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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mi 14.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-5|12|-9); B(-1|0|-3) und [mm] $C_k$(0|k|3k) [/mm] mit k [mm] $\subset$ [/mm] IR gegeben.
1.1 Berechnen Sie die Entfernung des Punktes A vom Koordinatenursprung.
1.2 Berechnen Sie die Entfernung der Punkte A und B.
1.3 Berechnen Sie k so, dass die Vektoren [mm] $\vec [/mm] AB$ und [mm] $\vec AC_k$ [/mm] gleiche Länge haben.
1.4 Berechen Sie k so, dass der Vektor [mm] $\vec AC_k$ [/mm] die Länge [mm] $\wurzel{230}$ [/mm] hat. |
Hallo Zusammen,
1.1
Der Punkt A ist gegeben und beginnt im Koordinatenursprung, somit muss der Betrag also die Entfernung berechnet werden:
[mm] |$\vec [/mm] A$| = [mm] \wurzel{(-5)²+12²+(-9)²} [/mm] = [mm] \wurzel{250} [/mm] = 15,81
1.2
Um die Entfernung der beiden Punkte voneinander zu berechnen, muss man den Punkt B von A abziehen und den Betrag ausrechnen:
[mm] $\vec [/mm] B$ - [mm] $\vec [/mm] A$ = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] |$\vec [/mm] AB$| = [mm] \wurzel{4²+(-12)²+6²} [/mm] = [mm] \wurzel{196} [/mm] = 14
1.3
[mm] $\vec [/mm] AB$ = 14
und nun muss k berchnet werden um das Gleiche zu erhalten.
[mm] $\vec C_k$ [/mm] - [mm] $\vec [/mm] A$ = [mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 3k \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ k-12 \\ 3k+9 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] |$\vec [/mm] AB$| = [mm] $\wurzel{5²+(k-12)²+(3k+9)²}$
[/mm]
$|14²-5²|= (k-12)²+(3k+9)²$
$|14²-5²|= k²+144²+9k²+81$
$|14²-5²-144-81|= 10k²$
[mm] $|\wurzel{\bruch{14²-5²-144-81}{10}}|= [/mm] k$
[mm] $|\wurzel{\bruch{14²-5²-144-81}{10}}|= [/mm] k$
$k = [mm] \wurzel{5,4} [/mm] = 2,32$
eingesetzt k in |$14$| = [mm] $\wurzel{5²+(\wurzel{5,4}-12)²+(3\wurzel{5,4}+9)²}$ [/mm] da kommt raus:
14 = 19,33
Wo liegt der Fehler?
1.4
ist es das Gleiche, nur das es anstatt 14 die [mm] \wurzel{230} [/mm] ist.
Vielen Dank im Voraus.
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> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(-5|12|-9); B(-1|0|-3) und [mm]C_k[/mm](0|k|3k) mit k [mm]\subset[/mm] IR
> gegeben.
>
> 1.1 Berechnen Sie die Entfernung des Punktes A vom
> Koordinatenursprung.
>
> 1.2 Berechnen Sie die Entfernung der Punkte A und B.
>
> 1.3 Berechnen Sie k so, dass die Vektoren [mm]\vec AB[/mm] und [mm]\vec AC_k[/mm]
> gleiche Länge haben.
>
> 1.4 Berechen Sie k so, dass der Vektor [mm]\vec AC_k[/mm] die Länge
> [mm]\wurzel{230}[/mm] hat.
> Hallo Zusammen,
>
> 1.1
> Der Punkt A ist gegeben und beginnt im
> Koordinatenursprung, somit muss der Betrag also die
> Entfernung berechnet werden:
>
> |[mm]\vec A[/mm]| = [mm]\wurzel{(-5)²+12²+(-9)²}[/mm] = [mm]\wurzel{250}[/mm] = 15,81
>
> 1.2
> Um die Entfernung der beiden Punkte voneinander zu
> berechnen, muss man den Punkt B von A abziehen und den
> Betrag ausrechnen:
>
> [mm]\vec B[/mm] - [mm]\vec A[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
> - [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> |[mm]\vec AB[/mm]| = [mm]\wurzel{4²+(-12)²+6²}[/mm] = [mm]\wurzel{196}[/mm] = 14
>
> 1.3
>
> [mm]\vec AB[/mm] = 14
>
> und nun muss k berchnet werden um das Gleiche zu erhalten.
