Vektoren gleichsetzen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Sa 13.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Hallo, eine Kreisbewegung im [mm] \IR^2 [/mm] lässt sich ja mithilfe von Vektoren in der folgenden Form beschreiben:
r(t) = [mm] \vektor{r*cos(\omega*t) \\ r*sin(\omega*t)}
[/mm]
Mein Problem: Ich habe jetzt zwei sich überlappende Kreisbewegungen mit demselben Radius. Ich möchte wissen, nach wie vielen Zeiteinheiten die sich drehenden Teilchen am gleichen Ort sind:
[mm] r_{1}(t) [/mm] = [mm] \vektor{cos(2\pi*t) \\ sin(2\pi*t)}
[/mm]
[mm] r_{2}(t) =\vektor{cos(\bruch{\pi}{30}*t) \\ sin(\bruch{\pi}{30}*t)}
[/mm]
[mm] \omega [/mm] ergibt sich ja als [mm] \bruch{\phi}{T}, [/mm] also der Zeit, die man für beispielsweise eine Umrundung braucht. Im ersten Fall wird eine Drehung von 360° in 1 Sek. und im zweiten Fall in 60 Sek. vollendet. Wenn ich jetzt wissen will, wann der Ort zusammenfällt, muss ich ja ein LGS bilden bzw. die Vektoren gleichsetzen. Allerdings erhalte ich da als Lösung nur die 0... Wie löse ich dieses LGS so, dass ich alle Lösungen erhalte?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, eine Kreisbewegung im [mm]\IR^2[/mm] lässt sich ja mithilfe
> von Vektoren in der folgenden Form beschreiben:
>
>
> r(t) = [mm]\vektor{r*cos(\omega*t) \\ r*sin(\omega*t)}[/mm]
>
> Mein Problem: Ich habe jetzt zwei sich überlappende
> Kreisbewegungen mit demselben Radius. Ich möchte wissen,
> nach wie vielen Zeiteinheiten die sich drehenden Teilchen
> am gleichen Ort sind:
>
>
> [mm]r_{1}(t)[/mm] = [mm]\vektor{cos(2\pi*t) \\ sin(2\pi*t)}[/mm]
>
> [mm]r_{2}(t) =\vektor{cos(\bruch{\pi}{30}*t) \\ sin(\bruch{\pi}{30}*t)}[/mm]
>
> [mm]\omega[/mm] ergibt sich ja als [mm]\bruch{\phi}{T},[/mm] also der Zeit,
> die man für beispielsweise eine Umrundung braucht. Im
> ersten Fall wird eine Drehung von 360° in 1 Sek. und im
> zweiten Fall in 60 Sek. vollendet. Wenn ich jetzt wissen
> will, wann der Ort zusammenfällt, muss ich ja ein LGS
> bilden bzw. die Vektoren gleichsetzen. Allerdings erhalte
> ich da als Lösung nur die 0... Wie löse ich dieses LGS
> so, dass ich alle Lösungen erhalte?
Das ist kein lineares Gleichungssystem, sondern ein transzendentes.
Zunächst mal sagt die Anschauung, dass 0 nicht die einzige Lösung sein kann 
Schreib doch mal auf, was du gemacht hast, dann können wir dir sagen, wo der Fehler liegt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 13.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
[mm] cos(2\pi*t) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{30}*t) [/mm] | arccos()
[mm] sin(2\pi*t) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{30}*t) [/mm] | arcsin()
[mm] 2\pi*t [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{30}*t [/mm] <=> t = 0
[mm] 2\pi*t [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{30}*t [/mm] <=> t = 0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\cos(2\pi*t) = \cos(\bruch{\pi}{30}*t)[/mm] | arccos()
> [mm]\sin(2\pi*t) = \sin(\bruch{\pi}{30}*t)[/mm] | arcsin()
Das ist keine Äquivalenzumformung: Der Wertebereich des Arkuscosinus ist [mm] $[0,\pi]$, [/mm] der des Arcussinus [mm] $[-\pi/2,+\pi/2]$. [/mm] Damit schränkst du t auf das Intervall $[0,1/4]$ ein und wirfst so alle Lösungen außer t=0 weg.
