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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Nippey |
| Aufgabe | Sei u(x,y,z) := xyz
Berechnen Sie das Kurvenintegral von [mm] \nabla*u [/mm] längs der folgenden Kurve:
[mm] \gamma(t) [/mm] := [mm] (e^t*cos{t}, e^t*sin{t}, [/mm] 3), [mm] 0<=t<=2\pi [/mm] |
Ich habe zu der Aufgabe eine Lösung (von einem Kommilitonen) vorliegen, zu der ich folgende zwei Fragen habe:
Zunächst, ist dieser Lösungsansatz korrekt?
[mm] \int_\gamma{ f*ds } [/mm] := [mm] \int^{2\pi}_0{ f(\gamma(t)) ||d\gamma(t)/dt|| }
[/mm]
Das [mm] \nabla*u [/mm] in der Aufgabe bedeutet ja, dass ich u zuvor noch verrechnen muss.
In der Lösung wird nun gesagt, [mm] \nabla*u [/mm] sei:
f = [mm] \nabla*u [/mm] := (yz, xz, xy)
Ich dachte aber, es ist so definiert:
f = [mm] \nabla*u [/mm] := [mm] (du_x/dx, du_z/dz, du_z/dz)
[/mm]
Das wären meine beiden Fragen, anschliessend würde ich es weiter selbst versuchen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 16.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Sei u(x,y,z) := xyz
> Berechnen Sie das Kurvenintegral von [mm]\nabla*u[/mm] längs der
> folgenden Kurve:
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] := [mm](e^t*cos{t}, e^t*sin{t},[/mm] 3), [mm]0<=t<=2\pi[/mm]
> Ich habe zu der Aufgabe eine Lösung vorliegen, zu der ich
> folgende zwei Fragen habe:
>
> Zunächst, ist dieser Lösungsansatz korrekt?
> [mm]\int_\gamma{ f*ds }[/mm] := [mm]\int^{2\pi}_0{ f(\gamma(t)) ||d\gamma(t)/dt|| }[/mm]
also wenn, dann müsste es so aussehen:
[mm] $\int_{\gamma}f\cdot\mathrm{d}s=\int_{0}^{2\pi}f(\gamma(t))\Vert\dot{\gamma}(t)\Vert\,{\color{red}\mathrm{d}t}$
[/mm]
(Kurvenintegral erster Art)
Aber auch das ist hier der falsche Ansatz, denn [mm] $\nabla [/mm] u$ ist ein Vektorfeld, deshalb ist hier mit dem Kurvenintegral zweiter Art zu rechenn, welches sich im Prinzip nur dadurch von ersten unterscheidet, dass man die Norm weglässt und stattdessen ein Skalarprodukt bildet.
>
> Das [mm]\nabla*u[/mm] in der Aufgabe bedeutet ja, dass ich u zuvor
> noch verrechnen muss.
> In der Lösung wird nun gesagt, [mm]\nabla*u[/mm] sei:
> f = [mm]\nabla*u[/mm] := (yz, xz, xy)
>
> Ich dachte aber, es ist so definiert:
> f = [mm]\nabla*u[/mm] := [mm](du_x/dx, du_z/dz, du_z/dz)[/mm]
Was soll denn [mm] $du_x/dx$ [/mm] sein? u ist ein Skalarfeld (eine Abbildung von [mm] $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$), [/mm] es gibt also keine x-y- und z-Komponente. Der nabla-Operator ist so definiert:
[mm] $\nabla=\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}\\
\frac{\partial}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right)$
[/mm]
Dementsprechend ist:
[mm] $\nabla u=\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}u\\
\frac{\partial}{\partial y}u\\
\frac{\partial}{\partial z}u\end{array}\right)$
[/mm]
>
> Das wären meine beiden Fragen, anschliessend würde ich es
> weiter selbst versuchen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Nippey |
Ah. Jetzt. Ja.
Jetzt seh ich es, vielen Dank für deine Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Sa 16.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Ah. Jetzt. Ja.
> Jetzt seh ich es, vielen Dank für deine Hilfe!
Gern geschehn 
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