Vektorberechnung im \IR_{3} < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Vektor [mm] \vec{x} [/mm] sei im [mm] \IR_{3} [/mm] - wie in der Abbildung - gegeben durch seine Länge [mm] |\vec{x}| [/mm] = 3 und die Winkel [mm] \alpha [/mm] = 45° und [mm] \gamma [/mm] = 45°. Bestimmen Sie die drei Komponenten des Vektors. |
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Hallo erstmal. Ich bin Erstsemester im Sommersemester im Bachelorstudium Chemie.
Zur Beschreibung der Abbildung:
x,y,z Koordinatensystem. Eine Abbildung des Vektors [mm] \vec{x} [/mm] ist die Winkelhalbierende der x,y - Ebene. Ich nenne diese Abbildung mal [mm] \vec{x}'. [/mm] Der [mm] \vec{x}' [/mm] hat die z - Höhe = 0. Der Winkel [mm] \alpha [/mm] liegt zwischen [mm] \vec{x}' [/mm] und der x - Achse. Der Winkel [mm] \gamma [/mm] liegt zwischen [mm] \vec{x}' [/mm] und [mm] \vec{x}. [/mm] Der [mm] \vec{x} [/mm] liegt also 45° überhalb von [mm] \vec{x}'. [/mm]
Gesucht sind die 3 Komponenten des Vektors [mm] \vec{x}.
[/mm]
Zu meinen Ansätzen:
Ich habe die Abbildung von [mm] \vec{x} [/mm] mit [mm] \vec{x}' [/mm] benannt.
[mm] \vec{x}' [/mm] hat die z - Koordinate 0. Da es die Winkelhalbierende der x,y - Ebene ist, habe ich für [mm] \vec{x}' [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 1\\0} [/mm] eingesetzt.
Da der [mm] |\vec{x}| [/mm] = 3 ist. Müssen seine Komponenten, wenn man Sie quadriert und addiert in der Summe 9 sein, damit die Wurzel daraus, der Betrag, wieder 3 ist.
[mm] |\vec{x}| [/mm] = [mm] \wurzel{x_x² + x_y² + x_z²} [/mm] = [mm] \wurzel{9} [/mm] = 3
Mein Problem:
Wie kann ich mit Hilfe des Betrags [mm] |\vec{x}| [/mm] = 3 und meiner Formel [mm] (|\vec{x}| [/mm] = [mm] \wurzel{x_x² + x_y² + x_z²} [/mm] = [mm] \wurzel{9} [/mm] = 3) und den Winkeln [mm] \alpha, \gamma [/mm] = 45° die Komponenten des Vektors [mm] \vec{x} [/mm] berechnen?
Ich weiß auch nicht, wie ich die Abbildung [mm] \vec{x}' [/mm] von [mm] \vec{x} [/mm] zur Berechnung miteinbeziehen kann.
Weiterer Lösungsansatz:
Der [mm] \vec{x} [/mm] besteht aus 3 Komponenten, wobei die x - und y - Komponenten gleich groß sind. Sagen wir mal a - groß. Nun aber die Frage, wie groß ist nun die z - Komponente?
[mm] \vektor{a \\ a\\?}
[/mm]
Wenn ich für a = 2 einsetzen würde und für das gesuchte ? = 1, dann würde es aufgehen, aber so leicht kann einem die Lösung doch nicht in den Schoß fallen und ich möchte es auch gerne berechnen und nachvollziehen können. Raten scheint mir nicht die richtige Vorgehensweise.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
MfG
Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 Fr 21.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Fabian und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zur Beschreibung der Abbildung:
>
> x,y,z Koordinatensystem. Eine Abbildung des Vektors [mm]\vec{x}[/mm]
> ist die Winkelhalbierende der x,y - Ebene. Ich nenne diese
> Abbildung mal [mm]\vec{x}'.[/mm] Der [mm]\vec{x}'[/mm] hat die z - Höhe = 0.
> Der Winkel [mm]\alpha[/mm] liegt zwischen [mm]\vec{x}'[/mm] und der x -
> Achse. Der Winkel [mm]\gamma[/mm] liegt zwischen [mm]\vec{x}'[/mm] und
> [mm]\vec{x}.[/mm] Der [mm]\vec{x}[/mm] liegt also 45° überhalb von [mm]\vec{x}'.[/mm]
Ich weiß noch nicht recht, ob ich Gamma richtig zugeordnet habe:
Also wenn man eine Ebene durch x' und der z-Achse auspannt (beides als Achsen), dann ist x wieder die Winkelhalbierende (zw. den Achsen), ja?
> [mm]\vec{x}'[/mm] hat die z - Koordinate 0. Da es die
> Winkelhalbierende der x,y - Ebene ist, habe ich für
> [mm]\vec{x}'[/mm] = [mm]\vektor{1\\ 1\\0}[/mm] eingesetzt.
Das ist richtig, aber du musst noch schnell mit den trigonometrischen Funktionen in dem rechtwinkligen Dreieck zeigen, das Alpha tatsächlich 45° hat.
So, und jetzt versuchst du schon den betrag mit ins Spiel zu bringen - dies ist jedoch unnötig - wir versuchen jetzt erstmal die richtige Richtung des Vektors zu bestimmen, also wir wollen aus x' einen Vektor x'' basteln, der auch Gamma erfüllt (nicht aber die Betrags-anforderung - darum kümmern wir uns danach).
also wenn meine Interpretation oben richtig war, haben wir wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit x' als Ankathete und der gesuchten Gegenkathete in z-Richtung - bekannt ist Gamma, also kann man über den Tangens die Gegenkathete berechnen und damit x''.
x'' erfüllt nun schon die beiden Winkelanforderungen, also geht schonmal in die richtige Richtung - wir müssen ihn jetzt nun noch so skalieren, dass er die Länge 3 hat, dazu : [mm] $x=3*\bruch{1}{|\vec{x''}|}*\vec{x''}$
[/mm]
(Indem wir durch den Betrag vonn x'' teilen (komponentenweise !) normieren wir den Vektor auf die Länge 1 und dann einfach noch mit 3 multipliziert ergibt Länge 3)
Ich hoffe das Vorgehen ist klar geworden - versuchst du dich mal an einer Lösung?
viele Grüße
DaMenge
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