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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Di 23.09.2008 | | Autor: | vany74 |
| Aufgabe | Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (3|0|0), B (0|4|0), C (0|0|6) mit dem Schwerpunkt S.
a) Zeichnen Sie das Dreieck und konstruieren Sie den Schwerpunkt S.
b) Berechnen Sie die Koordinaten von S.
c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze O (0|0|0). |
Hallo,
hab eine Frage zu dieser Aufgabe.
Teil a) ist klar, aber bei Teil b) geht's schon los -- wäre es richtig, zunächst alle Mitten der Seiten auszurechnen, dann die Vektoren zu bestimmen (von den Mitten der Seiten zur gegenüberliegenden Spitze) und dann die Vektorenlänge mit dieser Art 'Satz des Pythagoras' auszurechnen?
Komme nicht klar, wäre nett, wenn mir jemand die Aufgabe Schritt für Schritt erklären würde, brauche es unbedingt!!:(
Dankeschön...
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Hallo Vanessa,
> Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (3|0|0), B (0|4|0), C
> (0|0|6) mit dem Schwerpunkt S.
> a) Zeichnen Sie das Dreieck und konstruieren Sie den
> Schwerpunkt S.
> b) Berechnen Sie die Koordinaten von S.
> c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit der
> Grundfläche ABC und der Spitze O (0|0|0).
> Hallo,
> hab eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Teil a) ist klar, aber bei Teil b) geht's schon los --
> wäre es richtig, zunächst alle Mitten der Seiten
> auszurechnen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> , dann die Vektoren zu bestimmen (von den
> Mitten der Seiten zur gegenüberliegenden Spitze)
Jo, ich würde die Geradengleichungen der Seitenhalbierenden in Parameterform aufstellen (Gerade durch 2-Punkte: Seitenmitte und gegnüberliegende Ecke)
> und dann die Vektorenlänge mit dieser Art 'Satz des Pythagoras'
> auszurechnen?
Ich würde einfach 2 der aufgestellten Geradengleichungen für die Seitenhalbierenden gleichsetzen, damit bekämst du doch den SP heraus ...
> Komme nicht klar, wäre nett, wenn mir jemand die Aufgabe
> Schritt für Schritt erklären würde, brauche es
> unbedingt!!:(
> Dankeschön...
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:34 Di 23.09.2008 | | Autor: | vany74 |
Danke für die schnelle Antwort, nur noch eine Frage:
Ich hab es vorhin so gemacht, wie ich es vorgeschlagen hatte, und wenn das immerhin 'okay' war (die andere Variante verstehe ich nicht :/), müsste doch bei den Längen der Vektoren 3mal das gleiche rauskommen!?
Sonst finde ich doch gar keinen Schnittpunkt..!?
Bei mir kommen nämlich 3 unterschiedliche Schnittpunkte raus!
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Hallo!
Es gibt nur eine Möglichkeit, rauszufinden, was da passiert ist...
Poste deine Rechnungen 
Stefan.
PS.: Ich glaube, den Schwerpunkt konnte man auch einfach bestimmen, indem man von den x-Koordinaten, den y-Koordinaten und den z-Koordinaten der Punkte jeweils den Durchschnitt nimmt. Das wird dann S.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Mi 24.09.2008 | | Autor: | vany74 |
Das wird ein bisschen kompliziert hier mit der Computerschreibweise... aber ich versuch's mal.
Zuerst hab ich die Mittelpunkte der Strecken ausgerechnet, mit der Formel [mm] \vec{m}=\bruch{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}).
[/mm]
Da kam raus bei m von AB: (1,5|2|0); bei m von BC (0|2|3) und bei m von AC (1,5|0|3).
Dann hab ich die Vektoren bestimmt, die von einem Mittelpunkt einer Strecke zum Punkt in der Ecke gegenüber gehen.
Das war dann von M (von AB) nach C= [mm] \vektor{1,5 \\ 2 \\ -6}
[/mm]
von M (von BC) nach A= [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ 3} [/mm] und
von M (von AC) nach B= [mm] \vektor{1,5 \\ -4 \\ 3}.
[/mm]
Danach hab ich erst mal die Verktorenlängen ausgerechnet mit der Formel:
[mm] |\vec{v}| [/mm] = [mm] \wurzel{v1² + v2² + v3²}
[/mm]
Da kam raus |M(AB)C| = 6,5
|M(BC)A| = [mm] \wurzel{22}
[/mm]
|M(AC)B| = [mm] \wurzel{27,25}
[/mm]
Und gerade hab ich gemerkt, dass die Mitten von diesen Vektorlängen gar nicht zu den Koordinaten vom Schwerpunkt führen... aber ich hab keine Idee, wie ich dann zu denen komme!
