Vektoren, Operatives Verfahren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mo 22.03.2010 | | Autor: | shaitan |
| Aufgabe | Gegeben seien die linear unabhängigen Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und ein weiterer Vektor [mm] \vec{n}, \vec{n} \not= \vec{o}, [/mm] mit der Eigenschaft:
[mm] \vec{a}*\vec{n} [/mm] = 0 und [mm] \vec{b}*\vec{n} [/mm] = 0 .
Zeigen Sie (indirekt), dass [mm] \vec{n} [/mm] keine Linearkombination von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist.
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Um indirekt zu beweisen, dass [mm] \vec{n} [/mm] keine Linearkombination von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist, muss ich doch zeigen, dass die Annahme [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b} [/mm] zum Widerspruch führt, die Annahme dadurch falsch und somit die Behauptung richtig ist oder?
Laut meinem Mathelehrer brauche ich in dem Beweis das operative Verfahren. Jetzt ist die Frage was das operative Verfahren ist. Das haben wir im Unterricht nämlich noch nicht besprochen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 22.03.2010 | | Autor: | weduwe |
> Gegeben seien die linear unabhängigen Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm]
> und ein weiterer Vektor [mm]\vec{n}, \vec{n} \not= \vec{o},[/mm] mit
> der Eigenschaft:
>
> [mm]\vec{a}*\vec{n}[/mm] = 0 und [mm]\vec{b}*\vec{n}[/mm] = 0 .
>
> Zeigen Sie (indirekt), dass [mm]\vec{n}[/mm] keine Linearkombination
> von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ist.
>
> Um indirekt zu beweisen, dass [mm]\vec{n}[/mm] keine
> Linearkombination von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ist, muss ich
> doch zeigen, dass die Annahme [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\alpha\vec{a}[/mm] +
> [mm]\beta\vec{b}[/mm] zum Widerspruch führt, die Annahme dadurch
> falsch und somit die Behauptung richtig ist oder?
>
> Laut meinem Mathelehrer brauche ich in dem Beweis das
> operative Verfahren. Jetzt ist die Frage was das operative
> Verfahren ist. Das haben wir im Unterricht nämlich noch
> nicht besprochen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
was das/ein "operative" verfahren sein soll: keine ahnung.
bilde einfach die beiden skalarprodukte, aus der annahme
[mm]\vec{n}= \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}[/mm] folgt [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \beta=0, [/mm] also ein widerspruch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mo 22.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Hmm Ich verstehe nicht ganz wie du darauf kommst, dass [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] = 0 sein müssen.
Ich habe selber mal etwas rumprobiert:
Annahme: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b} [/mm]
Jetzt multipliziere ich die Gleichung mit [mm] \vec{n}: [/mm]
[mm] \vec{n}^{2} [/mm] = [mm] \alpha\vec{a}\vec{n} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}\vec{n} [/mm]
Wenn ich jetzt die Voraussetztung, dass [mm] \vec{a}*\vec{n} [/mm] = 0 und [mm] \vec{b}*\vec{n} [/mm] = 0 sein müssen, hinenstecke müsste ich doch
[mm] \vec{n}^{2} [/mm] = [mm] \alpha*0 [/mm] + [mm] \beta*0
[/mm]
--> [mm] \vec{n}^{2} [/mm] = 0 erhalten.
Da [mm] \vec{n} \not= \vec{o} [/mm] ist müsste sich hier ein Widerspruch ergeben.