Multipliziere die erste Gleichung mit [mm] $\cos(\bruch{\pi}{30}*t)$, [/mm] die zweite mit [mm] $\sin(\bruch{\pi}{30}*t)$ [/mm] und nutze die Additionstheoreme!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Sa 13.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Vielen Dank ^^ Wieso komme ich nur nie auf solche ideen :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 15.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Hallo, ich muss leider nochmals nachhaken. Meine Fragestellung ist Folgende: Wie viele Minuten nach 6 Uhr holt der Minutenzeiger den Stundenzeiger zum ersten Mal ein?
Ich habe zunächst die Kreisbewegung beider Zeiger versucht darzustellen:
[mm] \vec{r_{minute}} [/mm] = [mm] \vektor{cos(2\pi*t) \\ sin(2\pi*t)}
[/mm]
[mm] \vec{r_{stunde}} [/mm] = [mm] \vektor{cos(\bruch{\pi*t}{30}) \\ sin(\bruch{\pi*t}{30})}
[/mm]
Nun setze ich beide Bewegungen gleich und erhalte
(1) [mm] cos(2\pi*t) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi*t}{30}) [/mm] | [mm] *cos(\bruch{\pi*t}{30})
[/mm]
(2) [mm] sin(2\pi*t) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi*t}{30}) [/mm] | [mm] *sin(\bruch{\pi*t}{30})
[/mm]
(1) [mm] cos(2\pi*t)*cos(\bruch{\pi*t}{30}) [/mm] = [mm] cos^2(\bruch{\pi*t}{30})
[/mm]
(2) [mm] sin(2\pi*t)*sin(\bruch{\pi*t}{30}) [/mm] = [mm] sin^2(\bruch{\pi*t}{30})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (1)+(2): [mm] cos(2\pi*t)*cos(\bruch{\pi*t}{30}) [/mm] + [mm] sin(2\pi*t)*sin(\bruch{\pi*t}{30}) [/mm] = 1 [mm] \gdw cos(\bruch{61\pi*t}{30}) [/mm] = 1 [mm] \gdw \bruch{61\pi*t}{30} [/mm] = [mm] 0;2\pi;4\pi;... \gdw [/mm] t = [mm] 0;\bruch{60}{61};\bruch{120}{61};...
[/mm]
Das würde ja bedeuten, dass die sich fast jede Minute überschneiden... Was stimmt denn da nicht? :( Auch wenn es einfacher geht, würde mich der Fehler in der obigen Rechnung sehr interessieren.
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Di 16.11.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo FrageAcc,
> Hallo, ich muss leider nochmals nachhaken. Meine
> Fragestellung ist Folgende: Wie viele Minuten nach 6 Uhr
> holt der Minutenzeiger den Stundenzeiger zum ersten Mal
> ein?
>
> Ich habe zunächst die Kreisbewegung beider Zeiger versucht
> darzustellen:
>
> [mm]\vec{r_{minute}}[/mm] = [mm]\vektor{cos(2\pi*t) \\
sin(2\pi*t)}[/mm]
> [mm]\vec{r_{stunde}}[/mm] = [mm]\vektor{cos(\bruch{\pi*t}{30}) \\
sin(\bruch{\pi*t}{30})}[/mm]
Überleg dir mal, wo der Minutenzeiger in deiner Darstellung z.B. bei t=0 ist bzw. wo er sein sollte:
Bei dir wäre [mm]\vec r_\text{Minute}(0)=\begin{pmatrix}1\\
0\end{pmatrix}[/mm], was auf dem Ziffernblatt 3 Uhr entspricht (und nicht 12 Uhr). Außerdem drehen sich deine Zeiger gegen den Uhrzeigersinn! Das ist aber aus Symmetriegründen nicht sooo schlimm.