>
> [mm]\vec C_k[/mm] - [mm]\vec A[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 3k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ k-12 \\ 3k+9 \end{pmatrix}[/mm]
>
> |[mm]\vec AB[/mm]| = [mm]\wurzel{5²+(k-12)²+(3k+9)²}[/mm]
Hallo,
ich muß Dich wirklich loben: Du hast alles richtig schön übersichtlich und schlüssig aufgeschreiben.
Du machst im nun folgenden einen Fehler:
Du hast (|14|=) [mm] 14=\wurzel{5²+(k-12)²+(3k+9)²}.
[/mm]
Das quadrierst Du vollig richtig und bringst [mm] 5^2 [/mm] auf die anderes Seite (Zahl zu Zahl), ergibt:
[mm] (14^2-5^2=) [/mm] 171=(k-12)²+(3k+9)².
Soweit war es bei Dir nioch richtig.
Nun hast Du die Klammern auf der rechten Seite verkehrt aufgelöst. Du mußt hier die binomischen Formeln verwenden!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 14.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Du machst im nun folgenden einen Fehler:
>
> Du hast (|14|=) [mm]14=\wurzel{5²+(k-12)²+(3k+9)²}.[/mm]
>
> Das quadrierst Du vollig richtig und bringst [mm]5^2[/mm] auf die
> anderes Seite (Zahl zu Zahl), ergibt:
>
> [mm](14^2-5^2=)[/mm] 171=(k-12)²+(3k+9)².
>
> Soweit war es bei Dir nioch richtig.
>
> Nun hast Du die Klammern auf der rechten Seite verkehrt
> aufgelöst. Du mußt hier die binomischen Formeln verwenden!
ich war mal wieder blind. Vielen Dank
$|171|=(k-12)²+(3k+9)²$
$|171|=k²-24k+144+9k²+54k+81$
$|171|=10k²+30k+225$
$|-54|=10k²+30k$
[mm] $|-\wurzel{54}|=40k$
[/mm]
$0,18 = k$
nur kommt dann auch nicht 14 raus sondern 15,9 usw. Hab ich einen Fehler beim Auflösen der Klammern gemacht?
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Hallo itse!
Zum Lösen von quadratischen Gleichungen solltest Du die  p/q-Formel verwenden, und nicht einfach die Wurzel ziehen - das klappt nicht.
> [mm]|171|=(k-12)²+(3k+9)²[/mm]
> [mm]|171|=k²-24k+144+9k²+54k+81[/mm]
> [mm]|171|=10k²+30k+225[/mm]
Es gilt ja $|171| \ = \ 171$ und damit:
$$171 \ = \ [mm] 10*k^2+30*k+225$$
[/mm]
[mm] $$k^2+30*k+54 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$k^2+3*k+5.4 [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Mi 14.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Zum Lösen von quadratischen Gleichungen solltest Du die
> p/q-Formel verwenden, und nicht einfach die
> Wurzel ziehen - das klappt nicht.