Stimmt der Beweis so oder habe ich da irgendwo einen Fehler eingebaut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mo 22.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Dein Beweis stimmt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Mo 22.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 23.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Also ich hab mit meinem Mathelehrer gesprochen und er meinte zwar, dass der Beweis richtig ist, aber nicht so wie er ihn haben möchte(Warum auch immer). Er meinte ich sollte die Voraussetzung, dass [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] = 0 und [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = 0 anders benutzen sodass ich zwei verschiedene Gleichungen habe. Ich hab das jetzt folgendermaßen gemacht:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}
[/mm]
Diese Gleichung habe ich dann einmal mit [mm] \vec{a} [/mm] und einmal mit [mm] \vec{b} [/mm] multipliziert:
[mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] * [mm] \vec{a}
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] * [mm] \vec{b}
[/mm]
Laut Vorausetzung ergibt sich dann:
0 = [mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] * [mm] \vec{a}
[/mm]
0 = [mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] * [mm] \vec{b}
[/mm]
Jetzt bin ich am überlegen ob ich gleichsetzten darf oder wie ich sonst weiter vorgehen soll.
Beim gleichsetzten würde ich dann
[mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] * [mm] \vec{b}
[/mm]
erhalten.
Darf ich in diesem Fall durch [mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] teilen? Dann wäre [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{b}. [/mm] Das wäre dann doch ein Widerspruch da [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sein sollen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Di 23.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Durch Vektoren kann man nicht dividieren!
Der Beweis wird viel länglicher und umständlicher als dein guter und richtiger Beweis. Warum dein Lehrer einen umständlichen Beweis will- nur weil er vielleicht nicht an den einfachen gedacht hat ist schwer zu verstehen.
Du musst die Klammern ausmultiplizieren, und dran denken dass [mm] a*a=|a|^2 [/mm] positiv ist. am einfachsten, nimm gleich die Einheitsvektoren, a/|a|=a' für die gilt ja dann auch n*a'=0 und arbeite damit.
Und beklag dich bei deinem Lehrer!
"operativer" als deiner ist der Beweis auch nicht, es sei denn man übersetzt operativ mit man braucht mehr als eine, d.h. möglichst viele operationen um zum Ziel zu kommen.
Wenn dein Lehrer einen "operativen" beweis fordert, MUSS er vorher "operativer Beweis" definieren!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 23.03.2010 | | Autor: | gfm |
Kann es sein, dass der gute Mann, mit den Projektionen in die Unterräume zu a und b einen Widerspruch sehen will:
[mm] P_a:=\frac{1}{||a||^2}a(a\* [/mm] (Physikerart... :))
[mm] P_b:=\frac{1}{||b||^2}b(b\*
[/mm]
[mm] P_a(pa+qb)=(p+\frac{q(a\*b)}{||a||^2})a=0 [/mm]
[mm] P_b(pa+qb)=(q+\frac{p(a\*b)}{||b||^2})b=0
[/mm]
Da a und b nicht Nullvektoren sein sollen, müssen die Klammern verschwinden. Dann ergeben sich aber in p und q Geradengleichungen durch den Ursprung, d.h. sie scheiden sich nur im Ursprung, d.h. bei p=0 und q=0.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 23.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Ich hoffe nicht, dass er sowas sehen will da wir noch nie irgendwas mit Projektionen in Unterräumen gemacht haben. Und da es eine verallgemeinerung von einer Klausuraufgabe ist denke ich nicht, dass es etwas damit zu tun hat.
Danke trotzdem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 23.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Ahh stimmt da war ja was... ist eigentlich auch logisch weil sonst würde ja schon die Aussage [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0 und [mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0 zum Widerspruch füren wenn man die gleichsetzten und durch [mm] \vec{n} [/mm] teilen würde.
Also gut dann multipliziere ich die Klammern aus und erhalte:
0 = [mm] \alpha\vec{a}^2 [/mm] + [mm] \beta\vec{a}\vec{b}
[/mm]
0 = [mm] \alpha\vec{a}\vec{b} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}^2
[/mm]
Das [mm] \vec{a}^2 [/mm] bzw. [mm] \vec{b}^2 [/mm] positiv ist , ist mir klar, aber ich weis nicht, was ich damit anfangen kann. Und das mit den Einheitsvektoren habe ich nicht so ganz verstaden, die haben wir leider noch nicht besprochen.
