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Vektorfunktion mit Randbed.: Herleitung einer Formel
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:06 Mi 24.01.2018
Autor: Petite

Aufgabe
The first term [...] becomes
[mm]\left[\dots\right] = \sum_{i=1}^N \left(\log \pi_i \cdot p(O, q_0 = i \,|\, \lambda')\right) [/mm]
since by selecting all [mm]q\in Q [/mm], we are simply repeatedly selecting the values of [mm]q_0[/mm], so the right hand side is just the marginal expression for for time 
[mm] t=0 [/mm]. Adding the Lagrange multiplier [mm] \gamma [/mm], using the constraint that [mm]\sum_{i}\pi_i = 1[/mm], and setting the derivative equal to zero, we get:
[mm]\frac{\partial}{\partial \pi_i}\left \sum_{i=1}^N \log \pi_i p(O, q_0=i \,|\, \lambda') + \gamma \left(\sum_{i=1}^N \pi_i - 1 \right) \right =0[/mm]
Taking the derivative, summing over [mm]i[/mm]to get [mm]\gamma[/mm], and solving for [mm]\pi_i[/mm] we get:
[mm]\pi_i = \frac{P(O, q_0=i \,|\, \lambda^'}{P(O \,|\, \lambda')}[/mm]
 



Hallo.
Ich beschäftige mich derzeit mit dem Paper [1] und komme bei obigen Stelle nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich von der Ableitung zu [mm]\pi_i[/mm] komme.
Wie löse ich die Ableitung erstmal überhaupt auf? Ist die folgende Gleichung korrekt?
[mm]\frac{\partial}{\partial \pi_i}\left \sum_{i=1}^N \log \pi_i p(O, q_0=i \,|\, \lambda') + \gamma \left(\sum_{i=1}^N \pi_i - 1 \right) \right \\ = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial \log \pi_i}{\partial \pi_i}p(O, q_ 0=i \,|\, \lambda') \right) + \gamma\sum_{i=1}^n 1[/mm]

Vielen Dank schonmal im Voraus.

[1] A. Bilmes, J.:
A Gentle Tutorial of the EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation for Gaussian Mixture and Hidden Markov Models;
Technical Report ICSI-TR-97-021, University of Berkeley, 1998, 4

        
Bezug
Vektorfunktion mit Randbed.: Fehlinterpretation der Formel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Mi 24.01.2018
Autor: Petite

Ich habe inzwischen selber meinen Fehler gefunden. Lag in der Fehlinterpretation der partiellen Ableitung:
[mm]&​\frac{\partial}{\partial \pi_i}\left \sum_{i=1}^N \log \pi_i p(O, q_0=i \,|\, \lambda') + \gamma \left(\sum_{i=1}^N \pi_i - 1 \right) \right \\ = &\frac{\partial \log \pi_i}{\partial \pi_i} \cdot p(O, q_ 0=i \,|\, \lambda') + \gamma\sum_{i=1}^n 1 \\ = &\frac{p(O, q_ 0=i \,|\, \lambda')}{\pi_i \cdot \ln} + \gamma[/mm]
Der Rest ist dann wirklich Anleitung aus dem Paper...

Wenn ich für den log den log-naturalis wähle komme ich auf:

Durch umstellen komme ich auf [mm]\gamma \cdot \pi_i = - p(O, q_ 0=i \,|\, \lambda')[/mm]
Das ganze aufsummiert über i ergibt:
 [mm]\gamma = \sum_{i=1}^n(\gamma \cdot \pi_i) = - \sum_{i=1}^n p(O, q_ 0=i \,|\, \lambda')[/mm]

Setze ich dies jetzt wieder in die Ableitung ein komme ich auf: 
[mm]0 = &\frac{p(O, q_ 0=i \,|\, \lambda')}{\pi_i} - \sum_{i=1}^n p(O, q_ 0=i \,|\, \lambda')[/mm]

Stelle ich nach [mm]\pi_i[/mm] um komme ich auf das gewünschte Ergebnis:
[mm]\pi_i = \frac{P(O, q_0=i \,|\, \lambda^')}{\sum_{i=1}^n P(O, q_0=i \,|\, \lambda^')} [/mm]
[mm]\Rightarrow \pi_i = \frac{P(O, q_0=i \,|\, \lambda^')}{P(O \,|\, \lambda^')} [/mm]​
 

Bezug
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