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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Vektor bestimmen
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Vektor bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Sa 17.10.2009
Autor: marc1001

Aufgabe
2.
Ein Kreis mit dem Radius R rolle gleich-förmig auf einer Geraden. Zum Zeitpunkt t=0 berührt der Kreis im Punkt P die Gerade. Ein ganzer Umlauf ist nach [mm] t=2*\pi= [/mm] absolviert.
a)
Geben Sie den Ortsvektor r(t) des Punktes P an. (Hinweis: Stellen sie  zunächst den Ortsvektor des Kreismittelpunktes auf! Der Ursprung des Koordinatensystems wird zweckmäßigerweise in den Punkt P zum Zeitpunkt t=0 gelegt.)
b)
Bestimmen Sie die Länge des Weges, den P während eines ganzen Umlaufs zurücklegt!

Kann mir bitte jemand helfen.
Der Kreismittelpunkt  wir doch so beschrieben. [mm] \vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R} [/mm]

Abrer wie komme ich jetzt auf Punkt P

        
Bezug
Vektor bestimmen: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Sa 17.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> 2.
>  Ein Kreis mit dem Radius R rolle gleich-förmig auf einer
> Geraden. Zum Zeitpunkt t=0 berührt der Kreis im Punkt P
> die Gerade. Ein ganzer Umlauf ist nach [mm]t=2*\pi=[/mm]
> absolviert.
>  a)
>  Geben Sie den Ortsvektor r(t) des Punktes P an. (Hinweis:
> Stellen sie  zunächst den Ortsvektor des
> Kreismittelpunktes auf! Der Ursprung des Koordinatensystems
> wird zweckmäßigerweise in den Punkt P zum Zeitpunkt t=0
> gelegt.)
>  b)
>  Bestimmen Sie die Länge des Weges, den P während eines
> ganzen Umlaufs zurücklegt!
>  Kann mir bitte jemand helfen.
> Der Kreismittelpunkt  wir doch so beschrieben. [mm]\vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R}[/mm]

[ok]

>  
> Abrer wie komme ich jetzt auf Punkt P

Wenn du den Nullpunkt des Koordinatensystems in den Kreismittelpunkt legst, wie würdest du dann den Punkt P beschreiben? Setze beide Vektoren zusammen!

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Vektor bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Sa 17.10.2009
Autor: marc1001

Ok, da es ein Kreis ist:

[mm] \vec r_m(t)=\vektor{R*cos\alpha\\R*sin\alpha} [/mm]

Kann das sein


Bezug
                        
Bezug
Vektor bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Sa 17.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Ok, da es ein Kreis ist:
>
> [mm]\vec r_m(t)=\vektor{R*cos\alpha\\R*sin\alpha}[/mm]
>
> Kann das sein

Im Prinzip ja.

Zunächst ist das nicht [mm] $r_m$, [/mm] denn wir reden ja vom Punkt P, nicht vom Mittelpunkt - das nur, damit es zu keinem Durcheinander bei den Bezeichnungen kommt.

Du musst noch deinen Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] mit der Bewegung, also mit der Zeit in Verbindung bringen. Wie hängt [mm] $\alpha$ [/mm] von $t$ ab? Beachte dabei, in welche Richtung sich der Punkt P bewegt: im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Vektor bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 So 18.10.2009
Autor: marc1001

Also [mm] \alpha [/mm] ist abhängig von t, ich könnte also einfach sagen:

[mm] \vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}cost\\-R\cdot{}sint} [/mm] vom Mittelpunkt aus gesehen
und jetzt muss ich die beiden Vektoren addieren, oder ?

Bezug
                                        
Bezug
Vektor bestimmen: Stimmt noch nicht ganz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 So 18.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Also [mm]\alpha[/mm] ist abhängig von t, ich könnte also einfach
> sagen:
>
> [mm]\vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}cost\\-R\cdot{}sint}[/mm] vom
> Mittelpunkt aus gesehen

Stimmt noch nicht ganz, denn zum Zeitpunkt t=0 muss der Punkt P relativ zum Mittelpunkt die Koordinaten

[mm] \vektor{0\\-R} [/mm]

haben, mit deinem Ansatz kommt aber [mm] $\vektor{-R\\0}$ [/mm] heraus. Du muss noch um [mm] $\pi/2$ [/mm] weiterdrehen.

> und jetzt muss ich die beiden Vektoren addieren, oder ?

[ok]

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                                                
Bezug
Vektor bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 So 18.10.2009
Autor: marc1001

Wenn ich um 180° Drehe schreib ich das doch einfach so:

[mm] \vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}sint\\-R\cdot{}cost} [/mm]

addiert mit

[mm] \vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R} [/mm]

währe dann
[mm] \vec r(t)=R*\vektor{t-sint\\1-cost} [/mm]

Aber kannst du it nochmal genau sagen warum ich um [mm] 2\pi [/mm] drehen muss.

Bezug
                                                        
Bezug
Vektor bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 So 18.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Wenn ich um 180° Drehe schreib ich das doch einfach so:

Du meinst um [mm] $90^\circ$, [/mm] denn [mm] $\pi/2$ [/mm] entsprechen [mm] $90^\circ$. [/mm]

>  
> [mm]\vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}sint\\-R\cdot{}cost}[/mm]

Ja, jetzt dreht sich dein Punkt P im Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt.

>  
> addiert mit
>
> [mm]\vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R}[/mm]
>  
> währe dann
> [mm]\vec r(t)=R*\vektor{t-sint\\1-cost}[/mm]

[ok]

> Aber kannst du it nochmal genau sagen warum ich um [mm]2\pi[/mm]
> drehen muss.

Ich verstehe gerade die Frage nicht, meinst du [mm] $\pi/2$? [/mm]

Nimm dir deine ursprüngliche Formel und setze t=0 ein: wo befindet sich nach deiner Formel der Punkt P relativ zum Kreismittelpunkt?

Viele Grüße
  Rainer

Bezug
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