Versteht mich noch jemand?! :D
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Hallo!
> Das wird ein bisschen kompliziert hier mit der
> Computerschreibweise... aber ich versuch's mal.
>
> Zuerst hab ich die Mittelpunkte der Strecken ausgerechnet,
> mit der Formel [mm]\vec{m}=\bruch{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}).[/mm]
> Da kam raus bei m von AB: (1,5|2|0); bei m von BC (0|2|3)
> und bei m von AC (1,5|0|3).
> Dann hab ich die Vektoren bestimmt, die von einem
> Mittelpunkt einer Strecke zum Punkt in der Ecke gegenüber
> gehen.
> Das war dann von M (von AB) nach C= [mm]\vektor{1,5 \\ 2 \\ -6}[/mm]
>
> von M (von BC) nach A= [mm]\vektor{-3 \\ 2 \\ 3}[/mm] und
> von M (von AC) nach B= [mm]\vektor{1,5 \\ -4 \\ 3}.[/mm]
> Danach hab ich erst mal die Verktorenlängen ausgerechnet
> mit der Formel:
> [mm]|\vec{v}|[/mm] = [mm]\wurzel{v1² + v2² + v3²}[/mm]
>
> Da kam raus |M(AB)C| = 6,5
> |M(BC)A| = [mm]\wurzel{22}[/mm]
> |M(AC)B| = [mm]\wurzel{27,25}[/mm]
Das nützt dir wenig und macht zuviel Arbeit. Du kannst jetzt die Seitenhalbierenden wunderbar mit deinem jetzigen Stand in Parameterform aufschreiben. Z.B. ist
[mm]g (A nach M(BC)): \underbrace{\vektor{3\\0\\0}}_{\mbox{Punkt A}} + \underbrace{\lambda*\vektor{-3\\2\\3}}_{\mbox{Der Richtungsvektor von A nach M(BC)}}[/mm]
Stelle jetzt noch die Gleichung einer weiteren Seitenhalbierenden auf.
Berechne dann den Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden-Geraden. Das ist der Schwerpunkt
Stefan.
PS.: Bei dem Schnittpunkt komme ich dann auf genau auf (1 | 4/3 | 2). Das ist genau, wie ich oben schon gesagt hatte, das arithmetische Mittel der drei Ausgangspunkte A,B,C.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo vany,
> Das wird ein bisschen kompliziert hier mit der
> Computerschreibweise... aber ich versuch's mal.
>
> Zuerst hab ich die Mittelpunkte der Strecken ausgerechnet,
> mit der Formel [mm]\vec{m}=\bruch{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}).[/mm]
> Da kam raus bei m von AB: (1,5|2|0); bei m von BC (0|2|3)
> und bei m von AC (1,5|0|3).
> Dann hab ich die Vektoren bestimmt, die von einem
> Mittelpunkt einer Strecke zum Punkt in der Ecke gegenüber
> gehen.
> Das war dann von M (von AB) nach C= [mm]\vektor{1,5 \\ 2 \\ -6}[/mm]
>
> von M (von BC) nach A= [mm]\vektor{-3 \\ 2 \\ 3}[/mm] und
> von M (von AC) nach B= [mm]\vektor{1,5 \\ -4 \\ 3}.[/mm]
Achtung! Diese Vektoren zeigen immer vom Eckpunkt zum Mittelpunkt.
>
> Danach hab ich erst mal die Verktorenlängen ausgerechnet
> mit der Formel:
> [mm]|\vec{v}|[/mm] = [mm]\wurzel{v1² + v2² + v3²}[/mm]
>
> Da kam raus |M(AB)C| = 6,5
> |M(BC)A| = [mm]\wurzel{22}[/mm]
> |M(AC)B| = [mm]\wurzel{27,25}[/mm]
>
> Und gerade hab ich gemerkt, dass die Mitten von diesen
> Vektorlängen gar nicht zu den Koordinaten vom Schwerpunkt
> führen... aber ich hab keine Idee, wie ich dann zu denen
> komme!
Mit den Längen kannst Du wie Stefan schon sagte nichts anfangen. Du kannst aber statt der Schnittpunktsberechnung der Seitenhalbierenden auch nutzen, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden, d.h. für den Schwerpunkt S gilt z.B.:
$ [mm] \overrightarrow{x_S} [/mm] = [mm] \overrightarrow{x_C} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} \overrightarrow{CM_{AB}} [/mm] $
Hier musst Du aber sehr genau auf die Richtung der Vektoren achten
Gruß
Sigrid
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> Versteht mich noch jemand?! :D
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