Tipp: [mm]\begin{pmatrix}\sin(t)\\
\cos(t)\end{pmatrix}[/mm] beschreibt auch einen Kreis (und das sogar IM Uhrzeigersinn).
Der Stundenzeiger stimmt so leider auch nicht: er startet auch auf 3 Uhr und läuft gegen den Uhrzeigersinn. Außerdem ist er zu langsam: während der Minutenzeiger in einer Stunde (t=1) einen vollständigen Kreis durchläuft, braucht der Stundenzeiger 60 Stunden um einmal rumzukommen.
> Nun setze ich beide Bewegungen gleich und erhalte
>
> (1) [mm]cos(2\pi*t)[/mm] = [mm]cos(\bruch{\pi*t}{30})[/mm] |
> [mm]*cos(\bruch{\pi*t}{30})[/mm]
> (2) [mm]sin(2\pi*t)[/mm] = [mm]sin(\bruch{\pi*t}{30})[/mm] |
> [mm]*sin(\bruch{\pi*t}{30})[/mm]
>
> (1) [mm]cos(2\pi*t)*cos(\bruch{\pi*t}{30})[/mm] =
> [mm]cos^2(\bruch{\pi*t}{30})[/mm]
>
> (2) [mm]sin(2\pi*t)*sin(\bruch{\pi*t}{30})[/mm] =
> [mm]sin^2(\bruch{\pi*t}{30})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1)+(2): [mm]cos(2\pi*t)*cos(\bruch{\pi*t}{30})[/mm] +
> [mm]sin(2\pi*t)*sin(\bruch{\pi*t}{30})[/mm] = 1 [mm]\gdw cos(\bruch{61\pi*t}{30})[/mm]
> = 1 [mm]\gdw \bruch{61\pi*t}{30}[/mm] = [mm]0;2\pi;4\pi;... \gdw[/mm] t =
> [mm]0;\bruch{60}{61};\bruch{120}{61};...[/mm]
>
> Das würde ja bedeuten, dass die sich fast jede Minute
> überschneiden... Was stimmt denn da nicht? :( Auch wenn es
> einfacher geht, würde mich der Fehler in der obigen
> Rechnung sehr interessieren.
Die Rechnung an sich ist schon richtig, aber Vektoren für die Bewegung der Zeiger stimmen ja nicht.
Du interpretierst dein Ergebnis auch falsch: [mm]t=\frac{60}{61}[/mm] heißt, dass sich die Zeiger nach einer [mm]\frac{60}{61}[/mm] Stunde treffen. D.h. nach [mm]\frac{60}{61}\cdot 60\approx 59[/mm] Minuten.
Wenn du dein Ergebnis gleich in Minuten haben willst, musst den Faktor im Argument von Sinus/Kosinus entsprechend ändern (was aber recht große Zahlen zur Folge hat).
Lieben Gruß,
Fulla
EDIT: ich habs nochmal durchgerechnet. Das Additionstheorem, das du verwenden willst lautet so: [mm] $\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)$.
[/mm]
In deinem Fall musst du [mm] $\cos(x- y)=\cos(x)\cos(y)+ \sin(x)\sin(y)$ [/mm] benutzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 16.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Vielen Dank! Aber wie lasse ich den Vektor an einem anderen Punkt starten und wie lasse ich ihn "rückwärtslaufen"
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass man den Kreis mit [mm] \vektor{sin(wt)\\cos(wt)} [/mm] im uhrzeigersinn laufen lässt hat dir fulda doch schon gesagt. der eine zeiger ist dem anderen um /pi vorraus, wie kann man das wohl einbauen?
machs dir am kreis klar. eigentlich willst du ja nicht den ort, sondern die winkelstellung gleich haben, also vergiss doch die Vektoren, rechne mit den winkeln und winkelgeschwindigkeiten und denk dran [mm] /phi=\phi+n*2\pi
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 16.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Ich würde das gerne mit Vektoren machen, damit mir das einmal richtig klar wird...
