Vektor- Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Kevinus |
Halli Hallo,
meine Frage lautet nur ganz kurz: Was ist ein (Unter-) Vektorraum?
Ich meine, ich habe vieles schon in meinen Script darüber gelesen, Wikipedia und andere Internetseiten habe ich mit der Frage auch schon missbraucht, aber trotzdem kann ich mir es einfach nicht vorstellen was das nun genau ist. Ich brauche keine Formeln und Eigenschaften zur Erklärung, die habe ich selbst im Script stehen, dass hilft mir einfach nicht. Ich möchte wirklich VERSTEHEN was ein Vektor- bzw. Untervektorraum ist. Gibt es dazu anschauliche Beispiele oder kann mir das jemand verständlich erklären ohne mir hunderte algebraische Begriffe an den Kopf zuschmeißen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Fr 13.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erstmal im [mm] \IR^3: [/mm] jede Gerade durch den 0 Pkt ist ein 1d Unterraum. jede Ebene, die (0,0,0) enthaelt ist ein 2d Unterraum.
allgemeiner kann man sich das immer in der Art vorstellen, nur im [mm] \IR^{10} [/mm] ist der 9d Unterraum nicht mehr so einfach vorstellbar, aber der [mm] \IR^{10} [/mm] selbst ja auch nicht.
Bei Polynomen etwa, bilden die bis zum Grade bis 2 einen Unterraum zu denen mit Graden bis 3 oder 5 oder n.
Wenn du ne Darstellung der Vektoren als n-Tupel hast, kannst du immer einen Unterraum erzeugen, indem du eine (oder mehrere) der Komponenten 0 setzt.
Wichtig ist ja nur jeweils dass das wieder ein VR ist, der aber bis auf die dimension die gleichen eigenschaften wie der "Oberraum" hat.
Wenn das noch nicht klar genug ist, musst du fragen, wo die Vorstellung hakt.
Aber da VR selbst ja ein abstrakter Begriff ist, kann man sich nicht immer alles vorstellen. in mathe muss man sich angewoehnen mit definitionen umzugehen, die man vielleicht durch einige Beispiele ein wenig anschaulich machen kann, aber die in ihrer Allgemeinheit eben mehr beinhalten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Kevinus |
| Aufgabe | | Wenn du ne Darstellung der Vektoren als n-Tupel hast, kannst du immer einen Unterraum erzeugen, indem du eine (oder mehrere) der Komponenten 0 setzt. |
Diesen Satz verstehe ich noch nicht. Was meinst du mit Komponenten?
Der Unterraum eines Vektorraums ist also immer mind. eine Dimension kleiner und besitzt aber immer noch die gleichen Eigenschaften wie der Vektorraum. Ist das so richtig?
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> Der Unterraum eines Vektorraums ist also immer mind. eine
> Dimension kleiner und besitzt aber immer noch die gleichen
> Eigenschaften wie der Vektorraum. Ist das so richtig?
Huhu,
nein, so einfach ist es leider nicht, da Jeder Vektorraum ja ein Unterraum von sich selbst ist 
Eigentlich ist die einfachste Definition von Untervektorraum:
Sei V ein Vektorraum. W ist Unterraum von V, wenn W Teilmenge von V und selbst ein Vektorraum ist.
Natürlich gibt es "spezielle" Unterräume, z.B. wenn du eine Komponente 0 setzt:
Im [mm] \IR^2 [/mm] haben ja alle Vektoren die Form [mm] \vektor{x \\ y}.
[/mm]
Alle Vektoren der Form [mm] \vektor{x \\ 0} [/mm] bilden dann einen Untervektorraum, genauso wie alle Vektoren der Form [mm] \vektor{0 \\ y}
[/mm]
Aber das ist jetzt schon "mehr" als du eigentlich wolltest, du wolltest ja ne anschauliche Definition.
In meinen Augen ist die Definition
1.) Teilmenge
2.) selbst wieder Vektorraum
recht anschaulich, da man meist weiss, was man sich unter einer Teilmenge vorzustellen hat
Und mehr ist es ja auch nicht.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Kevinus |
Ah, ok. Dann danke ich euch beiden. Ich glaube so langsam versteh ichs. :)
Ist nur halt ziemlich schwer/abstrakt sich diese Vektorräume in höheren Dimensionen "vorzustellen". Ich denke da liegt einfach auch mein Problem, sich einfach mit den Tatsachen bzw. Fakten einfach zu frieden zu geben.
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