Variation des Ziegenproblems < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mo 19.10.2009 | | Autor: | sasi |
Hallo!
Ich schreibe gerade an meiner Facharbeit über Paradoxa in der Wahrscheinlichkeit, größtenteils geht es um das Ziegenproblem.
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
Probleme habe ich geade mit dem letzten Teil, in dem es um Variationen des Ziegenproblems und deren Berechnung geht.
Die Variation soll sein, dass sich die Anzahl der Autos verändert. Da das bei nur drei Toren nicht möglich ist, muss auch die Anzahl der Tore verändert werden.
n= Anzahl der Tore
a=Anzahl der Autos
Meine ersten Überlegungen:
0 < a < n-1
-die spätere Formel zunächst in zwei kleineren Formeln zu erstellen, eine dafür, dass der Spieler beim ersten Versuch das / ein richtiges Tor trifft:
[mm] \bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a
[/mm]
und die andere dafür, dass der Spieler beim ersten Versuch ein Ziegentor trifft:
[mm] \bruch{1}{n}*(n-1)*\bruch{1}{n-2}
[/mm]
Die geamte Formel wäre dann
[mm] \bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a+\bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a
[/mm]
Ist das richtig?
Ich weiß, das ist eine verdammt blöde Frage, um sie in so ein Forum zu schreiben, weil sich diejenigen die antworten wollen erstmal komplett rein denken müssen. Aber ich hab mich bei dieser Formel mittlerweile so oft verrannt & brauch deshalb Hilfe.
Für n=5 und n=6 habe ich schon alle möglichen a probiert, es passt meiner Meinung nach. Zufall, oder habe ich die richtige Formel gefunden?
Vielen Dank sasi
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> Hallo!
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> Ich schreibe gerade an meiner Facharbeit über Paradoxa in
> der Wahrscheinlichkeit, größtenteils geht es um das
> Ziegenproblem.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
>
> Probleme habe ich geade mit dem letzten Teil, in dem es um
> Variationen des Ziegenproblems und deren Berechnung geht.
>
> Die Variation soll sein, dass sich die Anzahl der Autos
> verändert. Da das bei nur drei Toren nicht möglich ist,
> muss auch die Anzahl der Tore verändert werden.
>
> n= Anzahl der Tore
> a=Anzahl der Autos
>
> Meine ersten Überlegungen:
> 0 < a < n-1
> -die spätere Formel zunächst in zwei kleineren Formeln
> zu erstellen, eine dafür, dass der Spieler beim ersten
> Versuch das / ein richtiges Tor trifft:
>
> [mm]\bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a[/mm]
>
> und die andere dafür, dass der Spieler beim ersten Versuch
> ein Ziegentor trifft:
>
> [mm]\bruch{1}{n}*(n-1)*\bruch{1}{n-2}[/mm]
>
> Die geamte Formel wäre dann
>
> [mm]\bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a+\bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a[/mm]
>
>
> Ist das richtig?
>
> Ich weiß, das ist eine verdammt blöde Frage, um sie in so
> ein Forum zu schreiben, weil sich diejenigen die antworten
> wollen erstmal komplett rein denken müssen. Aber ich hab
> mich bei dieser Formel mittlerweile so oft verrannt &
> brauch deshalb Hilfe.
> Für n=5 und n=6 habe ich schon alle möglichen a
> probiert, es passt meiner Meinung nach. Zufall, oder habe
> ich die richtige Formel gefunden?
>
>
> Vielen Dank sasi
Hallo sasi,
du könntest uns die Eindenkarbeit wesentlich
erleichtern, wenn du die neue Problemstellung
exakt erläutern und erklären würdest, welche
Wahrscheinlichkeiten du genau berechnen
willst.
Also: statt 3 Tore und ein Auto haben wir
n Tore und a Autos. Soweit alles klar. Aber was
soll dann passieren ? Darf der Kandidat genau
einmal versuchen, der Showmaster genau ein
Ziegentor öffnen und der Kandidat nur ein
weiteres Mal tippen ? - oder geht das Ganze
eventuell noch weiter ?
