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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 27.11.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Es sei
v(x) = [mm] \begin{pmatrix} 2x_{1}e^{x_{3}} + 4x_{1}x_{2}^{3} \\ 6x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 3x_{3}^{2} \end{pmatrix} [/mm] , x = [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \in R^{3}
[/mm]
a) Ist v ein auf ganz [mm] R^{3} [/mm] konservatives Vektorfeld? Beweisen Sie ihre Antwort ohne Verwendung von (b).
b) Berechnen Sie alle Stammfunktionen von v.
c) Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{x}{v * dx} [/mm] = [mm] \integral_{x}{v * d \vec s}
[/mm]
für den durch die Spirale gegebenen Weg [mm] x:[0,4\pi] [/mm] -> [mm] R^{3}, [/mm] x(t) = (2cos t, 2sin t, [mm] t)^{T} [/mm] , t [mm] \in [0,4\pi]. [/mm] |
Hi zusammen,
zunächst habe ich eine allgemeine Frage.
Ist ein konservatives Vektorfeld = konservatives Kraftfeld ?
Ist ein Vektorfeld konservativ wenn es ein Potential hat?
Ich habe für a) 2 Varianten in Betracht gezogen:
1) Wegunabhängigkeit nachweisen
2) Rotation muss 0 sein, also es muss wirbelfrei sein
Ich habe die erste Variante genommen.
[mm] \bruch{d}{dx_{2}} (2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 4x_{1}x_{2}^{3}) [/mm] = 0 + [mm] 12x_{1}x_{2}^{2} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx_{11}} (6x_{1}^{2}x_{2}^{2}) [/mm] = [mm] 12x_{1}x_{2}
[/mm]
Ich wollte statt d das "partial d" schreiben, nur kam immer einer Fehlermeldung und ich konnte mir nicht erklären wieso.
[mm] \bruch{d}{dx_{3}} (6x_{1}^{2}x_{2}^{2}) [/mm] = 0 = [mm] \bruch{d}{dx_{2}} (x_{1}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 3x_{3}^{2}) [/mm] 0
[mm] \bruch{d}{dx_{3}} [/mm] ( [mm] 2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 4x_{1}x_{2}^{3}) [/mm] = [mm] 2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] + 0 = [mm] \bruch{d}{dx_{1}} (x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] = [mm] 2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] + 0
Ist das ausreichend um zu beweisen das es ein konservatives Vektorfeld ist?
zu b)
Die Stammfunktion eines Vektorfeldes ist das Potential eines Vektorfeldes, stimmt das?
Was ich bisher gemacht habe:
1) F = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{2} [/mm] + [mm] c(x_{2}, x_{3})
[/mm]
2) F = [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{2} [/mm] + [mm] c(x_{1}, x_{3})
[/mm]
3) F = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] x_{3}^{3} [/mm] + [mm] c(x_{1}, x_{2})
[/mm]
Sind das alle Stammfunktionen ?
Mich verwirrt die Frage nach allen Stammfunktionen, da ich dachte auch ein Vektorfeld hat auch nur eine Stammfunktion. Ich habe hierzu eine PDF der Uni Ulm gefunden. Den Link stelle ich jetzt hier nicht ein, da ich nicht sicher bin ob ich damit gegen die Regeln verstoße.
c) habe ich noch nicht bearbeitet.
Ich hoffe ich habe meine Frage in das richtige Unterforum eingestellt und danke im voraus für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei
> v(x) = [mm] \begin{pmatrix} 2x_{1}e^{x_{3}} + 4x_{1}x_{2}^{3} \\ 6x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 3x_{3}^{2} \end{pmatrix}[/mm]
> , x = [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \in R^{3}[/mm]
>
> a) Ist v ein auf ganz [mm]R^{3}[/mm] konservatives Vektorfeld?
> Beweisen Sie ihre Antwort ohne Verwendung von (b).
>
> b) Berechnen Sie alle Stammfunktionen von v.
>
> c) Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{x}{v * dx}[/mm] = [mm]\integral_{x}{v * d \vec s}[/mm]
> für
> den durch die Spirale gegebenen Weg [mm]x:[0,4\pi][/mm] -> [mm]R^{3},[/mm]
> x(t) = (2cos t, 2sin t, [mm]t)^{T}[/mm] , t [mm]\in [0,4\pi].[/mm]
> Hi
> zusammen,
> zunächst habe ich eine allgemeine Frage.
>
> Ist ein konservatives Vektorfeld = konservatives Kraftfeld
> ?
> Ist ein Vektorfeld konservativ wenn es ein Potential hat?
