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Hallo!
Meine Aufgabe: Veranschauliche Teilmengen des reellen Vektorraumes [mm] \IR^2:
[/mm]
{(-1,1) + [mm] \lambda(1,2); \lambda \in \IR}
[/mm]
Ist diese Menge ein Unterraum von [mm] \IR^2?
[/mm]
Meine Frage: Ich erhalte hier eine Menge von Vektoren. Wenn man nur 1 Vektor herausnimmt - entspricht dieser eine Vektor nicht schon dem gesamten Raum [mm] \IR^2? [/mm]
Wenn man die Situation graphisch veranschaulicht, zeichnet man nur 1 Vektor, der aber als Repräsentant aller parallelverschobenen Vektoren gilt - somit erhalte ich die gesamte Ebene - oder??
Danke & greetz
sonnenblumale
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Hallo,
wie kann den ein Vektor dem gesamten [mm] \IR^{2} [/mm] entsprechen? Du kannst höchstens versuchen zu zeigen, dass dein Vektor den [mm] \IR^{2} [/mm] erzeugt.
Das dürfte aber kaum möglich sein, da die Basis des [mm] \IR^{2} [/mm] mind. 2 Vektoren enthält und die Basis ist stets das kleinste Erzeugendensystem...!
Ansonsten kannst du ganz einfach das Unterraumkriterium benutzen, um z.z., dass das ein Unterraum ist.
VG mathmetzsch
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Hallo!
Hab da noch einige Unklarheiten, das Thema betreffend:
Wird bei einem Unterraum nur der Definitionsbereich der Vektoren eingeschränkt oder auch jener der Skalare?
Hierbei habe ich folgende Abbildung vor augen: K Körper, (V, +) abelsche Gruppe; KxV-> V: ( [mm] \lambda, [/mm] v) [mm] \mapsto \lambda \circ [/mm] v
Das ist die Abbildung eines Vektorraumes, die ja auch für den Unterraum gilt, oder?
Was kann ich mir unter einer Linearkombination vorstellen. Ich kann mit der Summe von Skalarprodukteneinfach nichts anfangen.
Wie kann ich mir das Erzeugendensystem vorstellen? Ist das in karthesischen Koordinatensystem die x,y-Achse? Oder ist das die Basis?
Ich kann im Bereich der Vektorenrechnung auf keinerlei Vorkenntnisse zurückgreifen und hab jetzt dementsprechend probleme mit den Definitionen etwas anzufangen.
Bin für Hilfe dankbar
sonnenblumale
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Hallo!
> Wird bei einem Unterraum nur der Definitionsbereich der
> Vektoren eingeschränkt oder auch jener der Skalare?
Das mit dem Definitionsbereich vergiß mal lieber...
Eingeschränkt ist beim Vektorraum die additive Gruppe, sie ist kleiner, als die im Vektorraum, eine Untergruppe. Der Skalarenkörper ist derselbe.
Um etwas Gespür für "Untervektorraum" zu bekommen: Eine Ebene durch den Koordinatenursprung ist ein Vektorraum. Und jede Gerade in dieser Ebene, die auch durch den Ursprung geht, ist ein Untervektorraum dieses Vektorraumes.
>
> Was kann ich mir unter einer Linearkombination vorstellen.
Wenn Du irgendwelche Vektoren des Vektorraumes hast, die mit irgednwelchen Skalaren multiplizierst, und dann addierst, hast Du eine Linearkombination dieser Vektoren.
Beispiel: Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \IR^n [/mm] sind gegeben, und es ist z.B. 5 [mm] \vec{a}-3 \vec{b}+ \bruch{3}{4}\vec{c} [/mm] eine Linearkombination dieser Vektoren.
Man kann sich auch die Menge L aller Linearkombinationen dieser Vektoren anschauen, und man tut es ziemlich oft: L={ [mm] \lamba \vec{a}+ \nu \vec{b}+ \mu \vec{c}: \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\in \IR^n, \lambda, \nu,\mu \in \IR}
[/mm]
> Ich kann mit der Summe von Skalarprodukteneinfach nichts
> anfangen.
>
> Wie kann ich mir das Erzeugendensystem vorstellen? Ist das
> in karthesischen Koordinatensystem die x,y-Achse? Oder ist
> das die Basis?
Ein Erzeugendensystem eines Vektorraumes V ist eine Familie von Vektoren, aus denen Du Dir per Linearkombination den ganzen Raum basteln kannst. D.h., daß du jedes Element von V als Linearkombination von Vektoren dieser Familie darstellen kannst.
Eine Basis von V ist ein Erzeugendensystem, welches man nicht mehr verkleinern kann, ein minimales Erzeugendensystem. Also ist jede basis ein Erzeugendensystem, aber nicht umgekehrt.
Ein Erzeugendensystem kann einen Haufen überflüssiger Vektoren enthalten, eine Basis nicht. Eine Basis hat nicht einen einzigen zuviel.
Gucken wir uns Deine Koordinatenebene an: Es ist ( [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}) [/mm] eine Basis, auch ( [mm] \vektor{7 \\ 0}, \vektor{1 \\ - \bruch{3}{4}}), [/mm] und auch ( [mm] \vektor{17 \\ -39}, \vektor{2 \\ 8}) [/mm] und noch viele andere.
Jede dieser Basen erzeugt [mm] \IR^2, [/mm] und Du merkst sofort, daß man das mit nur einem Vektor nicht schafft.
Ein Erzeugendensystem, welches keine Basis ist, wäre beispielsweise ( [mm] \vektor{4 \\ 0},\vektor{17 \\ -39}, \vektor{2 \\ 8}, \vektor{0 \\ -7}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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