Vektor anhand von Winkel < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | | Man berechne einen Vektor v in der von (1, 2, 3) und (1,−1, 1) in [mm] V_3(\IR) [/mm] aufgespannten Ebene, der im Winkel von 30 Grad zu dem Vektor (1,−1, 1) steht. |
Hallo,
also bei der Aufgabe hab ich irgendwie das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit Vektoren rechne, die keine Spaltenvektoren sondern Zeilenvektoren sind. Für Spaltenvektoren würd ich es ja mal über die Formel [mm] cos(\alpha)=u_1 w_1+...+u_n w_n [/mm] / |u|*|w| probieren, aber ob das so funktioniert denke ich ehr nicht. Hoffe mir kann jemand einen kleinen Tipp geben, wäre jedenfalls dankbar :)
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 21.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde versuchen, über den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene zu argumentieren.
Diesen kannst du ja relativ schnell über das  Kreuzprodukt aus [mm] \vec{u}=\vektor{1\\2\\3} [/mm] und [mm] \vec{v}=\vektor{1\\-1\\1} [/mm] ermitteln, also
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}=\vektor{1\\2\\3}\times\vektor{1\\-1\\1}
[/mm]
Und jetzt suchst du einen Vektor [mm] \vec{x}, [/mm] der senkrecht zu [mm] \vec{n} [/mm] steht also
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\perp\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=0
[/mm]
[mm] \gdw \green{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=0}
[/mm]
Jetzt kannst du mit
[mm] \cos(30°)=\bruch{\vektor{1\\-1\\1}*\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}}{\left|\vektor{1\\-1\\1}\right|*\left|\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}\right|}
[/mm]
[mm] \gdw \underbrace{\bruch{1}{2}\wurzel{3}}_{\text{Tabellenwert für cos(30)}}=\bruch{x_{1}-x_{2}+x_{3}}{\wurzel{3}*\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}
[/mm]
[mm] \gdw \green{\bruch{3}{2}\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}=x_{1}-x_{2}+x_{3}}
[/mm]
eine zweite Gleichung für [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] bestimmen.
Da du ja nur irgendeinen Vektor suchst, kannst du jetzt auch eine Koordinate festlegen, mit einem Wert deiner Wahl, so dass du "nur" noch zwei Variablen und zwei Gleichungen hast.
Kommst du mit den Tipps erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
Hey,
jops erstmal vielen Dank für deine schnelle und sowas von ausführliche Antwort :) eine Frage zum Verständnis hätte ich aber da trotzdem noch und zwar ist ja jetzt [mm] (1,2,3)=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und für (1,-1,1) ebenso. Jetzt meine Frage, warum ist das denn so? Dachte eigentlich [mm] (1,2,3)^t =\vektor{1 \\ 2 \\ 3}\not=(1,2,3)?
[/mm]
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mo 21.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
In Aufgaben und beim Schreiben ist es einfach leichter Zeilenvektoren zu schreiben. eigentlich schreibt man dann hoch T dran, lässt das aber oft weg, weil es den meisten klar ist, was gemeint ist. kurz, das sind Spaltenvktoren gemeint.
Allerdings kann man, solange man nicht mit Mtrizen mult. Spalten und Zeilenvektoren eh nicht unterscheiden.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
danke, war nur etwas verwirrt, weil in eigentlich allen aufgaben die bis jetzt rechnen musste immer nen hoch t dabei war, nur halt bei dieser nicht und da dachte ich, dass das bestimmt nen sonderfall oder so ist oder ich was nich durchschaut habe, aber nun hat sich ja alles geklärt :) danke nochmal!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 22.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
Hallo nochmal,
da ich heute schon etwas an der aufgabe sitze und nach sechs seiten rechnung immer noch nicht weiter bin als vorher wollte ich noch mal eben kurz eine frage stellen.
also das kreuzprodukt lautet jetzt so bei mir: [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ -3}
[/mm]
das skalarprodukt so: I. [mm] 5v_1+2v_2-3v_3=0
[/mm]
das mit dem cos so: II. 3/2 [mm] \wurzel{v_1^2+v_2^2+v_3^2}-(v_1-v_2+v_3)=0
[/mm]
dann hab ich es erstmal versucht I. nach [mm] v_3 [/mm] umzustellen und in II. einzusetzen. fazit: nicht geklappt
dann hab ich [mm] v_3=-1/3 [/mm] gewählt und eingesetzt und dann II. abgeschätzt, sprich wenn [mm] 5v_1+2v_2+1 [/mm] dann den term null gesetzt auch nich funktioniert. jetzt versuch ich noch nen bissel [mm] v_1 [/mm] oder [mm] v_2 [/mm] irgendwie zu wählen aber ob das klappt hab ich so meine bedenken, da mir immer die wurzel das genick bricht.
hoffe jemand hat einen tipp parat.
gruß fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Di 22.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz doch einfach eine deiner Komponenten 0, die Wurzel durch Quadrieren beseitigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 23.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
Also gut [mm] v_3=0 [/mm] hab ich auch schon mal ausprobiert jedoch weiß ich nicht ob der nullvektor dann die wirkliche lösung ist:
[mm] 5v_1+2v_2-3v_3=0 \gdw 5v_1=-2v_2 \gdw v_2=-5/2v_1
[/mm]
einsetzen:
3/2 [mm] \wurzel{v_1^2+(-5/2v_1)^2}-(v_1+5/2v_1)=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 3/2 [mm] \wurzel{v_1^2+25/4v_1^2}-7/2v_1=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 3/2 [mm] \wurzel{29/4v_1^2}-7/2v_1=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 3/2 [mm] \wurzel{29/4}v_1-7/2v_1=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (3/2 [mm] \wurzel{29/4}-7/2)v_1=0
[/mm]
[mm] \gdw v_1=0
[/mm]
und daraus folgt dann [mm] v_2=0
[/mm]
und das kann doch nicht die lösung sein oder?
gruß fawkes
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Hi, Fawkes,
also ich hab' so meine Zweifel, ob der vorgeschlagene Lösungsweg wirklich zum Ziel führt!
Mein Vorschlag sieht so aus: Setze mal den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] direkt als Linearkombination der gegebenen Vektoren an, also:
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] a*\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] b*\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{a+b \\ 2a-b \\ 3a+b}
[/mm]
Nun setze in die Winkelformel ein:
[mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{a+b \\ 2a-b \\ 3a+b} \circ \vektor{1 \\ -1 \\ 1}}{\wurzel{3}*\wurzel{14a^2 + 4ab + 3b^2}}
[/mm]
(RECHNE BITTE NACH !!)
Wenn ich das umforme und quadriere, erhalte ich:
[mm] 110a^2 [/mm] - 12ab [mm] -9b^2 [/mm] = 0.
Nun kannst Du einen der Parameter frei wählen und den anderen berechnen.
(Was mich an der Sache etwas stört, ist, dass sich weder für a=1 noch für b=1 eine "schöne" Lösung ergibt - darauf hätte ich nämlich fast gewettet!)
mfG!
Zwerglein
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