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mo 19.10.2009 | | Autor: | sasi |
Stimmt, sorry meine Erklärung von vorhin ist wirklich nicht wahnsinnig gut! Ich fange noch mal von vorne an.
Also erstmal das "normale" Problem:
-Es gibt drei Tore. Hinter Zweien verbirgt sich je eine Ziege, hinter dem anderen ein Auto. Außerdem sind ein Moderator und ein Kandidat beteilgt.
-Kandidat wählt eines der Tore
-Moderator öffnet ein Tor. Für dieses Tor gelten die folgende Regeln:
1. Es darf sich kein Auto dahinter dem Tor verbergen
2. Es darf sich nicht um das vom Kandidaten gewählte Tor handeln.
-nun darf der Kandidat wählen, ob er sein zuerst gewähltes Tor behalten möchte, oder das noch übrige (nicht als erstes gewählte und nicht geöffnete) Tor nehmen möchte.
Gewonnen hat er natürlich, wenn er am Ende das Tor hinter dem das Auto steht hat.
Die Wahrscheinlickeit für diesen Fall, dass er das Auto gewinnt, wenn er das zu Anfang gewählte Tor später nicht tauscht ist [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen wenn er am Ende sein Tor gegen das übrige Tor eintauscht ist [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{3-2}*(3-1).
[/mm]
Daraus habe ich dann die allgemeinen Formeln für eine variierbare Anzahl der Tore gemacht.
ohne Wechsel: [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
mit Wechsel: [mm] \bruch{1}{n}*\bruch{1}{n-2}*(n-1)
[/mm]
Wobei n wie gehabt für die Anzahl der Tore steht, a für die Anzahl der Autos.
Nun wollte ich ähnliche Formeln finden, mit denen ich die Gewinnchance mit bzw ohne Wechsel bei variierbarem a und n berechnen kann.
Bei dieser Variante schmeißt der Moderator auch nur ein Ziegentor raus, der Kandidat darf sein Torebenfalls nur einmal wechseln.
Ohne Wechsel ist die ganze Geschichte noch genz einfach: [mm] \bruch{a}{n}
[/mm]
Dann komm ich jetzt mal zu meinen Problemchen:
Die Variante mit Wechsel wird umfangreicher und ich habe mich bei der suche nach einer lösung schon des öfteren verrrannt.
Meine Überlegung ist, zunächst zwei Formeln zu erstellen,. die ich dann später addiere, damit das ganze ein bisschen übersichtlicher bleibt.
f(a,n) soll zunächst den beschreiben, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das der Spieler nachdem er zu anfang ein Tor hinter dem ein Auto steht gewählt hat, beim wechsel des Tores erneut ein Tor zu erwische, hinter dem ein Auto steht.
Nach langem überlegen, rechnen und rumprobieren bin ich dann auf
$ [mm] f(a,n)=\bruch{1}{n}\cdot{}(a-1)\cdot{}\bruch{1}{n-2}*a [/mm] $
gekommen.
Für den Fall, dass der Spieler zunächst ein Tor hinter dem eine Ziege steht gewählt hat und danach zu einem Autotor wechselt haben ich folgende Formel:
$g(n,a)= [mm] \bruch{1}{n}\cdot{}(n-a)\cdot{}\bruch{1}{n-2}*a [/mm] $
Wenn ich nun beide Formeln zusammen rechne komme ich auf:
h(n,a)=g(a,n)+f(a,n)= [mm] \bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{1}{n-2}*a\cdot{}((n-a)+(a-1) [/mm] $
Für n={5,6} und deren möglich a habe ich die Formel schon erfolgreich ausprobiert, ist sie so wirklich richtig?
Ich hoffe, dass ich sämtliche Fragen beantworten konnte.
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> Nach langem überlegen, rechnen und rumprobieren bin ich
> dann auf
> [mm]f(a,n)\ =\ \bruch{1}{n}\cdot{}(a-1)\cdot{}\bruch{1}{n-2}*a[/mm]
> gekommen.