Danke schonmal für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Di 23.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
verwende statt a den Vektor a'= a/|a| der hat die Länge 1
also |a'|=1
ebenso b'
dann gilt weiter a'*n=0, b'*n=0
deine Gleichungen werden einfacher: aus
0 = $ [mm] \alpha\vec{a'}^2 [/mm] $ + $ [mm] \beta\vec{a'}\vec{b'} [/mm] $
0 = $ [mm] \alpha\vec{a'}\vec{b'} [/mm] $ + $ [mm] \beta\vec{b'}^2 [/mm] $
wird
0 = $ [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta\vec{a'}\vec{b'} [/mm] $
0 = $ [mm] \alpha\vec{a'}\vec{b'} [/mm] + [mm] \beta [/mm] $
gleichgesetzt:
[mm] \alpha+\beta*a*b=\beta+\alpha*ab
[/mm]
[mm] \alpha-\beta= (\alpha-\beta)ab
[/mm]
daraus a'b'=1 aber für nicht parallele Vektoren gilt |a*b|<|a|*|b|
also hast du den Widerspruch.
Ohne die einheitsvektoren geht es ähnlich, nur etwas länger.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 23.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Ok dankesehr! Da ich meinen Mathelehrer ja kenne, werde ich mal versuchen das ohne Einheitsvektoren hinzukriegn, sonst hat der eh wieder etwas dran auszusetzten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Di 23.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest wirklich den Mut haben zu verlangen, dass er dir (und uns _bitte erzähl uns das Ergebnis_) erklärt, warum man was umständlich machen soll, wenn es auch einfach geht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 25.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Also ich habe mit meinem Mathelehrer gesprochen und er hat meinen einfachen Beweis aktzeptiert und meinte, es wäre eigentlich immer richtig die einfache Variante zu nehmen. Er wollte allerdings erst, dass ich den Beweis anders mache, da irgendetwas darin vorkommt, was er eigentlich im Unterricht besprechen wollte. Er hat sich jetzt aber anscheinen doch nicht darauf einzugehen und mit etwas anderem weiter zu machen.
Das Thema ist also eigentlich erledigt, nur mich würde doch schon interessieren wie der andere Beweis nun aussieht:D Hab da jetzt einige Stunden dran gesessen und jetzt würde ich auch gerne das Ergebnis wissen. Ich komme nämlich einfach nicht weiter.
Ich hab die Terme ausgerechnet und gleichgesetzt:
[mm] \alpha\vec{a}^2 [/mm] + [mm] \beta\vec{a}\vec{b} [/mm] = [mm] \alpha\vec{a}\vec{b} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}
[/mm]
Dann habe ich versucht die irgendwie umzuforemen und habe geschaut ob ich zu irgendeinem Widerspruch komme aber irgendwie komme ich nicht weiter...
Hier mal ein paar verschiedene Gleichungen die ich erhalten habe:
[mm] \alpha\vec{a}^2 [/mm] - [mm] \beta\vec{b}^2 [/mm] = [mm] (\alpha [/mm] - [mm] \beta)\vec{a}\vec{b}
[/mm]
[mm] \beta(\vec{a}\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{b}^2) [/mm] = [mm] \alpha(\vec{a}\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}^2)
[/mm]
bzw anders ausgeklammer, also [mm] \beta\vec{b} [/mm] , [mm] \alpha\vec{a} [/mm] oder nur [mm] \vec{b}, \vec{a} [/mm] vor der Klammer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Ich hab die Terme ausgerechnet und gleichgesetzt:
Ich würde nicht gleichsetzen (da grundsätzlich die Aussagen xyz=0, abc=0 zusammen "mächtiger" sind als xyz=abc).