Ja
>
> Ich habe für a) 2 Varianten in Betracht gezogen:
> 1) Wegunabhängigkeit nachweisen
> 2) Rotation muss 0 sein, also es muss wirbelfrei sein
>
> Ich habe die erste Variante genommen.
> [mm]\bruch{d}{dx_{2}} (2x_{1}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]4x_{1}x_{2}^{3})[/mm] = 0
> + [mm]12x_{1}x_{2}^{2}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx_{11}} (6x_{1}^{2}x_{2}^{2})[/mm]
> = [mm]12x_{1}x_{2}[/mm]
>
> Ich wollte statt d das "partial d" schreiben, nur kam immer
> einer Fehlermeldung und ich konnte mir nicht erklären
> wieso.
>
> [mm]\bruch{d}{dx_{3}} (6x_{1}^{2}x_{2}^{2})[/mm] = 0 =
> [mm]\bruch{d}{dx_{2}} (x_{1}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]3x_{3}^{2})[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{d}{dx_{3}}[/mm] ( [mm]2x_{1}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]4x_{1}x_{2}^{3})[/mm] =
> [mm]2x_{1}e^{x_{3}}[/mm] + 0 = [mm]\bruch{d}{dx_{1}} (x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm]
> + [mm]3x_{3}^{2}[/mm] = [mm]2x_{1}e^{x_{3}}[/mm] + 0
>
> Ist das ausreichend um zu beweisen das es ein konservatives
> Vektorfeld ist?
Ja
>
> zu b)
> Die Stammfunktion eines Vektorfeldes ist das Potential
> eines Vektorfeldes, stimmt das?
Ja, aber es gibt nicht nur eine Stammfunktion.
>
> Was ich bisher gemacht habe:
> 1) F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{2}[/mm] + [mm]c(x_{2}, x_{3})[/mm]
>
> 2) F = [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{2}[/mm] + [mm]c(x_{1}, x_{3})[/mm]
> 3) F =
> [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]x_{3}^{3}[/mm] + [mm]c(x_{1}, x_{2})[/mm]
>
> Sind das alle Stammfunktionen ?
Na ja. Du hast noch nicht fertiggerechnet.
Richtig ist schon mal bis auf ein [mm] x_2^2 [/mm] das [mm] x_2^3 [/mm] lauten sollt:
F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]c(x_{2}, x_{3})[/mm]
Nun differenzieren wir nach [mm] x_2:
[/mm]
[mm] F_{x_2}=6x_1^2x_2^2+c_{x_2}(x_2,x_3)
[/mm]
Das soll mit der 2. Komponente von v übereinstimmen. Also folgt:
[mm] c_{x_2}(x_2,x_3)=0.
[/mm]
Damit hängt c nur von [mm] x_3 [/mm] ab. Wir haben also
F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]c(x_{3})[/mm]
Das differenzierst Du mal nach [mm] x_3 [/mm] und vergleichst das Resultat mit der 3. Komponente von v.
Dann solltest Du sehen:
F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] [mm] +x_3^3
[/mm]
Dieses F ist eine Stammfunktion von v.
> Mich verwirrt die Frage nach allen Stammfunktionen, da ich
> dachte auch ein Vektorfeld hat auch nur eine Stammfunktion.
Nein. Wie bei Funktionen von einer Variablen:
Zwei Stammfunktionen einer Funktion unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.
FRED
> Ich habe hierzu eine PDF der Uni Ulm gefunden. Den Link
> stelle ich jetzt hier nicht ein, da ich nicht sicher bin ob
> ich damit gegen die Regeln verstoße.
>
> c) habe ich noch nicht bearbeitet.
>
> Ich hoffe ich habe meine Frage in das richtige Unterforum
> eingestellt und danke im voraus für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Do 27.11.2014 | | Autor: | Bindl |
> Richtig ist schon mal bis auf ein [mm]x_2^2[/mm] das [mm]x_2^3[/mm] lauten
> sollt:
>
>
>
> F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]c(x_{2}, x_{3})[/mm]
>
>
> Nun differenzieren wir nach [mm]x_2:[/mm]
>
> [mm]F_{x_2}=6x_1^2x_2^2+c_{x_2}(x_2,x_3)[/mm]
>
> Das soll mit der 2. Komponente von v übereinstimmen. Also
> folgt:
>
> [mm]c_{x_2}(x_2,x_3)=0.[/mm]
Wieso muss dies mit der zweiten Komponente von v übereinstimmen ?
> Damit hängt c nur von [mm]x_3[/mm] ab. Wir haben also
>
> F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]c(x_{3})[/mm]
>
> Das differenzierst Du mal nach [mm]x_3[/mm] und vergleichst das
> Resultat mit der 3. Komponente von v.