>
>
> > [mm]|171|=(k-12)²+(3k+9)²[/mm]
> > [mm]|171|=k²-24k+144+9k²+54k+81[/mm]
> > [mm]|171|=10k²+30k+225[/mm]
>
> Es gilt ja [mm]|171| \ = \ 171[/mm] und damit:
> [mm]171 \ = \ 10*k^2+30*k+225[/mm]
> [mm]k^2+30*k+54 \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]k^2+3*k+5.4 \ = \ 0[/mm]
[mm] $k_1,2 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{(\bruch{3}{2})² - 5,4}$
[/mm]
[mm] $k_1,2 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{-3,15}$
[/mm]
nun hab ich eine negative Wurzel und dies geht bekanntlich nicht. Wo steckt dann der Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 14.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
1.4 ist im Grund das Gleiche wie 1.3 nur mit einer anderen Länge und zwar [mm] $\wurzel{230}$
[/mm]
also muss man wieder [mm] $\vec C_k$ [/mm] - [mm] $\vec [/mm] A$ rechnen, hierbei kommt dies heraus: [mm] $\begin{pmatrix} 5 \\ k-12 \\ 3k+9 \end{pmatrix}$
[/mm]
daraus folgt:
[mm] $\wurzel{230} [/mm] = [mm] \wurzel{5²+(k-12)²+(3k+9)²}$
[/mm]
$230 = 25+k²-24k+144+9k²+54k+81$
$230 = 10k²+30k+250$
$10k²+30k+20 = 0 |/10$
$k²+3k+2 = 0$
nun wieder die p/q-formel für quadr. gleichungen benutzen:
[mm] $k_1,2 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{(\bruch{3}{2})² - 2}$
[/mm]
hierbei kommt auch wieder ein negativer Wert unter der Wurzel heraus. Ich find den Fehler einfach nicht.
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Hallo, du hast dich jetzt verrechnet [mm] (\bruch{3}{2})^{2}=1,5^{2}=2,25 [/mm] und 2,25-2=0,25, eine positive Zahl,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mi 14.11.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo, du hast dich jetzt verrechnet
> [mm](\bruch{3}{2})^{2}=1,5^{2}=2,25[/mm] und 2,25-2=0,25, eine
> positive Zahl,
>
> Steffi
okay, k1 = -1 und k2 = -2 erfüllen die Bedingung
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Hallo, du hast richtig erkannt, aus -3,15 kannst du keine reelle Wurzel ziehen, das bedeutet nun, es gibt kein [mm] C_k [/mm] (0; k; 3k), der die Bedingung der Aufgabe erfüllt, eine Vermutung wäre, in der Aufgabenstellung hat sich ein Abschreibfehler eingeschlichen, da die Aufgabe so formuliert ist, dass du [mm] C_k [/mm] (0; k; 3k) findest,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mi 14.11.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo, du hast richtig erkannt, aus -3,15 kannst du keine
> reelle Wurzel ziehen, das bedeutet nun, es gibt kein [mm]C_k[/mm]
> (0; k; 3k), der die Bedingung der Aufgabe erfüllt, eine
> Vermutung wäre, in der Aufgabenstellung hat sich ein
> Abschreibfehler eingeschlichen, da die Aufgabe so
> formuliert ist, dass du [mm]C_k[/mm] (0; k; 3k) findest,
> Steffi
1.2 Berechnen Sie die Entfernung der Punkte A und B.
1.3 Berechnen Sie k so, dass die Vektoren $ [mm] \vec [/mm] AB $ und $ [mm] \vec AC_k [/mm] $ gleiche Länge haben.
Ich habs nochmals überprüft, es liegt kein Abschreibfehler vor. Die 1.3 und 1.4 sind im Endeffekt das Gleiche, nur dass die Länge, die vorgegeben eine andere ist. Bei 1.4 war es die wurzel aus 230. Bei 1.3 ist es doch 14 oder? Nicht das ich mir hier täusche. Und die Länge krieg ich wieder aus der 1.2. Die Entfernung der beiden Punkte ist ja ihre Länge und somit muss ich B - A rechnen und dann die Formel für den Betrag auf den sich ergebenden Vektor verwenden. Dabei kommt 14 raus. Dies muss ich doch dann bei 1.3 voraussetzen als Länge AB? Vielen Dank.
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Hallo, die Lösungen der Aufgabe sind so, wie hier genannt, du hast auch korrekt die Vorgehensweise zum Lösen der Aufgabe beschrieben, Steffi
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