Geometrisch ist doch das Skalarprodukt $a*b$ (denk Dir immer die Pfeilchen dazu =) die Länge der Projektion von a auf b, mal der Länge von b (bzw. umgekehrt, ist das gleiche)
Oder Ihr habt's so definiert:
[mm] $\vec [/mm] x [mm] \cdot \vec [/mm] y = [mm] |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right)$
[/mm]
Auf jeden Fall sollte klar sein, daß für linear unabhängige a und b gilt $a*b < [mm] |a|\, [/mm] |b|$, weil die Projektion kürzer ist als der urspr. Vektor, bzw. weil der Kosinus <1 ist.
[mm] $\alpha\, [/mm] a*a + [mm] \beta\, [/mm] b*a = 0$
[mm] $\Rightarrow\ \alpha [/mm] = [mm] -\frac{\beta}{a*a}b*a$ [/mm]
(nicht vergessen, $a*a$ ist eine Zahl, kein Vektor, also können wir teilen; außerdem folgt aus [mm] $\beta=0$ [/mm] auch sofort [mm] $\alpha=0$, [/mm] damit müssen beide ungleich 0 sein)
in die andere Gleichung eingesetzt:
[mm] $\alpha\, [/mm] a*b + [mm] \beta\, [/mm] b*b = [mm] -\frac{\beta}{a*a}(b*a)(a*b) [/mm] + [mm] \beta\, [/mm] b*b = 0$
(auch $a*b$ und $b*a$ sind Zahlen, nicht Vektoren)
den negativen Term auf die andere Seite gebracht:
[mm] $\frac{\beta}{a*a}(b*a)(a*b) [/mm] = [mm] \beta\, [/mm] b*b $
[mm] $\beta$ [/mm] rausgekürzt und mit $a*a$ (das noch immer eine Zahl ist) multipliziert:
$(b*a)(a*b)=(a*a)(b*b)$
1. $b*a=a*b$ und 2. $a*a = [mm] |a|^2$ [/mm] (sollte klar sein, sieht man sofort aus der geometrischen Betrachtung oder wenn Du's oben in die Kosinus-Formel einsetzt)
[mm] $(a*b)^2 [/mm] = [mm] |a|^2|b|^2$
[/mm]
$a*b = [mm] |a|\, [/mm] |b|$
also sind a und b linear abhängig. Bzzt.
ciao
Stefan
P.S.: Ich sehe, wie diese Variante praktischer für Deinen Lehrer sein könnte, aber ich schließe mich den Fans Deines urspr. Beweises an. =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 25.03.2010 | | Autor: | shaitan |
Dankeschön:) Ich habs sogar verstanden und ich glaube ich weis jetzt auch, was unser Lehrer im Unterricht besprechen wollte:D Da wir grade die geometrische Bedeutung von Vektoren besprechen haben ( wir sind theoretisch im [mm] \IR^n [/mm] in die Vektorrechnung eingestiegen), wollte er wohl auf die geometrische Bedeutung des Skalarproduktes zu sprechen kommen.
Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 14.04.2010 | | Autor: | shaitan |
Ich bins nochmal.
Also das war immer noch nicht der Beweis den unser Lehrer sehen wollte... Ich hab nochmal mit ihm gesprochen und er meinte ich sollte doch mal die schaune was so dabei harauskommt wenn ich die Gleichungen addiere/subtrahiere und diese ggf. vorher so umformen dass ein Teil wegfällt. Er meinte am Ende würde sich ein Widerspruch durch die lineare Unabhängigkeit ergeben.
Ich hab jetzt mal rumgerechnet und komme jetzt irgendwie nicht weiter...:
Ich habe ja die Gleichungen
0 = [mm] \alpha\vec{a}^2 [/mm] + [mm] \beta\vec{a}\vec{b}
[/mm]
0 = [mm] \alpha\vec{a}\vec{b} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}^2
[/mm]
Jetzt habe ich die obere Gleichung mit [mm] \alpha [/mm] und die untere mit [mm] \beta [/mm] multipliziert.
