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Forum "Geraden und Ebenen" - Vektoren im Raum
Vektoren im Raum < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Vektoren im Raum: Ebene und Gerade
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mi 19.02.2014
Autor: MathematikLosser

Aufgabe
Gegeben: A(6/-4/0)
B(6/6/0)
C (12/6/8)

1) Berechne [mm] \varepsilon [/mm] (Ebene) durch ABC
2) Gubt es ein D, so dass ABCD ein Quadrat ist? Wenn ja berechne D
3) Zeige, dass die Punkte St=(15+3t/-9+5t/-13+4t) auf einer Geraden g liegen, die parallel zu [mm] \varepsilon [/mm] liegt.



Mein Versuch: 1) [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{6 \\ 6 \\ 0}-\vektor{6 \\ -4 \\ 0}=\vektor{0 \\ 10 \\0} [/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8} [/mm] - [mm] \vektor{6 \\ -4 \\ß}=\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm]
[mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t*\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm]

2) [mm] \overrightarrow{BC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8}- \vektor{6 \\ 6 \\0}=\vektor{6 \\ 0 \\8} [/mm]

Die Länge von [mm] \overrightarrow [/mm] {BC} ist dessen Betrag:
[mm] \sqrt{6^2+8^2}=10 [/mm] E
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist ebenfalls 10 E
Nun könnte es jedoch noch eine Raute sein.
Nun also [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 8} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 10 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
=90°, also ist es ein Quadrat, da rechter Winkel.
[mm] A+\overrightarrow{BC}=D [/mm]
D= [mm] \vektor{6 \\ -4 \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 8} [/mm]
D=(12/-4/8)

Stimmen meine bisherigen Berechnungen?

Nun frage ich mich aber, wie ich mir 3) berechne. Ich habe echt keine  Ahnung. THX im Voraus!


        
Bezug
Vektoren im Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Mi 19.02.2014
Autor: fred97


> Gegeben: A(6/-4/0)
>  B(6/6/0)
>  C (12/6/8)
>  
> 1) Berechne [mm]\varepsilon[/mm] (Ebene) durch ABC
>  2) Gubt es ein D, so dass ABCD ein Quadrat ist? Wenn ja
> berechne D
>  3) Zeige, dass die Punkte St=(15+3t/-9+5t/-13+4t) auf
> einer Geraden g liegen, die parallel zu [mm]\varepsilon[/mm] liegt.
>  
>
> Mein Versuch: 1) [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{6 \\ 6 \\ 0}-\vektor{6 \\ -4 \\ 0}=\vektor{0 \\ 10 \\0}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8}[/mm] - [mm]\vektor{6 \\ -4 \\ß}=\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t*\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>  
> 2) [mm]\overrightarrow{BC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8}- \vektor{6 \\ 6 \\0}=\vektor{6 \\ 0 \\8}[/mm]
>  
> Die Länge von [mm]\overrightarrow[/mm] {BC} ist dessen Betrag:
>  [mm]\sqrt{6^2+8^2}=10[/mm] E
>  [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] ist ebenfalls 10 E
>  Nun könnte es jedoch noch eine Raute sein.
>  Nun also [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 8}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 10 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> =90°, also ist es ein Quadrat, da rechter Winkel.
>  [mm]A+\overrightarrow{BC}=D[/mm]
>  D= [mm]\vektor{6 \\ -4 \\ 0 }[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 8}[/mm]
>  
> D=(12/-4/8)
>  
> Stimmen meine bisherigen Berechnungen?

ja, alles bestens.


>  
> Nun frage ich mich aber, wie ich mir 3) berechne. Ich habe
> echt keine  Ahnung.

Schreib [mm] s_t [/mm] mal als Vektor: [mm] \vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4} [/mm] und blicke auf Deine Ebenengleichung. Siehst Du was ?




>  THX im Voraus!

Was bedeutet THX ?

FRED

>  


Bezug
                
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Vektoren im Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Mi 19.02.2014
Autor: MathematikLosser

Nein, tut mir leid, doch ich kann leider nichts erkennen. Was sollte ich im Vergleich mit der Ebenengleichung erkennen?
Ich frage mich überdies, wie du auf $ [mm] \vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4} [/mm] $ kommst.

Bezug
                        
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Vektoren im Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mi 19.02.2014
Autor: angela.h.b.


> Nein, tut mir leid, doch ich kann leider nichts erkennen.

Hallo,

hast Du Dir die Ebenengleichung und die Geradengleichung mal so hingeschrieben, daß Du beide gleichzeitig betrachten kannst?

Schau scharf auf die Richtungsvektoren von Ebene und Gerade.
Ist vielleicht der Richtungsvektor der Geraden eine Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene? Oder gar ein Vielfaches von einem der beiden?

> Was sollte ich im Vergleich mit der Ebenengleichung
> erkennen?
>  Ich frage mich überdies, wie du auf [mm]\vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4}[/mm]
> kommst.

Du hattest doch die Punkteschar
>>>  St=(15+3t/-9+5t/-13+4t)
gegeben.
Siehst Du wirklich nicht, wie man von dieser zur obigen Geradengleichung kommt?

