Vektorräume < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] C^{1}(\IR), [/mm] also die Menge der einmal stetig differenzierbaren Funktionen auf [mm] \IR, [/mm] einen Vektorraum bildet. |
Meine Frage ist eigentlich wie ich hier anzusetzen habe.
Muss ich Addition und Multiplikation nachrechnen? und wie macht man dass allgemein dass man zeigen kann dass es für ganz [mm] C^{1} [/mm] gilt?
Weiß hier leider nicht so recht wie ich ansetzen muss
|
|
| |
|
Du weißt sicherlich, dass alle Funktionen [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] einen Vektorraum bilden. Allgemeiner weißt du vermutlich aus der linearen Algebra, dass die Menge der Funktionen [mm] $X\to [/mm] K$ einen $K$-Vektorraum bilden.
Zeige, dass die stetig differenzierbaren Funktionen einen Unterraum bilden. Vermutlich habt ihr die dafür nötigen Rechnungen sogar schon in der Vorlesung gehabt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Könnte man dann folgendermaßen ansetzen:
Sei A die Menge aller Abbildungen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] und somit ein Verträum
Sei [mm] C^{1}(\IR) \subset [/mm] A
(I) a,b [mm] \in C^{1}(\IR) \Rightarrow \alpha*a+\beta*b \in C^{1}(\IR)
[/mm]
- Sei a,b [mm] \in C^{1} \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in C^{1} [/mm] (gilt für [mm] \alpha=\beta=1 [/mm] in (I))
- a+b=b+a gilt, da a,b [mm] \in [/mm] A
bevor ich die weiteren Schritte prüfe eine Frage:
Ist dies die richtige Vorgehensweise?
|
|
|
| |
|
Zu prüfen sind die Unterraum-Kriterien, das heißt [mm] $0\in C^1(\IR)$, $f,g\in C^1(\IR)\implies f+g\in C^1(\IR)$ [/mm] und [mm] $a\in\IR,f\in C^1(\IR)\implies af\in C^1(\IR)$.
[/mm]
Die Vektorraumaxiome für [mm] $C^1(\IR)$ [/mm] ergeben sich dann aus denen für [mm] $\operatorname{Abb}(\IR,\IR)$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Das meinte ich eig mit meiner vorgeschlagenen Lösung, hatte nur nicht alles niedergeschrieben
Folgendes wäre meine Lösung:
Sei A Menge aller Abbildungen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] und somit ein Vektorraum
Sei [mm] C^{1}(\IR) \subset [/mm] A
(I) a,b [mm] \in C^{1}(\IR) \Rightarrow \alpha*a+\beta*b \in C^{1}(\IR)
[/mm]
- Sei a,b [mm] \in C^{1} \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in C^{1} [/mm] (gilt für [mm] \alpha=\beta=1)
[/mm]
- a+b=b+a gilt, da a,b [mm] \in [/mm] A und A ist Vektorraum
- (a+b)+c=a+(b+c) gilt, da [mm] a,b,c\in [/mm] A und A ist Vektorraum
- Sei -a das neg Element von a in A. -a ist auch in [mm] C^{1}(\IR), [/mm] weil: [mm] a-2a=-a\in C^{1}(\IR)
[/mm]
- Sei 0 das Nullelement von A. 0=a-a, also [mm] 0\in C^{1}(\IR)
[/mm]
- Sei [mm] a\in C^{1}(\IR), \alpha\in\IR\Rightarrow\alpha a\in C^{1}(\IR) [/mm] ( (I) mit [mm] \alpha=\alpha [/mm] und [mm] \beta=0)
[/mm]
[mm] -\forall\alpha,\beta\in\IR, a,b\in [/mm] A gilt:
[mm] \alpha*(a+b)=\alpha*a+\alpha*b
[/mm]
[mm] (\alpha+\beta)*a=\alpha*a+\beta*a
[/mm]
[mm] (\alpha\beta)a=\alpha(\beta*a)
[/mm]
1*a=a
Da [mm] C^{1}(\IR)\subset [/mm] A, gelten diese Eigenschaften auf für alle Elemente in
[mm] C^{1}(\IR)
[/mm]
[mm] C^{1}(\IR) [/mm] ist Untervektorraum von A und somit wieder ein Vektorraum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Do 15.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Mit Verlaub: gezeigt hast Du nichts !
Seien $f,g [mm] \in C^{1}(\IR) [/mm] $ und $ [mm] \alpha \in \IR$.
