Vektor Binomische Formeln < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 So 28.10.2012 | | Autor: | Jolle |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarprodunkt:
(a) Für Vektoren x; y Element [mm] R^n [/mm] gelten die binomischen Formeln
(i) ||x + [mm] y||^{2} [/mm] = [mm] ||x||^{2} [/mm] + 2 <x, y> + [mm] ||y||^{2},
[/mm]
(ii) ||x - [mm] y||^{2}= ||x||^{2} [/mm] - 2 <x, y> + [mm] ||y||^{2},
[/mm]
(iii) <x + y; x - y> = [mm] ||x||^{2} [/mm] + [mm] ||y||^{2},
[/mm]
(b) Sind die Vektoren x und y gleich lang (d.h. ||x|| = ||y||), so stehen x+y und x-y senkrecht
aufeinander.
Hinweis: Folgt aus (iii) in Teil (a)
(c) Stehen x und y senkrecht aufeinander, so sind x + y und x - y gleich lang.
Hinweis: Folgt aus (i) und (ii) in Teil (a) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Community,
Zur oben stehenden Frage habe ich leider nicht so viele ideen :/
Zur aufgabe a) habe ich mir einfach mal zwei Vektoren ausgedacht x = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] und y = [mm] \vektor{0 \\ 2}. [/mm] Darauß folg für mich dann eingesetzt in die binomischen Formeln.
i) ||x + [mm] y||^{2} [/mm] = [mm] ||x||^{2} [/mm] + 2 <x, y> + [mm] ||y||^{2}
[/mm]
[mm] (\wurzel{5} [/mm] + [mm] \wurzel{4})^{2} [/mm] = 17.944,
[mm] (\wurzel{5} [/mm] * [mm] \wurzel{5}) [/mm] + [mm] (\wurzel{5} [/mm] * [mm] \wurzel{4}) [/mm] + [mm] (\wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{5})+ (\wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{4}) [/mm] = 17,944 , wenn ich richtig liege. Also schonmal richtig.
ii)
||x - [mm] y||^{2}= ||x||^{2} [/mm] - 2 <x, y> + [mm] ||y||^{2}
[/mm]
[mm] (\wurzel{5} [/mm] - [mm] \wurzel{4})^{2} [/mm] = 0,05572
[mm] (\wurzel{5} [/mm] * [mm] \wurzel{5}) [/mm] - [mm] (\wurzel{5} [/mm] * [mm] \wurzel{4}) [/mm] + [mm] (\wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{5})+ (\wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{4}) [/mm] = 9
also stimmt nicht ?
iii)
<x + y; x - y> = [mm] ||x||^{2} [/mm] + [mm] ||y||^{2},
[/mm]
[mm] (\wurzel{5} [/mm] + [mm] \wurzel{4}) [/mm] * [mm] (\wurzel{5} [/mm] - [mm] \wurzel{4}) [/mm] = 1
[mm] \wurzel{5}^{2} [/mm] - [mm] \wurzel{4 }^{2} [/mm] = 1 , also stimmt wieder.
Ist das so bisher korrekt ?
zu b) und c) habe ich leider keine Idee wie ich das machen könne...
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Jolle und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Zur aufgabe a) habe ich mir einfach mal zwei Vektoren
> ausgedacht x = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] und y = [mm]\vektor{0 \\ 2}.[/mm]
Zeigen sollst du, dass die Gleichungen für ALLE Vektoren x und y des [mm] $\IR^n$ [/mm] gelten, nicht nur für die von dir als Beispiel betrachteten Vektoren.
Dennoch ist das Betrachten dieses Beispiels eine gute Vorübung.
> Darauß folg für mich dann eingesetzt in die binomischen
> Formeln.
>
> i) ||x + [mm]y||^{2}[/mm] = [mm]||x||^{2}[/mm] + 2 <x, y> + [mm]||y||^{2}[/mm]
>
> [mm](\wurzel{5}[/mm] + [mm]\wurzel{4})^{2}[/mm] = 17.944,
Auf der linken Seite der behaupteten Gleichung steht [mm] $||x+y||^2$ [/mm] und nicht [mm] $(||x||+||y||)^2$.
[/mm]
Um [mm] $||x+y||^2$ [/mm] zu bestimmen, sind zunächst x und y zu addieren.
> [mm](\wurzel{5}[/mm] * [mm]\wurzel{5})[/mm] + [mm](\wurzel{5}[/mm] * [mm]\wurzel{4})[/mm] +
> [mm](\wurzel{4}[/mm] * [mm]\wurzel{5})+ (\wurzel{4}[/mm] * [mm]\wurzel{4})[/mm] =
> 17,944
[mm] $||x||^2=(\wurzel5)^2$ [/mm] und [mm] $||y||^2=(\wurzel4)^2$ [/mm] stimmen.
$<x,y>$ ist jedoch nicht [mm] $\wurzel5*\wurzel4$, [/mm] sondern $1*0+2*2=4$.
