Vektoren eine Basis von U bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei U der lineare Teilraum des euklidischen Vektorraumes R4., der durch folgende homogene Gleichung gegeben ist:
x1+x2+x3+x4=0
a)Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren eine Basis von U bilden.
b1= (1,-1,1,-1) b2=(3,1,-1,-3) b3= (3,-1,-1,-1)
b)Berechnen Sie hieraus mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthogonalbasis. |
Also bitte euch um Rat oder Hilfestellung zur dieser Aufgabe.
Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Do 08.06.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
man stellt zunächst fest, dass die drei Vektoren in U liegen, da die Summe ihrer Komponenten jeweils 0 ergibt.
Dann musst Du zeigen, dass b1,b2,b3 linear unabhängig sind, d.h. dass aus
x*b1+y*b2+z*b3=0 schon x=y=z=0 folgt.
Das sollte kein Problem sein, da Du aus dieser Gleichung ja schon ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit drei Unbekannten erhältst (einfach b1,b2, b3 in die Gleichung einsetzen und die 4 von x,y,z abhängigen Gleichungen betrachten und ineinander einsetzen).
Jetzt bleibt füra) nur noch zu zeigen, dass b1,b2,b3 ein Erzeugendensystem bilden, d.h. jeder beliebige Vektor aus U als Linearkombination der drei Vektoren b1,b2,b3 dargestellt werden kann, also zu zeigen ist, dass x,y,z existieren mit
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}} [/mm] = x*b1+y*b2+z*b3,
wobei [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 [/mm] ist.
Zu b):
Reine Rechenarbeit - die einzelnen Schritte des Orthogonalisierungsverfahrens bzw. Orthonormalisierungsverfahrens kannst Du z.B. auf
http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~ebeling/LA-B/LAB110602.pdf
nachlesen.
LG Matthias.
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