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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Variation der Konstanten
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Variation der Konstanten: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Do 25.12.2014
Autor: Bauigel61

Aufgabe
Gegeben ist

A:=      [mm] \pmat{0&-1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&1&-1\\0&0&0&0&0&0} [/mm]


(a) Bestimmen Sie für i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} jeweils die Lösung des Anfangswertproblems

               y′ = Ay , y(0) = [mm] v_{i} [/mm]
wobei
[mm] v_{1} [/mm] := (1, 0, 0, 0, 0, 0)⊤
[mm] v_{2} [/mm] := (0, 1, 1, 0, 0, 0)⊤
[mm] v_{3} [/mm] := (0, 0, 1, 0, 0, 0)⊤
[mm] v_{4} [/mm] := (0, 0, 0, 1, 0, 0)⊤
[mm] v_{5} [/mm] := (0, 0, 0, 0, 1, 0)⊤
[mm] v_{6} [/mm] := (0, 0, 0, 0, 0, 1)⊤

Ich weiß, dass
  [mm] y_{1}' [/mm] = [mm] -y_{2} [/mm]
  [mm] y_{2}' [/mm] = [mm] y_{1} [/mm]
  [mm] y_{3}' [/mm] = [mm] y_{1} [/mm] + [mm] y_{4} [/mm]
  [mm] y_{4}' [/mm] = [mm] -y_{6} [/mm]
  [mm] y_{5}' [/mm] = [mm] y_{6} [/mm] - [mm] y_{5} [/mm]
  [mm] y_{6}' [/mm] = 0

daraus folgt für mein
[mm] y_{1} [/mm] = C1cos(x) + C2sin(x)
[mm] y_{2} [/mm] = C1sin(x) - C2cos(x)
[mm] y_{3} [/mm] = C1sin(x) - C2cos(x) - [mm] \bruch{C6x^{2}}{2} [/mm] +C4x + C3
[mm] y_{4} [/mm] = C4 - C6x
[mm] y_{5} [/mm] = C6 + [mm] C5e^x [/mm]
[mm] y_{6} [/mm] = C6

zur Kontrolle habe ich es dann in Wolframalpha eingegeben, der jedoch sagt mir, dass
[mm] y_{1} [/mm] = C1cos(x) + C2sin(x)
[mm] y_{2} [/mm] = C2cos(x) - C1sin(x)
[mm] y_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{C6x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*C2e^{-ix}*(-1+e^{ix})^{2} [/mm] - C1sin(x) + C4x + C3
[mm] y_{4} [/mm] = C4 - C6x
[mm] y_{5} [/mm] = [mm] C5e^{x} +C6(1-e^{x}) [/mm]
[mm] y_{6} [/mm] = C6

Wieso sind meine [mm] y_{2},y_{3} [/mm] und [mm] y_{5} [/mm] unterschiedlich?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

                      

        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Do 25.12.2014
Autor: MathePower

Hallo Bauigel61,


[willkommenmr]


> Gegeben ist
>  
> A:=      
> [mm]\pmat{0&-1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&1&-1\\0&0&0&0&0&0}[/mm]
>  
>
> (a) Bestimmen Sie für i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} jeweils die
> Lösung des Anfangswertproblems
>  
> y′ = Ay , y(0) = [mm]v_{i}[/mm]
>  wobei
>  [mm]v_{1}[/mm] := (1, 0, 0, 0, 0, 0)⊤
>  [mm]v_{2}[/mm] := (0, 1, 1, 0, 0, 0)⊤
> [mm]v_{3}[/mm] := (0, 0, 1, 0, 0, 0)⊤
>  [mm]v_{4}[/mm] := (0, 0, 0, 1, 0, 0)⊤
> [mm]v_{5}[/mm] := (0, 0, 0, 0, 1, 0)⊤
> [mm]v_{6}[/mm] := (0, 0, 0, 0, 0, 1)⊤
>  Ich weiß, dass
>    [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]-y_{2}[/mm]
>    [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]y_{1}[/mm]
>    [mm]y_{3}'[/mm] = [mm]y_{1}[/mm] + [mm]y_{4}[/mm]
>    [mm]y_{4}'[/mm] = [mm]-y_{6}[/mm]
>    [mm]y_{5}'[/mm] = [mm]y_{6}[/mm] - [mm]y_{5}[/mm]
>    [mm]y_{6}'[/mm] = 0
>  
> daraus folgt für mein
>   [mm]y_{1}[/mm] = C1cos(x) + C2sin(x)
>   [mm]y_{2}[/mm] = C1sin(x) - C2cos(x)
>   [mm]y_{3}[/mm] = C1sin(x) - C2cos(x) - [mm]\bruch{C6x^{2}}{2}[/mm] +C4x +
> C3
>   [mm]y_{4}[/mm] = C4 - C6x
>   [mm]y_{5}[/mm] = C6 + [mm]C5e^x[/mm]
>   [mm]y_{6}[/mm] = C6
>  
> zur Kontrolle habe ich es dann in Wolframalpha eingegeben,
> der jedoch sagt mir, dass
> [mm]y_{1}[/mm] = C1cos(x) + C2sin(x)
>   [mm]y_{2}[/mm] = C2cos(x) - C1sin(x)
>   [mm]y_{3}[/mm] = [mm]-\bruch{C6x^{2}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}*C2e^{-ix}*(-1+e^{ix})^{2}[/mm] - C1sin(x) + C4x +
> C3
>   [mm]y_{4}[/mm] = C4 - C6x
>   [mm]y_{5}[/mm] = [mm]C5e^{x} +C6(1-e^{x})[/mm]
>   [mm]y_{6}[/mm] = C6
>  
> Wieso sind meine [mm]y_{2},y_{3}[/mm] und [mm]y_{5}[/mm] unterschiedlich?
>


Die unterschiedlichen Ergebnisse kommen aufgrund
unterschiedlicher Rechenverfahren zur Ermittlung der
Lösung eines DGL-Systems zustande.


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Do 25.12.2014
Autor: Bauigel61

Also ist meine Rechnung bzw. Zwischenergebnis nicht unbedingt falsch ?

Bezug
                        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Do 25.12.2014
Autor: DieAcht

Hallo Bauigel61 und [willkommenmr]!


Deine Rechnung ist richtig.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Do 25.12.2014
Autor: Bauigel61


Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:04 Sa 27.12.2014
Autor: Bauigel61

Hallo ich hätte eine weitere Frage und zwar wenn ich mein [mm] y_{5} [/mm] mit Hilfe von Variation der Konstanten berechne bekomme ich mein oben geschriebenes Ergebnis, wobei mein [mm] y_{6} [/mm] genauso aussieht, wie das von Wolfrahmalpha. Mich würde nun interessieren, weshalb es ein etwas unterschiedliches Ergebnis bei [mm] y_{5} [/mm] erhält? Ich habe durch unterschiedliche Rechnungen versucht, dasselbe Ergebnis zu erhalten aber vergebens. Welches Rechenverfahren hat das Programm benutzt? Über eine positive Antwort würde ich mich sehr freuen.

Bezug
                        
Bezug
Variation der Konstanten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 29.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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