Vektorfelder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 So 23.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
| Aufgabe | Seien [mm] f,g:\IR^{3} \to \IR [/mm] (skalare Felder) und [mm] F,G,H:\IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] (Vektorfelder), alle [mm] C^2-Funktionen. [/mm] Zeige:
[mm] \nabla(F*G)=(F*\nabla)*G+(G*\nabla)*F+F \times [/mm] rot G + G [mm] \times [/mm] rot F
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Hallo,
ich komme mit obiger Aufgabe gar nicht klar. Was ist der Nabla-Operator und dieses rotF,G etc. Wie wende ich das an um die Gleichung bzw. generell solche Vektoranalysis Aufgaben zu zeigen?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Die Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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Sicherlich hast du schon von Rotation, Divergenz oder Gradient gehört.
Der Gradient wird von einem skalaren Feld berechnet: $grad \ [mm] \phi=\vektor{\bruch{\partial\phi}{\partial x} \\ \bruch{\partial\phi}{\partial y} \\ \bruch{\partial\phi}{\partial z}}$ [/mm] Dies gibt dir an, in welche Richtung und wie stark sich ein Feld ändert.
Die Divergenz wird auf ein Vektorfeld angewendet und gibt dir an, ob es so etwas wie eine Quelle gibt. Stell dir ein Feld vor, daß eine Geschwindigkeit z.B. in der Badewanne angibt. Je weiter du dich dem Abfluß näherst, desto stärker wird die Strömung. (Gut, der Abfluß ist das Gegenteil der Quelle, aber das paßt) $div \ [mm] \vec f=\bruch{\partial f_x}{\partial x}+\bruch{\partial f_y}{\partial y}+\bruch{\partial f_z}{\partial z}$
[/mm]
Und die Rotation gibt dir an, ob es in einem vektorfeld sowas wie Wirbel gibt, sprich, ob das Quietscheentchen in der Wanne sich dreht oder nicht. $rot \ [mm] \vec f=\vektor{\bruch{\partial f_y}{\partial z}-\bruch{\partial f_z}{\partial y} \\ \bruch{\partial f_z}{\partial x}-\bruch{\partial f_x}{\partial z} \\ \bruch{\partial f_x}{\partial y}-\bruch{\partial f_y}{\partial x}}$
[/mm]
Das sind jetzt drei verschiedene Ableitungsarten, die man wunderbar mit dem Nabla-Operator zusammenfassen kann: [mm] $\vec \nabla=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}}$
[/mm]
Jetzt kannst du einfach schreiben:
$grad \ [mm] \phi=\vec\nabla *\phi$
[/mm]
$div \ [mm] \vec f=\vec\nabla*\vec [/mm] f$
$rot \ [mm] \vec f=\vec\nabla \times \vec [/mm] f$
Hübsch, nicht?
Die Ableitungen werden damit auch 'nur' zu einem Vektor.
Was du da zu beweisen hast, ist eine Vektoridentität, sowas ähnliches wie die Ableitungsregeln, nur etwas komplizierter.
Leider weiß ich nicht, was du schon so kannst, daher würde ich sagen, daß dir nicht viel anderes übrig bleibt, als das wirklich auszurechnen. Nimm dir einen Vektor [mm] $\vec [/mm] F [mm] =\vektor{F_x\\F_y\\F_z}$, [/mm] multipliziere ihn mit [mm] \vec{G}, [/mm] und bereche von diesem SKALARFELD(!!!) den Gradienten. Sprich, du darfst dann sehr oft die Produktregel aus der Schule anwenden. Forme so lange um, bis du immer nur einzelne Komponenten von F und G ableiten müßtest, und nicht mehr komplette Produkte. Falls dir die Übersicht zum Ordnen fehlt, kannst du die vier Summanden ebenfalls ausXen, und dann nimmst du am besten farbige Stifte und streichst in beiden Rechnungen gleiche Teile und hoffst, daß nichst übrig bleibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 24.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hallo Event_Horizon,
soviel zu den Definitionen. Ich denke mir sind diese nun klar. Wie löse ich nun obige Aufgabe anhand dieser Definitionen? Ich finde keinen Ansatz um auf die rechte Seite zu kommen.