LG Angela

LG


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Vektoren im Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Mi 19.02.2014
Autor: MathematikLosser

Achso, dumm von mir.
$ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $

$ [mm] \vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4} [/mm] $

[mm] \vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] ist ja das doppelte von [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 4} [/mm]

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Vektoren im Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Mi 19.02.2014
Autor: reverend

Hallo,

> Achso, dumm von mir.
>  [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm] ist ja das doppelte von [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 4}[/mm]

Ja, genau. Damit ist schonmal klar, dass die Gerade entweder in der Ebene liegt, oder parallel zu ihr.
Das entscheidet sich an ihrem Aufpunkt [mm] (15,-9,-13)^T. [/mm] Liegt der in der Ebene oder nicht?

Grüße
reverend


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Vektoren im Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 19.02.2014
Autor: MathematikLosser

$ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $

und t* $ [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 4} [/mm] $

I. 3=6+0s+6t => 6t=-3 => t=-0,5
II. 5=-4+10s+10t => 9=10s+10t
III. 4=0+0s+8t => 4=8t => t=0,5

Da kann etwas nicht stimmen. Wie kann ich das s wegbekommen? Habe ich die Formel um zu überprüfen, dass ein Punkt auf einer Ebene liegt falsch angewandt?


Bezug
                                                        
Bezug
Vektoren im Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mi 19.02.2014
Autor: fred97


> [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>  
> und t* [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 4}[/mm]
>  
> I. 3=6+0s+6t => 6t=-3 => t=-0,5
>  II. 5=-4+10s+10t => 9=10s+10t

>  III. 4=0+0s+8t => 4=8t => t=0,5

>  
> Da kann etwas nicht stimmen. Wie kann ich das s
> wegbekommen? Habe ich die Formel um zu überprüfen, dass
> ein Punkt auf einer Ebene liegt falsch angewandt?
>  

Was treibst Du da ? Die Frage ist doch ob $ [mm] (15,-9,-13)^T. [/mm] $ in der Ebene liegt.

FRED

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Bezug
Vektoren im Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Mi 19.02.2014
Autor: MathematikLosser

E: $ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $

P: [mm] \vektor{15 \\ -9 \\ -13}*t [/mm]

I. 15=6+0s+6t => t= 1,5
II. -9= -4 +10s+10t => -5= 10s+10t
III. -13=0+0s+8t => -13=8t => t=-1,625

Irgendetwas mache ich falsch.

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Bezug
Vektoren im Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Mi 19.02.2014
Autor: angela.h.b.


> E: [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>  

[mm] >\red{ P: \vektor{15 \\ -9 \\ -13}*t} [/mm]

Hallo,

was meinst Du damit?

Offenbar möchtest Du prüfen, ob der Punkt P mit dem Ortsvektor [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] in der Ebene E liegt:
  

> I. 15=6+0s+6t => t= 1,5
>  II. -9= -4 +10s+10t => -5= 10s+10t

>  III. -13=0+0s+8t => -13=8t => t=-1,625

>  
> Irgendetwas mache ich falsch.

Nö.
Ich find's etwas unsystematisch, aber Falsches kann ich bisher nicht entdecken.
Schade, daß Du etwas wortkarg bist und nicht aussprichst, was Dich denken läßt, daß Du etwas Verkehrtes tust.

Kannst Du eigentlich mal sagen, woran man merkt, ob ein Punkt in der Ebene liegt oder nicht?

LG Angela


Bezug
                                                                                
Bezug
Vektoren im Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Do 20.02.2014
Autor: MathematikLosser

Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn die Gleichungen "erfüllt" sind.
$ [mm] >\red{ P: \vektor{15 \\ -9 \\ -13}\cdot{}t} [/mm] $
$ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $

I. 15=6+0s+6t
II. -9= -4 +10s+10t
III. -13=0+0s+8t

I.+II.=
9=6t /*5
-5=10s+10t /*-3

45=30t
15=-30s-30t

60=-30s
s=-2

Nun einsetzen: 15=-30*(-2)-30t
15=60-30t/-60
t=1,5

in I. einsetzen: 15=6+0*-2+6*1,5
15=6+9
15=15

Somit würde jedoch der Punkt auf der Ebene liegen.


Bezug
                                                                                        
Bezug
Vektoren im Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Do 20.02.2014
Autor: fred97


> Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn die Gleichungen
> "erfüllt" sind.
>  [mm]>\red{ P: \vektor{15 \\ -9 \\ -13}\cdot{}t}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>  
> I. 15=6+0s+6t
> II. -9= -4 +10s+10t
> III. -13=0+0s+8t
>
> I.+II.=
>  9=6t /*5
>  -5=10s+10t /*-3
>  
> 45=30t
>  15=-30s-30t
>  
> 60=-30s
>  s=-2
>  
> Nun einsetzen: 15=-30*(-2)-30t
>  15=60-30t/-60
>  t=1,5
>  
> in I. einsetzen: 15=6+0*-2+6*1,5
>  15=6+9
>  15=15
>  
> Somit würde jedoch der Punkt auf der Ebene liegen.

nein. Tut er nicht ! Die von Dir gefundenen Werte t und s erfüllen nicht Gleichung III

FRED

>  


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