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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 12.06.2010 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und E ein glattes Vektorbündel über M.
Zeige, dass die natürliche Projektion (, die in der Definition eines Vektorbündels vorkommt) eine Homotopieäquivalenz ist. |
Hallo zusammen!
Per Definition eines Vektorbündel hat man ja die lokalen Trivialisierungen.
Also konkret hat , sagen wir für Rang(E) = n,
$$
[mm] \forall [/mm] p [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \text{ mit } [/mm] p [mm] \in [/mm] U [mm] \text{ einen Diffeomorphismus } \phi: \pi^{-1}(U) \to [/mm] U [mm] \times \IR^n
[/mm]
$$
Da ein Diffeomorphismus klar eine Homotopieäquivalenz darstellt
(die Homopotieinverse is einfach [mm] $\phi^{-1}$) [/mm] und da [mm] $\IR^n$ [/mm] homotopieäauivalent zum einpunktigem Raum ist (via "straight line homotopy") hat man
$$
[mm] \pi^{-1}(U) \cong [/mm] U [mm] \times \IR^n \cong [/mm] U
$$
Daraus will ich jetzt eine Homotopieinverses von [mm] $\pi$ [/mm] konstruieren.
Versucht habe ich folgendes:
Versuch 1:
wähle eine abzählbare Familie [mm] $(U_i)_i$ [/mm] von offenen Mengen in $M$ so dass [mm] $\pi^{-1}(U_i)$ [/mm] trivial ist. Es bezeichne [mm] $h_i$ [/mm] die homotopieinverse
von [mm] $\pi |_{\pi^{-1}(U_i)}$. [/mm] Dann wollte ich mit einer der Familie [mm] $(U_i)_i$ [/mm] untergeordnete glatte Zerlegung der Eins die [mm] $h_i$'s [/mm] zusammenkleben aber irgendwie komme ich da nicht weiter. Ist dieser Ansatz richtig?
Versuch 2:
Einen geeigneten glatten Schnitt [mm] $\sigma [/mm] : M [mm] \to [/mm] E$ zu konstruieren, denn
trivialerweise ist [mm] $\phi \circ \sigma [/mm] = [mm] id_{M}$ [/mm] also brauch ich nur noch zu zeigen, dass [mm] $\sigma \circ \pi$ [/mm] homotopieäquivalent zu [mm] $id_{E}$ [/mm] ist. Das Problem ist jedoch das [mm] $\sigma$ [/mm] zu finden.
Ich glaube, dass Versuch 1 und 2 miteinander zu tun haben könnten, bin mir aber nicht sicher. Kann mir da jemand evtl. weiterhelfen? Ich wäre sehr dankbar
Gruss dazivo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Sa 03.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo Leute!
Nach reiflicher Überlegung und ein bisschen Hilfe aus Diff'geometrie/topologie (Bott/Tu Differential forms in AT)
Bücher, bin ich auf die Lösung gekommen:
Ich hoffe, es stört niemanden, dass ich meine Frage selbst beantworte.
Nochmals:
Behauptung:
Sei gegeben ein glattes Vektorbündel $E$ über $M$ mit natürlicher Projektion [mm] $\pi [/mm] : E [mm] \to [/mm] M$. Dann ist [mm] $\pi$ [/mm] eine Homotopieäquivalenz.
Beweis: Es ist wohlbekannt, dass es einen Nullschnitt von [mm] $\pi$ [/mm] gibt, d.h
es existiert eine Abbildung $s: M [mm] \to [/mm] E$ mit [mm] $\pi \circ [/mm] s = [mm] id_M$, [/mm] die man lokal als Abbildung $x [mm] \mapsto [/mm] (x,0)$ darstellbar ist. Mittels einer Partition der Eins kann man diese Abbildung leicht konstruieren (Selbstverständlich gehört dazu, dass $M$ parakompakt ist, aber wir nehmen an, dass unsere Mannigfaltigkeiten zweit-abzählbare lokal euklidische hausdorffräume sind, also insbesondere parakompakt siehe z.B J.Lee Intro. to smooth manifolds). Mit diesem sogenannten Nullschnitt kann man $M$ in $E$ einbetten. Das heisst $M$ und $s(M) = M [mm] \times \{ 0 \}$ [/mm] sind diffeomorph. Jetzt behaupte ich, dass $M [mm] \times \{ 0 \}$ [/mm] Deformationsretrakt von $E$ ist, was die ursprüngliche Behauptung beweist. In der Tat, wenn wir die Abbildung betrachten: [mm] $\phi [/mm] : E [mm] \to M\times \{ 0 \}, [/mm] (p, V) [mm] \mapsto [/mm] (p,0)$ und die Inklusion [mm] $\iota [/mm] : [mm] M\times \{ 0 \} \mapsto [/mm] E, (x,0) [mm] \to [/mm] (x,0)$. Klar gilt [mm] $\phi \circ \iota [/mm] = [mm] id_{M\times \{ 0 \}}$. [/mm] Die Homotopie von [mm] $\iota \circ \phi$ [/mm] zu [mm] $id_E$ [/mm] ist einfach
$H: E [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] E, ((p,V), t) [mm] \mapsto [/mm] (p,tV)$.
Sie ist offensichtlich glatt und $H((p,V), 0) = [mm] \iota \circ \phi(p,V)$ [/mm] und
$H((p,V), 1) = [mm] id_{E}(p,V)$. [/mm] Damit sind wir fertig.
Gruss an alle diejenigen, die sich den Kopf darüber zerbrochen haben!
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