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Dir bleibt nicht viel mehr, als das auszurechnen. Die linke seite ist:
[mm]\vec{\nabla}\cdot \left\{ \left(
\begin{array}{c}
F_{x} \\
F_{y} \\
F_{z}%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{c}
G_{x} \\
G_{y} \\
G_{z}%
\end{array}%
\right) \right\} =\vec{\nabla}\cdot \left(
F_{x}G_{x}+F_{y}G_{y}+F_{z}G_{z}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial x}\left( F_{x}G_{x}+F_{y}G_{y}+F_{z}G_{z}\right)
\\
\frac{\partial }{\partial y}\left( F_{x}G_{x}+F_{y}G_{y}+F_{z}G_{z}\right)
\\
\frac{\partial }{\partial z}\left( F_{x}G_{x}+F_{y}G_{y}+F_{z}G_{z}\right)
\end{array}
\right) [/mm]
Und die Komponenten mußt du jetzt schön nach der Produktregel (uv)'=uv'+u'v ausrechnen:
[mm]\frac{\partial }{\partial x}\left( F_{x}G_{x}+...\right) =\left(
F_{x}\left( \frac{\partial }{\partial x}G_{x}\right) +G_{x}\left( \frac{
\partial }{\partial x}F_{x}\right) +...\right) [/mm]
Zugegeben, das wird länglich, ist aber eher eine Fleißaufgabe.
Nun machst du genauso auch die rechte Seite, am besten einzeln:
[mm]\left( \vec{F}\vec{\nabla}\right) \vec{G}=\left( \left(
\begin{array}{c}
F_{x} \\
F_{y} \\
F_{z}%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial x} \\
\frac{\partial }{\partial y} \\
\frac{\partial }{\partial z}%
\end{array}%
\right) \right) \left(
\begin{array}{c}
G_{x} \\
G_{y} \\
G_{z}%
\end{array}%
\right) =\left( F_{x}\frac{\partial }{\partial x}+F_{y}\frac{\partial }{%
\partial y}+F_{z}\frac{\partial }{\partial z}\right) \left(
\begin{array}{c}
G_{x} \\
G_{y} \\
G_{z}%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{c}
F_{x}\frac{\partial }{\partial x}G_{x}+F_{y}\frac{\partial }{\partial y}%
G_{x}+F_{z}\frac{\partial }{\partial z}G_{x} \\
F_{x}\frac{\partial }{\partial x}G_{y}+F_{y}\frac{\partial }{\partial y}%
G_{y}+F_{z}\frac{\partial }{\partial z}G_{y} \\
F_{x}\frac{\partial }{\partial x}G_{z}+F_{y}\frac{\partial }{\partial y}%
G_{z}+F_{z}\frac{\partial }{\partial z}G_{z}%
\end{array}%
\right) [/mm]
Beachte, was [mm] \left( \vec{F}\vec{\nabla}\right) [/mm] bedeutet!
Bekommst die die Rotationsterme selber hin?
Und dann nimmst du dir einen Stift und kontrollierst, ob in den Ergebnissen der rechten Seite und der linken Seite das gleiche steht.
Vermutlich kann man das noch einfacher zeigen, aber da ich nicht weiß, welche anderen Vektoridentitäten du schon kennst und benutzen darfst, daher machen wir es ausführlich, nur unter Ausnutzug des Skalarproduktes, des Vektorproduktes und der Ableitungsregel für Produkte.
(Was bin ich froh, daß ich "TeXt"satz-Programme habe, die mir die Formeln da oben machen...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Mo 24.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hallo Event_Horizon,
also ich habe das jetzt mal so an einer einfacheren Aufgabe angewendet (rot [mm] \nabla [/mm] f = 0) und kam auf das richtige Ergebnis.
Ok, hat sich erledigt. :)
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