Vektoren-Bestimmen von Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mi 24.08.2005 | | Autor: | edm |
Hallo Leude
Die Aufgabe geht so: Bestimme alle Geraden der Ebene, die durch den Punkt P=(15|-5) gehen und vom Nullpunkt den Abstand 5 haben.
Die erste Gerade geht bei x=0 und y=-5 durch und die geht zum Punkt (15|-5)--> [mm] \vektor{0 \\ -5}+t \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Diese Gerade habe ich also nun. Wie kriege ich aber die zweite heraus?
Wenn ich ja um den Nullpunkt einen Kreis mit Radius 5 zeichne, dann kann ich zeichnerisch herausfinden, wo die zweite Gerade durch geht. Ich habe aber keine Ahnung, wie ich das rechnerisch lösen soll. Erschwerend kommt hinzu, dass die Aufgabe ohne Rechner gelöst werden soll.
Bitte liebe Leute helft mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Peace
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mi 24.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
mach dich doch mal mit der Hesseschen Normalform vertraut, da taucht der Abstand vom Nullpunkt explizit auf (und heißt meistens p).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Do 25.08.2005 | | Autor: | Andi |
Halle edm,
> Die Aufgabe geht so: Bestimme alle Geraden der Ebene, die
> durch den Punkt P=(15|-5) gehen und vom Nullpunkt den
> Abstand 5 haben.
Zu erst möchte ich ein paar Sachen definieren:
Der Aufpunkt unserer Gerade soll die Koordinaten [mm] \vektor{a_1 \\ a_2}[/mm] und
der Richtungsvektor unserer Geraden soll die Koordinaten [mm] \vektor{r_1 \\ r_2}[/mm]
haben.
Dann brauchen wir noch einen Punkt der vom Ursprung den Abstand 5 hat und auf der Geraden liegt. Dieser hat folgende Koordinaten [mm] \vektor{s*r_1+a_1 \\ s*r_2+a_2}[/mm]
Ok ... dann wollen wir mal anfangen alle Bedingungen in Gleichungen um zuformen.
Die erste lautet:
"... Geraden der Ebene, die durch den Punkt P=(15|-5)..."
[mm] \vektor{15 \\ -5}= \vektor{r_1 \\ r_2}+ \vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
Die zweite lautet:
"...Nullpunkt den Abstand 5 haben..."
[mm]\wurzel{(s*r_1+a_1)^2+(s*r_2+a_2)^2}=5[/mm]
Die dritte Bedingung ergibt sich daraus, dass der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden immer senkrecht auf die Gerade steht.
[mm] \vektor{r_1 \\ r_2}* \vektor{s*r_1+a_1 \\ s*r_2+a_2}=0[/mm]
Das gibt insgesamt ein Gleichungssystem aus 5 Unbekanten und 4 Gleichungen. Damit müsstest du jetzt eigentlich weiterrechnen können.
Probier es doch einfach mal aus ... und sag mir bescheid ob es klappt.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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