
> [mm]\operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, X-Z = \operatorname{cov}(X, X)\cdot{}\operatorname{cov}(X, Z) = V(X)[/mm]
> Da X und Z unabhägig sind und somit [mm]\operatorname{cov}(X, Z)= 0[/mm]
> gilt.

Da sind doch lauter Fehler drin: korrigiere diese bitte erst! Es dürfte Dir auch weiterhelfen, wenn Du jede einzelne Gleichheit begründest. Ansonsten: die Aussage über die Kovarianz unabhängiger ZG ist hier der Schlüssel zum Erfolg.

Also: bessere Deine Fehler aus und das gewünschte Ergebnis steht eigentlich schon da.

>  
>
> "Wie begründest Du die letzte Gleichheit?"
>  Ja dies habe ich mal so nebenbei mitbekommen, leider finde
> ich dazu nichts im Skript, darf ich wahrscheinlich dann
> auch nicht nutzen, :(
>  Hast du da vlt einen Tipp, wie man dies umgehen kann?


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Varianz und Kovarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Mi 22.05.2019
Autor: KatarinaE

Ups,

Also für $Y = X+Z$ folgt
$ [mm] \operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, [/mm] X+Z) = [mm] \operatorname{cov}(X, X)\cdot{}\operatorname{cov}(X, [/mm] Z) = V(X) $
Da X und Z unabhängig sind und somit $ [mm] \operatorname{cov}(X, [/mm] Z)= 0 $
gilt.

Tut mir leid, hatte mein alte Gleichung mit dem Minus nur kopiert, damit ich es nicht noch einmal aufschreiben muss.

Ok was habe ich hier gemacht:

$ [mm] \operatorname{cov}(X, [/mm] Y)$  | Y = X+Z einsetzen
[mm] $=\operatorname{cov}(X, [/mm] X+Z)$ | hier habe ich diese Gleicheit verwendet cov(aX + bY, Z) = a · cov(X, Z) + b · cov(Y, Z),
$= [mm] \operatorname{cov}(X, X)\cdot{}\operatorname{cov}(X, [/mm] Z)$ | und hier nun die Unabhängigkeit, also $ [mm] \operatorname{cov}(X, [/mm] Z)= 0 $
$= V(X) $


> Also: bessere Deine Fehler aus und das gewünschte Ergebnis steht eigentlich schon da.

Dies habe ich getan, nur kann ich es bei $Y = X-Z$ so ja nicht anwenden. Was mich wieder zu meiner Eingangsfrage bringt, was mache ich mit diesem Minus?


P.S. Ich hoffe für Y =X+Z stimmt es, denn im Skript wurde es so nie gemacht,


Bezug
                                        
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Varianz und Kovarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:41 Mi 22.05.2019
Autor: hippias

Wende $cov(aX + bY, Z) = a cov(X, Z) + b cov(Y, Z)$ richtig an: wenn $cov(X,Z)=0$ ist, käme doch nicht $V(X)$ heraus...

Bezug
                                                
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Varianz und Kovarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Mi 22.05.2019
Autor: KatarinaE

Ok, dann habe ich mich erneut vermacht, jedenfalls muss dies am Ende rauskommen meinte der Tutor. Dann habe ich wohl das falsche Eigenschaft angewendet, tut mir leid.

Gut ich verwerfe nun alle meine Aussage und werfe mein bisheriges weg.
Könntest du mir sagen wie ich anfangen soll?
Ich verzweifle hier gerade, bitte nur einen wirkungsvollen Schups in die richten Richtung, so dass ich auch etwas damit anfangen kann. Ich sitze nun schon seit Stunden an dieser Aufgabe und alles was ich mache ist falsch.


Sollte ich damit arbeiten [mm] $\operatorname{cov}(X, [/mm] Y) [mm] :=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])]$? [/mm]

Beweis
Wobei gilt
[mm] $\begin{aligned} \operatorname{cov}(X, Y) &=\mathrm{E}(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[X]) ]=\mathbb{E}[X Y-X \mathrm{e}[Y]-\mathbb{E}[X] Y+\mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y]] \\ &=\mathrm{E}[X Y]-\mathrm{E}[X] \mathbb{E}[Y]-\mathrm{E}[X] \mathrm{E}[Y]+\mathbb{E}[X] \mathrm{E}[Y]=\mathrm{E}[X Y]-\mathrm{E}[X] \mathbb{E}[Y] \end{aligned}$ [/mm]

Dann könnte ich vlt auch noch dies hier nutzen, aber mein Beweis hierzu schaut unschön aus, kann nicht sagen ob es stimmt [mm] $\mathrm{V}(X+Y)=\mathrm{V}(X)+2 \operatorname{cov}(X, Y)+\mathrm{V}(Y)$ [/mm]

Beweis
[mm] $\begin{aligned} V(X+Y) &=\mathbb{E}\left[(X+Y)^{2}\right]-(\mathbb{E}[X+Y])^{2} \\ &=\mathbb{E}\left[X^{2}+2 X Y+Y^{2}\right]-(\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y])^{2} \\ &=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]+2 \mathbb{E}[X Y]+\mathbb{E}\left[Y^{2}\right]-\left(\mathbb{E}[X]^{2}+2 \mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y]+\mathbb{E}[Y]^{2}\right) \\ &=\mathbb{V}(X)+2 \operatorname{cov}(X, Y)+\mathbb{V}(Y) \end{aligned}$ [/mm]

Wobei ich nur die Eigenschaften der Varianz genutzt habe.