> iii)
>
> <x + y; x - y> = [mm]||x||^{2}[/mm] [mm] $\red{+}$ $\blue{-}$[/mm] [mm]||y||^{2},[/mm]
>
> [mm](\wurzel{5}[/mm] + [mm]\wurzel{4})[/mm] * [mm](\wurzel{5}[/mm] - [mm]\wurzel{4})[/mm] = 1
Auf der linken Seite der behaupteten Gleichheit steht [mm] $$ [/mm] und nicht $(||x||+||y||)*(||x||-||y||)$.
> [mm]\wurzel{5}^{2}[/mm] - [mm]\wurzel{4 }^{2}[/mm] = 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt habe ich jede Menge Aufgaben für dich:
1. Suche die Definitionen vom Skalarprodukt $<a,b>$ für Vektoren [mm] $a,b\in\IR^n$ [/mm] in den Vorlesungsunterlagen heraus und poste sie.
2. Rechne dein Beispiel neu.
3. Schlage nach und poste hier, welche Rechenregeln für Skalarprodukte ihr kennt.
4. Schlage nach und poste hier, wie das [mm] $||a||^2$ [/mm] für einen Vektor [mm] $a\in\IR^n$ [/mm] sich mithilfe des Skalarproduktes schreiben lässt.
5. Schlage nach und poste hier, wie sich die Eigenschaft, ob zwei Vektoren [mm] $a,b\in\IR^n$ [/mm] senkrecht zueinander stehen, mithilfe des Skalarproduktes prüfen lässt.
Viel Erfolg!
Falls du irgendwo nicht weiterkommst, einfach nachfragen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 28.10.2012 | | Autor: | Jolle |
Hallo Tobias,
Vielen Dank für die Schnelle antwort.
Also
i)
17 = 5 + 2 * 4 + 4 , stimmt also :)
ii)
1 = 5 - (2*4) + 4 , stimmt also :)
iii)
1 = 5 - 4
1) Geht es so als bild ? dauert sonst zu lange die Formel einzutippen :P
[Dateianhang nicht öffentlich]
2)
Siehe oben
3)
[Dateianhang nicht öffentlich]
4)
Meinst du [mm] ||a||^{2} [/mm] = [mm] \wurzel{a1^{2} + a2^{2} + an^{2}} [/mm] ^{2}
5)
Wenn das Skalarprodukt der beiden vektoren 0 ergibt, sind die vektoren senkrecht zueinander weil:
vektor a skalar mit vektor b = |a|*|b|* cos (alpha)
Gruß Julian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Super, das ging ja schnell! 
> i)
>
> 17 = 5 + 2 * 4 + 4 , stimmt also :)
> ii)
>
> 1 = 5 - (2*4) + 4 , stimmt also :)
> iii)
>
> 1 = 5 - 4
> 4)
>
> Meinst du [mm]||a||^{2}[/mm] = [mm]\wurzel{a1^{2} + a2^{2} + an^{2}}[/mm]^{2}
Ich meinte die Rechenregel in deinem Bild ganz oben:
[mm] $||a||^2=$
[/mm]
> 5)
>
> Genau dann, Wenn das Skalarprodukt der beiden vektoren 0 ergibt, sind
> die vektoren senkrecht zueinander weil:
>
> vektor a skalar mit vektor b = |a|*|b|* cos (alpha)
Super!
Als weitere Rechenregeln für Skalarprodukte werden noch nützlich sein:
1. <x-z,y>=<x,y>-<z,y>
2. <x,y-z>=<x,y>-<x,z>.
Falls du an einem Beweis interessiert bist, kann ich ihn gerne geben.
Dann können wir uns jetzt den eigentlichen Aufgaben widmen:
(a)(i) Starten wir mit der linken Seite der behaupteten Gleichheit, also mit [mm] $||x+y||^2$. [/mm] Nutzen wir nun die Regel [mm] $||a||^2=$ [/mm] aus, so erhalten wir:
[mm] $||x+y||^2=$.
[/mm]
Nach der Rechenregel in der fünften Zeile deines Bildes gilt:
$<x+y,x+y>=<x,x+y>+<y,x+y>$.
Nun rechne mit der Rechenregel aus der sechsten Zeile deines Bildes weiter!
(a)(ii) und (a)(iii): Hier kannst du ganz ähnlich mit der linken Seite der behaupteten Gleichungen starten.
(b) Du hast schon völlig richtig erklärt, wann Vektoren a und b senkrecht zueinander stehen. Wann stehen also die Vektoren x+y und x-y senkrecht aufeinander?
(c) Was bedeutet es durch ein Skalarprodukt ausgedrückt, dass die Vektoren x und y senkrecht zueinander stehen?
Die Längen der Vektoren x+y und x-y lauten $||x+y||$ bzw. $||x-y||$.
Es gilt [mm] $||x+y||=\wurzel{||x+y||^2}=\wurzel{\ldots}$ [/mm] (nutze (a)(i)).
Gehe genauso mit der Länge $||x-y||$ vor (und nutze (a)(ii)).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 So 28.10.2012 | | Autor: | Jolle |
Vielen Dank für die Hilfe, ich denke damit komme ich zurecht :) Wenn ich dennoch auf weitere Fragen stoße melde ich mich hier einfach noch mal.
Gruß
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