Ich habe mal versucht das nach [mm] x_{3} [/mm] zu differenzieren.
F = [mm] x_{1}^{2} e^{x_{3}} [/mm] + 0 + [mm] c_{x_{3}}(x_{3})
[/mm]
Aus [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{2} [/mm] wird doch nach [mm] x_{3} [/mm] -> 0, oder nicht?
> Dann solltest Du sehen:
>
> F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] [mm]+x_3^3[/mm]
>
> Dieses F ist eine Stammfunktion von v.
Wenn ich die Schritte dann richtig verstanden habe muss ich [mm] c_{x_{3}}(x_{3})=0 [/mm] setzen und [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] addieren damit [mm] x_{1}^{2} e^{x_{3}} [/mm] + 0 + [mm] c_{x_{3}}(x_{3}) [/mm] gleich der dritten Komponente von v wird.
Also wäre meine erste Stammfunktion ja folgende:
F = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] 3x_{3}^{2}
[/mm]
Wo liegt mein Fehler, da unsere Lösungen sich beim letzten Teil unterscheiden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Richtig ist schon mal bis auf ein [mm]x_2^2[/mm] das [mm]x_2^3[/mm] lauten
> > sollt:
> >
> >
> >
> > F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]c(x_{2}, x_{3})[/mm]
>
> >
> >
> > Nun differenzieren wir nach [mm]x_2:[/mm]
> >
> > [mm]F_{x_2}=6x_1^2x_2^2+c_{x_2}(x_2,x_3)[/mm]
> >
> > Das soll mit der 2. Komponente von v übereinstimmen. Also
> > folgt:
> >
> > [mm]c_{x_2}(x_2,x_3)=0.[/mm]
>
> Wieso muss dies mit der zweiten Komponente von v
> übereinstimmen ?
Es war
$v(x) = [mm] \begin{pmatrix} 2x_{1}e^{x_{3}} + 4x_{1}x_{2}^{3} \\ 6x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 3x_{3}^{2} \end{pmatrix} [/mm] $
Die Komponenten von v sind also
[mm] v_1= 2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 4x_{1}x_{2}^{3}
[/mm]
[mm] v_2=6x_{1}^{2}x_{2}^{2}
[/mm]
und
[mm] v_3= x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 3x_{3}^{2}
[/mm]
Ist F eine Stammfunktion von v, so gilt
[mm] F_{x_1}=v_1, F_{x_2}=v_2 [/mm] und [mm] F_{x_3}=v_3.
[/mm]
>
> > Damit hängt c nur von [mm]x_3[/mm] ab. Wir haben also
> >
> > F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]c(x_{3})[/mm]
> >
> > Das differenzierst Du mal nach [mm]x_3[/mm] und vergleichst das
> > Resultat mit der 3. Komponente von v.
>
> Ich habe mal versucht das nach [mm]x_{3}[/mm] zu differenzieren.
>
> F = [mm]x_{1}^{2} e^{x_{3}}[/mm] + 0 + [mm]c_{x_{3}}(x_{3})[/mm]
> Aus [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{2}[/mm] wird doch nach [mm]x_{3}[/mm] -> 0, oder
> nicht?
>
Es ist [mm] F_{x_3} [/mm] = [mm]x_{1}^{2} e^{x_{3}}[/mm] + [mm]c_{x_{3}}(x_{3})[/mm]
Und das soll die 3. Komponente von v übereinsrtimme, also
[mm]x_{1}^{2} e^{x_{3}}[/mm] + [mm]c_{x_{3}}(x_{3})[/mm]=$ [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] $ + $ [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] $
Es folgt: [mm] c_{x_{3}}(x_{3})=3x_{3}^{2}
[/mm]
Damit kannst Du [mm] c(x_3)=x_3^3 [/mm] wählen.
FRED
> > Dann solltest Du sehen:
> >
> > F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] [mm]+x_3^3[/mm]
> >
> > Dieses F ist eine Stammfunktion von v.
>
> Wenn ich die Schritte dann richtig verstanden habe muss ich
> [mm]c_{x_{3}}(x_{3})=0[/mm] setzen und [mm]3x_{3}^{2}[/mm] addieren damit
> [mm]x_{1}^{2} e^{x_{3}}[/mm] + 0 + [mm]c_{x_{3}}(x_{3})[/mm] gleich der
> dritten Komponente von v wird.
>
> Also wäre meine erste Stammfunktion ja folgende:
>
> F = [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]3x_{3}^{2}[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler, da unsere Lösungen sich beim letzten
> Teil unterscheiden?