dann bekomme ich
0 = [mm] \alpha^2\vec{a}^2 [/mm] + [mm] \alpha\beta\vec{a}\vec{b}
[/mm]
0 = [mm] \alpha\beta\vec{a}\vec{b} [/mm] + [mm] \beta^2\vec{b}^2
[/mm]
Wenn ich die untere Gleichung von der oberen subtrahiere bekomme ich:
0 = [mm] \alpha^2\vec{a}^2 [/mm] - [mm] \beta^2\vec{b}^2
[/mm]
Jetzt könnte ich den zweiten Teil auf die andere Seite bringen und durch [mm] \alpha^2 [/mm] teilen:
[mm] \bruch{\beta^2}{\alpha^2}\vec{b}^2 [/mm] = [mm] \vec{a}^2
[/mm]
Ich habe aber keine Ahnung ob das etwas bringt, oder wie ich weiter machen soll...
Ich habe es auch über den Weg der Addition versucht, bin dabei aber genauso ratlos...
Ich würde, wenn ich die mit [mm] \alpha [/mm] bzw. [mm] \beta [/mm] multiplizierten Gleichungen addieren würde, folgendes bekommen:
0 = [mm] \alpha^2\vec{a}^2 [/mm] + [mm] \alpha\beta\vec{a}\vec{b} [/mm] + [mm] \alpha\beta\vec{a}\vec{b} [/mm] + [mm] \beta^2\vec{b}^2
[/mm]
also
0 = [mm] \alpha^2\vec{a}^2 [/mm] + [mm] 2\alpha\beta\vec{a}\vec{b} [/mm] + [mm] \beta^2\vec{b}^2
[/mm]
Das Wäre dann die erste binom. Formel also:
0 = [mm] (\alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b}) [/mm] ^2
Ob mir das etwas bringt weis ich nicht...
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 14.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich habe es auch über den Weg der Addition versucht, bin
> dabei aber genauso ratlos...
> Ich würde, wenn ich die mit [mm]\alpha[/mm] bzw. [mm]\beta[/mm]
> multiplizierten Gleichungen addieren würde, folgendes
> bekommen:
> 0 = [mm]\alpha^2\vec{a}^2[/mm] + [mm]\alpha\beta\vec{a}\vec{b}[/mm] +
> [mm]\alpha\beta\vec{a}\vec{b}[/mm] + [mm]\beta^2\vec{b}^2[/mm]
> also
> 0 = [mm]\alpha^2\vec{a}^2[/mm] + [mm]2\alpha\beta\vec{a}\vec{b}[/mm] +
> [mm]\beta^2\vec{b}^2[/mm]
> Das Wäre dann die erste binom. Formel also:
> 0 = [mm](\alpha\vec{a}[/mm] + [mm]\beta\vec{b})[/mm] ^2
Das sollte [mm] $|\alpha\vec [/mm] a + [mm] \beta \vec [/mm] b [mm] |^2$ [/mm] sein. Das in der Klammer ist ein Vektor.
Es ist wichtig einen Unterschied zwischen dem Multiplizieren im Reellen und dem Skalarprodukt zu machen. Einiges, was Du beim ersten machen kannst, funktioniert beim zweiten nicht. Z.B. ist [mm] $\vec a\cdot\vec b\cdot\vec [/mm] c = ?$
[mm] $\vec a\cdot \vec [/mm] a = [mm] |\vec [/mm] a [mm] |^2$, [/mm] weil die euklidische Länge eines Vektors nun mal [mm] $|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot \vec b}$
[/mm]
>
> Ob mir das etwas bringt weis ich nicht...
Was war denn [mm] $\alpha \vec [/mm] a + [mm] \beta\vec [/mm] b$? =)
ciao
Stefan
>
> Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Mi 14.04.2010 | | Autor: | shaitan |
Ahh danke:) Manchmal bin ich aber auch echt blind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Di 23.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Wollte nur mal erwähnen, dass auch die Voraussetzung, dass [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] linear unabhängig sein sollen, gar nicht notwendig ist. Sieht man ja an deinem Beweis.
Gruß, Robert
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