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| Aufgabe | Komponentendarstellung des Vektorproduktes:
Man gehe davon aus, dass die orthonormalen Basisvektoren, nach Voraussetzung ein Rechtssystem darstellen:
[mm] e_{1} [/mm] x [mm] e_{2}= e_{3}, e_{2} [/mm] x [mm] e_{3}=e_{1}, e_{3} [/mm] x [mm] e_{1}=e_{2}
[/mm]
Zusammen mit der Antikommutativität des Vektorproduktes und der Orthonormalitätsrelation findet man:
[mm] e_{i}*(e_{j} [/mm] x [mm] e_{k})= [/mm] 1, falls (i,j,k) zyklisch aus (1,2,3); -1, falls (i,j,k) antizyklisch aus (1,2,3) und; 0 in allen anderen Fällen.
Zur Abkürzung schreibt man [mm] \varepsilon_{ijk}=e_{i}*(e_{j} [/mm] x [mm] e_{k})
[/mm]
Dies sind die Komponenten des so genannten total antisymmetrischen Tensors dritter Stufe. Damit lassen sich die Vektorprodukte der Basisvektoren zusammenfassend formulieren:
[mm] (e_{i} [/mm] x [mm] e_{j})= \summe_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk} e_{k}
[/mm]
Erklären Sie diese Darstellungsweise! |
Hi zusammen,
also ich verstehe diese Darstellung noch nicht so ganz, denn ich weiß ja, dass:
[mm] \varepsilon_{ijk}=e_{i}*(e_{j} [/mm] x [mm] e_{k})
[/mm]
und wenn ich das einsetze und das Summensymbol einfach ausformuliere erhalte ich ja:
[mm] (e_{i} [/mm] x [mm] e_{j})=e_{i}(e_{j} [/mm] x [mm] e_{k})e_{1}+e_{i}(e_{j} [/mm] x [mm] e_{k)}e_{2}+e_{i}(e_{j} [/mm] x [mm] e_{k})e_{3}
[/mm]
und weshalb soll das jetzt eine andere Darstellungsmöglichkeit für
[mm] (e_{i} [/mm] x [mm] e_{j}) [/mm] sein? Man weiß ja dass [mm] (e_{i} [/mm] x [mm] e_{j}= e_{k} [/mm] in einem orthonormierten Koordinatensystem für die Einheitsveltoren
und die ausformulierte Darstellung hier bedeutet doch e1+e2+e3?
Wäre für Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mo 01.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Komponentendarstellung des Vektorproduktes:
>
> Man gehe davon aus, dass die orthonormalen Basisvektoren,
> nach Voraussetzung ein Rechtssystem darstellen:
>
> [mm]e_{1}[/mm] x [mm]e_{2}= e_{3}, e_{2}[/mm] x [mm]e_{3}=e_{1}, e_{3}[/mm] x
> [mm]e_{1}=e_{2}[/mm]
>
> Zusammen mit der Antikommutativität des Vektorproduktes
> und der Orthonormalitätsrelation findet man:
>
> [mm]e_{i}*(e_{j}[/mm] x [mm]e_{k})=[/mm] 1, falls (i,j,k) zyklisch aus
> (1,2,3); -1, falls (i,j,k) antizyklisch aus (1,2,3) und; 0
> in allen anderen Fällen.
>
> Zur Abkürzung schreibt man [mm]\varepsilon_{ijk}=e_{i}*(e_{j}[/mm]
> x [mm]e_{k})[/mm]
>
> Dies sind die Komponenten des so genannten total
> antisymmetrischen Tensors dritter Stufe. Damit lassen sich
> die Vektorprodukte der Basisvektoren zusammenfassend
> formulieren:
>
> [mm](e_{i}[/mm] x [mm]e_{j})= \summe_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk} e_{k}[/mm]
>
> Erklären Sie diese Darstellungsweise!
> Hi zusammen,
> also ich verstehe diese Darstellung noch nicht so ganz,
> denn ich weiß ja, dass:
>
> [mm]\varepsilon_{ijk}=e_{i}*(e_{j}[/mm] x [mm]e_{k})[/mm]
>
> und wenn ich das einsetze und das Summensymbol einfach
> ausformuliere erhalte ich ja:
>
> [mm](e_{i}\times e_{j})=e_{i}*(e_{j}\times e_{k})e_{1}+e_{i}*(e_{j}\times e_{k}]e_{2}+e_{i}*(e_{j}\times e_{k})e_{3}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schreibe es richtig auf:
[mm](e_{i}\times e_{j})=e_{i}(e_{j}\times e_{1})e_{1}+e_{i}(e_{j}\times e_{2)}e_{2}+e_{i}(e_{j}\times e_{3})e_{3}[/mm].
> und weshalb soll das jetzt eine andere
> Darstellungsmöglichkeit für
> [mm](e_{i}[/mm] x [mm]e_{j})[/mm] sein?
Welches sind die Komponenten von [mm] $e_i\times e_j$ [/mm] in der Basis [mm] $e_1,e_2,e_3$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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Ich bin davon ausgegangen, dass die Buchstaben i,j,k für 1,2,3
(also jeweils eine Basis definieren: e1,e2 und e3)?
Wie sieht es denn dann aus?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 01.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich bin davon ausgegangen, dass die Buchstaben i,j,k für
> 1,2,3
> (also jeweils eine Basis definieren: e1,e2 und e3)?
>
> Wie sieht es denn dann aus?
Ich verstehe deine Frage nicht.
Überlege dir Folgendes: wenn ein beliebiger Vektor v die Basisdarstellung
[mm] v=v_1e_1+v_2e*2+v_3e_3 [/mm]
hat, wie bestimmst du [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] ?
Wende dies auf $v = [mm] e_i\times e_j$ [/mm] an!
Viele Grüße
Rainer
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Naja, wenn ein Vektor die Basisdarstellung v1e1+v2e2+v3e3 hat, dann kann ich v1,v2,v3 ja einfach ablesen (Koeffizienten von e1,e2 und e3).
Aber meine oben genannte Formel verstehe ich einfach nicht richtig- was sagt sie denn genau aus bzw. wie sieht sie aus, wenn man das Summensymbol noch ausformuliert?
Men Problem ist, dass ich nicht verstehe, was ich damit anfange?
Wäre für eine Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Di 02.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Naja, wenn ein Vektor die Basisdarstellung v1e1+v2e2+v3e3
> hat, dann kann ich v1,v2,v3 ja einfach ablesen
> (Koeffizienten von e1,e2 und e3).
Wie denn, wenn der Vektor nicht als Darstellung in dieser Basis angegeben ist? Wie rechnest du [mm] $v_1$, $v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] aus?
NACHTRAG: es ist z.B. [mm] $v_1=v*e_1$ [/mm] (vorausgesetzt, die [mm] $e_1$, $e_2$, $e_3$ [/mm] bilden eine Orthonormalbasis).
Wie machst du das für [mm] $e_i\times e_j$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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