>
> Für den Fall, dass der Spieler zunächst ein Tor hinter
> dem eine Ziege steht gewählt hat und danach zu einem
> Autotor wechselt haben ich folgende Formel:
>
> [mm]g(n,a)\ =\ \bruch{1}{n}\cdot{}(n-a)\cdot{}\bruch{1}{n-2}*a[/mm]
>
> Wenn ich nun beide Formeln zusammen rechne komme ich auf:
>
> $h(n,a)=g(a,n)+f(a,n)\ =\ [mm] \bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{1}{n-2}*a\cdot{}((n-a)+(a-1)$
[/mm]
Hinweis zu deinen Formeln: du solltest immer dieselbe
Reihenfolge der Argumente benützen, entweder (n,a)
oder (a,n), aber nicht beides durcheinander !
> Für n={5,6} und deren möglich a habe ich die Formel schon
> erfolgreich ausprobiert, ist sie so wirklich richtig?
Wie schon gesagt, dieses Ergebnis (für beliebige
zugelassene Werte von n und a) ist richtig.
Man kann sie zusammenfassen zu
P(Kandidat gewinnt ein Auto, falls er seine
erste Wahl aufgibt und ein neues Tor wählt)
$\ =\ [mm] \frac{a}{n}*\frac{n-1}{n-2}$
[/mm]
Man kann die Herleitung der Formel an einem recht
einfachen zweistufigen Binärbaum deutlich machen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:29 Di 20.10.2009 | | Autor: | sasi |
Danke, das ist die Antwort, dich ich lesen wollte ;)
Das Problem war nur einfach, dass ich mich bei der Suche nach der Lösung so oft verrannt habe & am Ende wirklich nicht mehr sicher war, ob das überhauppt in die richtie richtung ging.
Den Tipp mit dem Baum werd ich beim nächsten mal auf jeden Fall berücksichtige, ich hab mir die ganze Geschichte echt unnötig schwer gemacht...
Liebe Grüße & nochmal einn ganz großes Dankeschön!
sasi
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> Hallo!
>
> Ich schreibe gerade an meiner Facharbeit über Paradoxa in
> der Wahrscheinlichkeit, größtenteils geht es um das
> Ziegenproblem.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
>
> Probleme habe ich geade mit dem letzten Teil, in dem es um
> Variationen des Ziegenproblems und deren Berechnung geht.
>
> Die Variation soll sein, dass sich die Anzahl der Autos
> verändert. Da das bei nur drei Toren nicht möglich ist,
> muss auch die Anzahl der Tore verändert werden.
>
> n= Anzahl der Tore
> a= Anzahl der Autos
>
> Meine ersten Überlegungen:
> 0 < a < n-1
> -die spätere Formel zunächst in zwei kleineren Formeln
> zu erstellen, eine dafür, dass der Spieler beim ersten
> Versuch das / ein richtiges Tor trifft:
>
> [mm]\bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und die andere dafür, dass der Spieler beim ersten Versuch
> ein Ziegentor trifft:
>
> [mm]\bruch{1}{n}*(n-1)*\bruch{1}{n-2}[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
wo ist hier das a geblieben ?
> Die geamte Formel wäre dann
>
> [mm]\bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a+\bruch{1}{n}*(a-1)*\bruch{1}{n-2}*a[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Einen solchen Term zusammenzufassen würde ich
eigentlich für selbstverständlich halten.
Ich habe ihn zusammengefasst und festgestellt,
dass er offenbar falsch ist.
Die Formel, die du in deiner Mitteilung "Erklärung der
Aufgabenstellung" angegeben hast:
$ [mm] \bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{1}{n-2}\cdot{}a\cdot{}((n-a)+(a-1)\red{)} [/mm] $
welche sich ebenfalls noch vereinfachen lässt, ist
jedoch richtig.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Mo 19.10.2009 | | Autor: | sasi |
Es ging aucvh nicht darum, den Term zusammen zu fassen, der so gemeint war, wie du ihn geschrieben hast, sondern darum, o0b die beiden terme, die ich davor aufgestellt habe, richtig sind.
Ich gehe jetzt aber einfach davon aus, das ich nicht richtig liege.
Viele Dankfür die Anatwort!
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