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Forum "Uni-Stochastik" - Varianzberechnung
Varianzberechnung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Varianzberechnung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 So 21.02.2010
Autor: hagen85

Hallo,

ich komme beim Berechnen einer Varianz nicht weiter:
[mm] \summe_{i=1}^{n} V[(X_i-\mu)^2] [/mm]

Wäre cool wenn mir jemand helfen könnte. Achja normalverteilte Grundgesamtheit mit Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und Varianz Sigma². Stichprobe i.i.d.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

VG Hagen

        
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Varianzberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 So 21.02.2010
Autor: luis52

Moin hagen85,

zunaechst ein [willkommenmr]

[mm] $\text{Var}[(X_i-\mu)^2]=\text{E}[(X_i-\mu)^4]+\text{E}^2[(X_i-\mu)^2]=\text{4. Zentrales Moment}+\text{Quadriarte Varianz}$. [/mm]

[gutenacht]

vg Luis      

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Varianzberechnung: Gelöst
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 22.02.2010
Autor: hagen85

Danke für deine Antwort.
Du hast also den Varianzverschiebungssatz angewendet. Der zweite Teil deiner Lösung ist ja dann [mm] \sigma^4. [/mm] Aber wie kann ich den ersten vereinfachen?

Mit der Summe und der i.i.d. Annahme müsste letztlich [mm] 2n\sigma^4 [/mm] rauskommen. Mir fehlen halten nur die Regeln um dahin zukommen.

--> hat sich erledigt, wegen der i.i.d Annahme gilt natürlich auch [mm] E[(X-\mu)^4]=E[(X-\mu)^2]*E[(X-\mu)^2] [/mm]

Dankeschön
VG Hagen

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Varianzberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Mo 22.02.2010
Autor: tobit09

Hallo Hagen,

> --> hat sich erledigt, wegen der i.i.d Annahme gilt
> natürlich auch [mm]E[(X-\mu)^4]=E[(X-\mu)^2]*E[(X-\mu)^2][/mm]

Nein. Ich nehme mal an, die [mm] $X_i$ [/mm] sind als stochastisch unabhängig vorausgesetzt. [mm] $(X_i-\mu)^2$ [/mm] ist sicherlich nicht stochastisch unabhängig von sich selbst.

Viele Grüße
Tobias

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Varianzberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Mo 22.02.2010
Autor: hagen85

Danke für die Korrektur, wenn die Beziehung die ich hergestellt habe nicht stimmt, wie komme ich denn sonst aus [mm] E[(X_i-\mu)^4] [/mm] auf [mm] \sigma^4? [/mm]

Und mal noch aus Interesse, wie ändert sicht das Ganze wenn dort anstatt [mm] \mu [/mm] das arithmetische Mittel steht?

VG Hagen

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Varianzberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 Mo 22.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

Ich hatte mir gedacht, vielleicht könnte man es auch so berechnen:

[mm] $Var((X-\mu)^{2}) [/mm] = [mm] Var\left(\sigma^{2}*\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right) [/mm] = [mm] \sigma^{4}*Var\left(\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right)$ [/mm]

... Und die Größe in der Varianz ist Chi - Quadrat - verteilt (1 Freiheitsgrad), hat also Varianz 2.

Grüße,
Stefan

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Varianzberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mo 22.02.2010
Autor: hagen85

Danke für die Antwort.
Das sieht gut aus. Aber woher weißt du, dass du für [mm] V[(X_i-\mu)^2] [/mm] auch [mm] V[\sigma^2*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^2] [/mm] schreiben kannst, was ist das für eine Regel? Das mit dem Chi-Quadrat versteh ich dann wieder.


Sorry, dass ich mich ein bißchen blöd anstelle aber würd gern den Rechenweg verstehen.

Vg Hagen

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Varianzberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Mo 22.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Hagen,

> Danke für die Antwort.
>  Das sieht gut aus. Aber woher weißt du, dass du für
> [mm]V[(X_i-\mu)^2][/mm] auch [mm]V[\sigma^2*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^2][/mm]
> schreiben kannst, was ist das für eine Regel?

Ich habe zwar keine Ahnung von der Materie, aber es sind doch die Ausdrücke in den eckigen Klammern identisch (zumindest so wie Stefan sie aufgeschrieben hat) ...

[mm] $\left(X_i-\mu\right)^2=\red{1}\cdot{}\left(X_i-\mu\right)^2=\red{\frac{\sigma^2}{\sigma^2}}\cdot{}\left(X_i-\mu\right)^2=\sigma^2\cdot{}\frac{\left(X_i-\mu\right)^2}{\sigma^2}=\sigma^2\cdot{}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$ [/mm]


> Das mit dem Chi-Quadrat versteh ich dann wieder.
>  
>
> Sorry, dass ich mich ein bißchen blöd anstelle aber würd
> gern den Rechenweg verstehen.
>  
> Vg Hagen

Gruß

schachuzipus

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Varianzberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Mo 22.02.2010
Autor: hagen85

Vielen Dank, das hätte ich wohl nur sehen müssen.:-D

VG
Hagen

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Bezug
Varianzberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Mo 22.02.2010
Autor: luis52


> Ich hatte mir gedacht, vielleicht könnte man es auch so
> berechnen:
>  
> [mm]Var((X-\mu)^{2}) = Var\left(\sigma^{2}*\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right) = \sigma^{4}*Var\left(\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right)[/mm]
>  
> ... Und die Größe in der Varianz ist Chi - Quadrat -
> verteilt (1 Freiheitsgrad), hat also Varianz 2.
>  

>

Hab deinen Eintrag erst jetzt entdeckt. Sauber, Stefan. [daumenhoch]

vg Luis


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Bezug
Varianzberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mo 22.02.2010
Autor: hagen85

Hallo,
ist die größe auch chiquadrat-verteilt wenn statt dem Mü ein X-Quer dort stehen würde? Der Erwartungswert von X-Quer ist ja Mü. Dann würde die Summe aber nur bis n-1 gehen oder?

VG Hagen

Bezug
                                                        
Bezug
Varianzberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mo 22.02.2010
Autor: luis52


> Hallo,
> ist die größe auch chiquadrat-verteilt wenn statt dem Mü
> ein X-Quer dort stehen würde? Der Erwartungswert von
> X-Quer ist ja Mü. Dann würde die Summe aber nur bis n-1
> gehen oder?

Moin Hagen,

[mm] $\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 [/mm] $ ist [mm] $\chi^2(n-1)$-verteilt... [/mm]

vg Luis





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Varianzberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mo 22.02.2010
Autor: luis52

Schau mal []hier, Punkt 15.

Danke tobit09 fuer die Korrektur.

vg Luis

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Bezug
Varianzberechnung: - statt +
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 13:42 Mo 22.02.2010
Autor: tobit09

Hallo,

die Formel für die Varianz einer quadratisch integrierbaren Zufallsgröße X lautet [mm] $\operatorname{Var}X=E(X^2)-(EX)^2$. [/mm] Also müssen die beiden + durch - ersetzt werden.

Viele Grüße
Tobias

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Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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