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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Mija |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei I ein offenes Intervall, und sei $A= \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } : I \to Mat(2,2,\IR)$ stetig. Sei $\varphi : I \to \IR^2$ eine Lösung zu $\dot \varphi(t) = A(t)\varphi(t)$ mit $\varphi_1(t) \not= 0$ für alle $t \in I$.
Zeigen Sie: Sind $g, u: I \to \IR$ Lösungen zu $g'(t) = (a_{22} - \bruch{a_{12}}{\varphi_1}*\varphi_2)(t)*g(t)$ bzw. $u'(t) = \bruch{a_{12}}{\varphi_1}(t)*g(t)$, so erfüllt
\psi : I \ni t \mapsto u(t)\varphi(t) + \vektor{0 \\ g(t)} \in \IR^2$
ebenfalls $\dot \psi(t) = A(t)\psi(t)$, und falls $g \not= 0$ gilt, so ist \{\varphi,\psi\}$ eine Basis des Lösungsraumes.
Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Wir betrachten die DGL (L)
$\dot \varphi(t) = \pmat{ -1 & \bruch{1}{t} \\ 1-t & 1 }*\varphi(t) + \vektor{ln(t)+\bruch{1}{t} \\ (t-1)*ln(t)}$
für $\varphi : (0,\infty) \to \IR^2$. Eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist $\varphi(t) := \vektor{1 \\ t}$.
Bestimmen Sie mit Hilfe von obiger Aufgabe eine Fundamentalmatrix und anschließend alle Lösungen von (L). |
Ich habe für die letzte Aufgabe Eigenwerte für $A(t)$ von $\lambda_1 = -\bruch{1}{\wurzel{t}}$ und $\lambda_2 = \bruch{1}{\wurzel{t}}$ heraus.
Damit komme ich zu der Fundamentalmatrix $\pmat{ \bruch{1}{( \wurzel{t}-1)* \wurzel{t}} & \bruch{1}{(\wurzel{t}+1)*\wurzel{t} \\ 1 & 1 }$
Stimmt das?
(Wenn ich die Lösungen per Variation der Konstanten herausbekommen möchte, komme ich auf total wirre und ewig lange Werte..)
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Hallo Mija,
> Sei I ein offenes Intervall, und sei [mm]A= \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } : I \to Mat(2,2,\IR)[/mm]
> stetig. Sei [mm]\varphi : I \to \IR^2[/mm] eine Lösung zu [mm]\dot \varphi(t) = A(t)\varphi(t)[/mm]
> mit [mm]\varphi_1(t) \not= 0[/mm] für alle [mm]t \in I[/mm].
> Zeigen Sie:
> Sind [mm]g, u: I \to \IR[/mm] Lösungen zu [mm]g'(t) = (a_{22} - \bruch{a_{12}}{\varphi_1}*\varphi_2)(t)*g(t)[/mm]
> bzw. [mm]u'(t) = \bruch{a_{12}}{\varphi_1}(t)*g(t)[/mm], so
> erfüllt
> [mm]\psi[/mm] : I [mm]\ni[/mm] t [mm]\mapsto u(t)\varphi(t)[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ g(t)} \in \IR^2$[/mm]
>
> ebenfalls [mm]$\dot \psi(t)[/mm] = [mm]A(t)\psi(t)$,[/mm] und falls $g [mm]\not=[/mm]
> 0$ gilt, so ist [mm]\{\varphi,\psi\}$[/mm] eine Basis des
> Lösungsraumes.
>
>
> Nun zur eigentlichen Aufgabe:
>
> Wir betrachten die DGL (L)
>
> [mm]\dot \varphi(t) = \pmat{ -1 & \bruch{1}{t} \\ 1-t & 1 }*\varphi(t) + \vektor{ln(t)+\bruch{1}{t} \\ (t-1)*ln(t)}[/mm]
>
> für [mm]\varphi : (0,\infty) \to \IR^2[/mm]. Eine Lösung der
> zugehörigen homogenen Gleichung ist [mm]\varphi(t) := \vektor{1 \\ t}[/mm].
>
> Bestimmen Sie mit Hilfe von obiger Aufgabe eine
> Fundamentalmatrix und anschließend alle Lösungen von
> (L).
>
> Ich habe für die letzte Aufgabe Eigenwerte für [mm]A(t)[/mm] von
> [mm]\lambda_1 = -\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm] und [mm]\lambda_2 = \bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm]
> heraus.
> Damit komme ich zu der Fundamentalmatrix [mm]\pmat{ \bruch{1}{( \wurzel{t}-1)* \wurzel{t}} & \bruch{1}{(\wurzel{t}+1)*\wurzel{t} \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Stimmt das?
Leider nein.
Für die zweite Lösung des DGL-Systems
[mm]\dot \varphi(t) = \pmat{ -1 & \bruch{1}{t} \\ 1-t & 1 }*\varphi(t)[/mm]
machst Du den Ansatz
[mm]\varphi\left(t\right)=u\left(t\right)*\pmat{1 \\ t}+\pmat{0 \\ g\left(t\right)}[/mm]
Dies führt dann auf das neue DGL-System:
[mm]\pmat{0 \\ g'\left(t\right)}=\pmat{ -1 & \bruch{1}{t} \\ 1-t & 1 }*\pmat{0 \\ g\left(t\right)}-u'\left(t\right)*\pmat{1 \\ t}[/mm]
So, jetzt versuche die zweite Lösung des
homogenen DGL-Systems zu ermitteln.
>
> (Wenn ich die Lösungen per Variation der Konstanten
> herausbekommen möchte, komme ich auf total wirre und ewig
> lange Werte..)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Mija |
Ich habe jetzt das Gleichungssystem mit u'(t) und g'(t) aus der oberen Aufgabe gelöst und bin auf
$g(t)=0$ und $g'(t)=0$
gekommen.
Kann ich damit was anfangen?
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Hallo Mija,
> Ich habe jetzt das Gleichungssystem mit u'(t) und g'(t) aus
> der oberen Aufgabe gelöst und bin auf
> [mm]g(t)=0[/mm] und [mm]g'(t)=0[/mm]
> gekommen.
> Kann ich damit was anfangen?
Mit der DGL
[mm]g'\left(t\right)=0[/mm]
kannst Du was anfangen.
Dies jetzt integrieren, liefert g(t).
Damit bestimmst Du gemäß
[mm]u'\left(t\right)=\bruch{1}{t}*g\left(t\right)[/mm]
die Funktion u(t).
Dies alles setzt Du jetzt in den Ansatz
[mm]\varphi\left(t\right)=u\left(t\right)*\pmat{1 \\ t}+\pmat{0 \\ g(t\right)}[/mm]
ein, und erhältst so die zweite Lösung des homogenen DGL-Systems.
Gruss
MathePower
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