Die richtigen Vektoren lauten nun:
[mm] \vec{r}_{Minute} [/mm] = [mm] \vektor{sin(2\pi*t + \bruch{\pi}{2}) \\ cos(2\pi*t + \bruch{\pi}{2})}
[/mm]
[mm] \vec{r}_{Stunde} [/mm] = [mm] \vektor{sin(\bruch{\pi}{360}*t - \bruch{\pi}{2}) \\ cos(\bruch{\pi}{360}*t - \bruch{\pi}{2})}
[/mm]
Das dürte ja jetzt stimmen. für t=1 Minute legt der Minutenzeiger eine Umdrehung zurück und für t=720 Minuten legt der Stundenzeiger eine ganze Umdrehung zurück. Winkel beginnen immer bei der positiven x-Achse. Da der Minutenzeiger bei zwölf Uhr sein Soll, muss ich + [mm] \pi [/mm] / 2 rechnen und eben dasselbe bei der Stunde. Stimmt das jetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine vektoren sind jetzt richtig, mit deiner Beschreibung kann ich nix anfangen. auf meiner Uhr legt der min.Zeiger eine Runde in 1 Stunde zurück, der Sekzeiger eine Runde in 1min, der Stundenzeiger braucht 12h
du musst also festlegen ob du t in s, in min oder in h rechnest.
dann setz jeweils ein, was nach 0.5h=30Min= 1800s sein soll um deine Zeiger zu überprüfen.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 17.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Hallo nochmal, ich hoffe ich nerve nicht aber ich habe jetzt folgende Lösung:
[mm] \gdw sin(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{360}*t [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] cos(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{360}*t [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \gdw sin^2(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{360}*t [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})*sin(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] cos^2(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{360}*t [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})*cos(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 = [mm] sin(\bruch{\pi}{360}*t [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})*sin(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] cos(\bruch{\pi}{360}*t [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})*cos(2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] cos(-\bruch{\pi}{360}*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi*t [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] cos(\bruch{719\pi}{360}*t [/mm] + [mm] \pi)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 ; [mm] 2\pi [/mm] ; [mm] 4\pi [/mm] ; [mm] 6\pi [/mm] ; ... = [mm] \bruch{719\pi}{360}*t [/mm] + [mm] \pi
[/mm]
[mm] \gdw -\pi [/mm] ; [mm] \pi [/mm] ; [mm] 3\pi [/mm] ; [mm] 5\pi [/mm] ; ... = [mm] \bruch{719\pi}{360}*t
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] t = [mm] -\bruch{360}{719} [/mm] ; [mm] \bruch{360}{719} [/mm] ; [mm] \bruch{1080}{719} [/mm] ; [mm] \bruch{2160}{719} [/mm] ; ...
Wenn ich jetzt aber beispielsweise 360/719 teile, so erhalte ich 0,500695...
nehme ich das mal 60, so erhalte ich: 30,0417...
Das Ergebnis müsste doch aber ca. 34 oder 35 sein :( :(
Wo liegt jetzt schon wieder mein Fehler...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie reagierst du eigentlich auf posts?
ich sagte in welchen Einheiten du t misst, Antwort keine.
Dein einer >zeiger läuft in 720 Zeiteinheiten=ZE einal rum wenn das Minuten sind ist es der Stundenzeiger.
der andere läft in 1 Zeiteinjeit, also dann 1min einmal um, das ist bei meiner Uhr der sekundenzeiger, und der muss den stundenzeiger vor32 min. überholen.
rechne mit Einheiten,es geht ja um Physik also etwa [mm] x=sin(2/pi/n*ZE^{-1}*t) [/mm] die gewählten ZE einsetzen! sin(2˜pi*3s) existiert nicht da es die einheit sin(s) nicht gibt.
Gruss leduart
|
|
|
|