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:21 Do 27.11.2014 | | Autor: | Bindl |
> Es folgt: [mm]c_{x_{3}}(x_{3})=3x_{3}^{2}[/mm]
>
> Damit kannst Du [mm]c(x_3)=x_3^3[/mm] wählen.
Jetzt habe ich noch eine kurze Fragen:
Nach dem differenzieren von [mm] x_{2} [/mm] musste ich nur die Konstante null setzen und deshalb musste ich nichts der ersten Stammfunktion hinzufügen.
Nach dem differenzieren von [mm] x_{3} [/mm] musste ich die Konstante null setzen und [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] addieren und deswegen muss ich das auch der eigentlichen Stammfunktion hinzufügen.
Nun habe ich noch nicht ganz verstanden wieso du hier [mm] x_{3}^{3} [/mm] wählst, obwohl ich auch sehe das dies hier die Stammfunktion von [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] ist.
Kann ich auch [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] stehen lassen oder muss ich immer die Stammfunktion der Teile die hinzufügen muss bilden ?
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 29.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 10:57 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
nun habe ich mich an der zweiten und dritten Stammfunktion versucht.
Die zweite:
F = [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] c(x_{1}, [/mm] x{3})
jetzt differenziere ich nach [mm] x_{1}:
[/mm]
[mm] F_{x_{1}} [/mm] = [mm] 4x_{1}x_{2}^{2} [/mm] + [mm] c_{x_{1}} (x_{3})
[/mm]
jetzt sollte dies ja mit der ersten Komponente von v gleich sein.
Also muss ich c=0 setzen, [mm] "3x_{1}e^{x_{3}} [/mm] addieren. Jedoch ist in v [mm] "x_{2}^{3}" [/mm] und nicht [mm] "x_{2}^{2}".
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
Die dritte:
F = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] x_{3}^{3} [/mm] + [mm] c(x_{1}, x_{2})
[/mm]
jetzt nach [mm] x_{1} [/mm] differenzieren:
[mm] F_{x_{1}} [/mm] = [mm] 2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] + 0 + [mm] c_{x_{1}} (x_{3})
[/mm]
Also muss ich [mm] c_{x_{1}} (x_{3}=0 [/mm] setzen und [mm] 4x_{1}x_{2}^{3} [/mm] addieren.
[mm] 4x_{1}x_{2}^{3} [/mm] nach [mm] x_{1} [/mm] integrieren -> [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3}
[/mm]
-> F = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] x_{3}^{3} [/mm] + [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] c(x_{3}
[/mm]
nach [mm] x_{3} [/mm] differenzieren:
[mm] F_{x_{3}} [/mm] = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] + 0 + [mm] c_{x_{3}}
[/mm]
[mm] c_{x_{3}}=0 [/mm] setzen
-> F = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] x_{3}^{3} [/mm] + [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + c
Ist die dritte Stammfunktion korrekt?
Bitte auch sagt mir auch ob ich alles korrekt aufgeschrieben habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 30.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 16:27 So 30.11.2014 | | Autor: | Bindl |
Hallo zusammen,
ich hoffe mir kann jemand bei meiner zweiten offenen Frage, bzw. abgelaufenen Frage, helfen.
Die erste abgelaufene Frage habe ich bereits geklärt.
Danke für eure Hilfe im voraus
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 13:52 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi zusammen,
ich möchte diesen Thread nicht mit Fragen überheufen, aber ich habe die zweite Stammfunktion gelöst und hoffe jemand kann meine zweite (in dieser Frage) und meine dritte Stammfunktion (in vorheriger Frage) kontrollieren.
Hier was ich habe:
F = [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] c(x_{1}, x_{3})
[/mm]
nach [mm] x_{1} [/mm] differenzieren:
[mm] F_{x_{1}} [/mm] = [mm] 4x_{1}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] c_{x_{1}} (x_{3})
[/mm]
also muss ich [mm] c_{x_{1}} (x_{3})=0 [/mm] setzen und [mm] 2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] addieren um gleich mit der 1 Komponente von v zu sein.
[mm] 2x_{1}e^{x_{3}} [/mm] nach [mm] x_{1} [/mm] integrieren -> [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}}
[/mm]
-> F = [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] c(x_{3})
[/mm]
nach [mm] x_{3} [/mm] differenzieren
[mm] F_{x_{3}} [/mm] = 0 + [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] c_{x_{3}}
[/mm]
also muss ich [mm] c_{x_{3}}=0 [/mm] setzen und [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] addieren
[mm] 3x_{3}^{2} [/mm] nach [mm] x_{3} [/mm] integrieren -> [mm] 6x_{3}
[/mm]
-> F = [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] + c
Danke für die Hilfe im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 04.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 04.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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