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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Variation der Konstanten
Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Variation der Konstanten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Do 30.06.2011
Autor: mathefreak89

Aufgabe
[mm] xy'=x^2-y [/mm]

Hallo

Habe ja als komogenen Teil:

xy'+y=0

[mm] y'=-\bruch{y}{x}=z [/mm]

[mm] z'=-[\bruch{y'*x-y}{x^2}] [/mm]

[mm] z'=-\bruch{y'}{x}+\bruch{y}{x^2} [/mm]

Nach Variablentrennung:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{-2z}dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx} [/mm]

[mm] -\bruch{1}{2}ln(-\bruch{y}{x})=ln(x)+C [/mm]

[mm] -\bruch{y}{x}=e^{-2ln(x)-2C} [/mm]

[mm] y=-e^{-2ln(x)-2C}*x [/mm]

An dieser Stelle würde ich gerne wissen wie ich den ganzen Term vereinfachen kann und ob das ganze überhaupt soweit richtig ist für miene homogene Lösung? Das C im Exponenten ist ja nicht so schön wenn ich C(x) für die inhomogene Lösung berechnen muss.
#
Gruß mathefreak


        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Do 30.06.2011
Autor: kamaleonti

Moin mathefreak,
> [mm]xy'=x^2-y[/mm]
>  Hallo
>  
> Habe ja als komogenen Teil:
>  
> xy'+y=0
>  
> [mm]y'=-\bruch{y}{x}=z[/mm]
>  
> [mm]z'=-[\bruch{y'*x-y}{x^2}][/mm]
>  
> [mm]z'=-\bruch{y'}{x}+\bruch{y}{x^2}[/mm]
>  
> Nach Variablentrennung:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{-2z}dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}[/mm]
>  
> [mm]-\bruch{1}{2}ln(-\bruch{y}{x})=ln(x)+C[/mm]
>  
> [mm]-\bruch{y}{x}=e^{-2ln(x)-2C}[/mm]
>  
> [mm]y=-e^{-2ln(x)-2C}*x[/mm] [ok]

Es ist [mm] -e^{-2\ln(x)-2C}*x=-e^{-2\ln(x)}e^{-2C}*x=x^{-2}*C_1*x=\frac{C_1}{x}, [/mm] wobei [mm] C_1:=-e^{-2C}. [/mm]

LG

Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Do 30.06.2011
Autor: mathefreak89

Kann es sein dass du ein - vergessen hast bei

[mm] \red{-}x^{-2}*C_1*x [/mm]

und wie bist du auf [mm] C_1 [/mm] gekommen muss ich nich für meine inhomogenen Lösungen C(x) berechnen?



Bezug
                        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Do 30.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo mathefreak89,

> Kann es sein dass du ein - vergessen hast bei
>
> [mm][red]-[\red]x^{-2}*C_1*x[/mm][/red][/mm]

Nein, das "-" hat kamaleonti mit in die Konstante gepackt:

[mm]-e^{-2\ln(x)}\cdot{}e^{-2C}\cdot{}x=\blue{-e^{-2C}}\cdot{}x\cdot{}e^{-2\ln(x)}=\blue{C_1}\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]

> [mm][red] [/red][/mm]
> [mm][red]und wie bist du auf C_1[/mm] gekommen muss ich nich für meine [/red][/mm]
> [mm][red]inhomogenen Lösungen C(x) berechnen?[/red][/mm]
> [mm][red] [/red][/mm]
> [mm][red] [/red][/mm]

[mm]C_1[/mm] ist einfach nur eine Umbenennung der Konstante [mm]-e^{-2C}[/mm]

Um eine spezielle Lösung [mm]y_p[/mm] der inhomog. Dgl abzugreifen, ist nun Variation der Konstante angesagt.

Mache [mm]C_1[/mm] von x abhängig:

[mm]y_{p}(x)=C_1(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]

Das nun ableiten und mit der Ausgangsdgl. vergleichen ...

Gruß

schachuzipus

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