Bezug
                                                        
Bezug
Varianz und Kovarianz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Mi 22.05.2019
Autor: KatarinaE

Sollte ich vielleicht alles auf eine Verteilung zurückführen und dann mittels Faltungsformel und Induktion beweisen?

Bezug
                                                        
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Varianz und Kovarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Do 23.05.2019
Autor: hippias

Offenbar hast Du meine - kurze -  Mitteilung nicht gelesen. Daher nocheinmal: Wende die Gleichung $cov(aX+bY,Z)= acov(X,Z)+bcov(Y,Z)$ richtig an. Vielleicht hast Du Dich auch nur verschrieben. Jedenfalls ist Dein Beweis bis auf diese letzte Korrektur fertig.

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Varianz und Kovarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Do 23.05.2019
Autor: KatarinaE

Hi,
ich habe deine Nachricht schon vernommen, nur finde ich den Fehler, den du siehst nicht.

War heute kurz in der Sprechstunde beim Prof und er meinte
$ [mm] \operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, [/mm] X+Z) = [mm] \operatorname{cov}(X, X)\cdot{}\operatorname{cov}(X, [/mm] Z) = V(X) $  sei 100%ig richtig.


Wenn ich nun  [mm] $\operatorname{cov}(X, [/mm] X+Z)$ habe und $cov(aX+bY,Z)= acov(X,Z)+bcov(Y,Z)$ anwende, dann sollte ich das Ergebnis von oben bekommen. Es gilt ja speziell diese Eigenschaft $cov(X, Y ) = cov(Y, X)$


Das Problem ist nun, dass ich nicht mit der eigentlichen Aufgabe klar komme.

Sei nun Statt $Y = X+Y$ , $Y =X-Z$ gegeben, dann kann ich ja folgendes tun:

[mm] $\operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, [/mm] X-Z)= [mm] \operatorname{cov}(X-Z, [/mm] X) = [mm] \operatorname{cov}(X, X)\cdot{}\operatorname{cov}(X,-Z) [/mm] =$ Problem, denn (X,-Z) kann ich ja nicht so behandelt wie (X,Z)

Bezug
                                                                        
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Varianz und Kovarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Fr 24.05.2019
Autor: hippias

Meine Güte! $con(aX+bY,z)= acov(X,Z)+bcov(Y,Z)$ implizitert $cov(X,X+Z)= V(X) +cov(X,Z)$ und nicht [mm] $V(X)\cdot [/mm] cov(X,Z)$; bei letzteren käme doch, wie erwähnt, $0$ heraus, wenn $cov(X,Z)=0$.

Die hier von Dir gezeigte Rechnung hast Du also 100% Deinem Prof nicht vorgelegt.

Die obige Rechnung lässt sich leicht auf den Fall $X-Z$ übertragen: $X-Z= X+(-1)Z$.

Bezug
                                                                                
Bezug
Varianz und Kovarianz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:12 Fr 24.05.2019
Autor: KatarinaE

Nur müsste man dann zeigen dass $ cov(X,-Z)=0 $ ist, und das haben wir nicht getan.

Und ja dort habe ich durch das kopieren ein Mal statt ein Plus gemacht, ist mir in Latex nicht aufgefallen, kein sauer zu werden, Sie hätten es auch gleich im ersten Post richtig erwähnen können, so etwas passiert!

Bezug
        
Bezug
Varianz und Kovarianz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:00 Fr 24.05.2019
Autor: KatarinaE

Hallo, ich habe nun angenommen, ohne es zu beweisen, aber es sollte hoffentlich stimmen, dass $ [mm] \operatorname{cov}(X, [/mm] Y)=V(X) $  ist.

Nun muss ich
$ [mm] \operatorname{corr}(X, [/mm] Y)$ bestimmen, nach der Formel gilt:
$ [mm] \operatorname{corr}(X, [/mm] Y) = [mm] \frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{\mathbb{V} X \mathbb{V} Y}}$ [/mm]


Den Zähler habe ich nun, es fehlt also der Nenner und hier besonders [mm] $\operatorname{cov}(Y) [/mm] = [mm] \operatorname{cov}(X-Z)$ [/mm]

Dies müsste ich nun irgendwie umwandeln, damit ich was vernünftiges herausbekomme.

[mm] $\operatorname{cov}(X-Z) [/mm] = [mm] \operatorname{cov}(X+(-1)Z) [/mm] = [mm] \mathbb{E}\left[(X+(-1)Z)^{2}\right]-(\mathbb{E}[X+(-1)Z])^{2} [/mm] = [mm] $\mathbb{E}\left[X^{2}\right]+2 \mathbb{E}[X*(-1)Z]+\mathbb{E}\left[{(-Z]}^{2}\right]-\left(\mathbb{E}[X]^{2}+2 \mathbb{E}[X] \mathbb{E}[-Z]+\mathbb{E}[-Z]^{2}\right)$$ [/mm]

Wobei ich zuerst die Definition der Kovarianz und dann die Binomischen Formeln angewandt habe.

Nun habe ich aber Probleme mit dem $-Z$.

Über etwas Hilfe wäre ich dankbar, die Aufgabe quält mich nun schon 2 Tage

Bezug
                
Bezug
Varianz und Kovarianz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 So 26.05.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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