[/mm]
Zeigen sollst Du: $f+g [mm] \in C^{1}(\IR) [/mm] $ und $ [mm] \alpha [/mm] f [mm] \in C^{1}(\IR) [/mm] $.
Dazu solltest Du folgendes begründen:
1. die Funktionen $f+g$ und $ [mm] \alpha [/mm] f $ sind auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar
und
2. die Funktionen $f'+g'$ und $ [mm] \alpha [/mm] f' $ sind auf [mm] \IR [/mm] stetig.
FRED
|
|
|
| |
|
Also wie komm ich da nicht voran
Heißt das ich muss Summenregel und Faktorregel nachrechnen?
Das hab ich an sich schon geschafft
Allerdings meinte gestern in der Mathesprechstunde an der Uni der dortige anwesende Herr, dass ich seineserachtens einfach die Definitionen eines Vektorraumes "abschreiben solle". Allerdings mit dem Vermerk dass er nicht wisse was der Professor genau will da er keine Unterlagen bisher erhalten hat.
Muss ich nun wirklich nur diese 10 Eigenschaften abschreiben?
Also dass [mm] C^{1}(\IR) [/mm] abgeschlossen zwecks Addition und Multiplikation ist?
Oder ist das bei dem was fred gesagt hat dann alles mit abgedeckt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
eigentlich wurde schon alles gesagt - aber manchmal hilft es ja, wenn's nochmal gesagt wird, oder ein ganz klein wenig anders.
Zeigen sollst Du, daß $ [mm] C^{1}(\IR), [/mm] $ zusammen mit der Addition von Funktionen und der Multiplikation von Funktionen mit reellen Zahlen einen Vektorraum bildet.
Ich gehe davon aus, daß bereits gezeigt wurde, daß die Menge [mm] Abb(\IR,\IR), [/mm] womit ich die Menge der Funktionen, die aus [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] abbilden, bezeichne, einen Vektorraum bilden.
(Habt Ihr das gezeigt?)
In diesem Fall mußt Du nur zeigen, daß $ [mm] C^{1}(\IR), [/mm] $ ein Untervektorraum davon ist, denn es ist ja $ [mm] C^{1}(\IR) $\subseteq Abb(\IR,\IR).
[/mm]
Schau Dir die Unterraumkriterien an dafür, daß [mm] U\subseteq [/mm] V ein UVR von V ist.
(Wurde der Begriff "Untervektorraum" eingeführt, sind die Unterraumkriterien bekannt?)
1. Der Nullvektor ist in V enthalten
2. [mm] u,v\in [/mm] U ==> [mm] u+v\in [/mm] U
3. [mm] r\in \IR, u\in [/mm] U ==> [mm] ru\in [/mm] U.
Du willst nun zeigen, daß $ [mm] C^{1}(\IR) $\subseteq Abb(\IR,\IR) [/mm] ein UVR von [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] ist.
Dafür ist zu zeigen:
1.
Der Nullvektor, das neutrale Element bzgl. der Addition, von [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] ist in [mm] C^{1}(\IR) [/mm] enthalten.
Was ist der Nullvektor? Die Funktion, die auf die 0 abbildet, also
[mm] n:\IR\to \IR [/mm] mit n(x)=0 f.a. [mm] x\in \IR.
[/mm]
Wie kannst Du entscheiden, ob die Funktion in [mm] C_1(\IR) [/mm] ist? Indem Du prüfst, ob sie diffbar ist, und ob ihre Ableitung stetig ist.
Hier kannst Du Dich auf Erkenntnisse der Analysis-Vorlesung berufen.
2.
Seien f,g in [mm] C_1(\IR).
[/mm]
Du mußt nun Argumente dafür finden, daß f+g diffbar ist, und daß (f+g)' stetig ist.
Hier kannst Du Dich auf Erkenntnisse der Analysis-Vorlesung berufen.
3.
sei [mm] r\in\IR, [/mm] sei [mm] f\in C_1(\IR).
[/mm]
Du mußt nun Argumente dafür finden, daß rf diffbar ist, und daß (rf)' stetig ist.
Hier kannst Du Dich auf Erkenntnisse der Analysis-Vorlesung berufen.
Mehr mußt Du nicht tun. Insbesondere mußt Du nicht 10 Axiome vorrechnen, denn alles andere, was noch zu zeigen wäre, "vererbt" sich automatisch von [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] auf [mm] C_1(\IR).
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Fr 16.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
nur eine winzige Ergänzung zu dieser meiner Meinung nach sehr guten Antwort:
In der Vorlesung wurde vermutlich gezeigt, dass Untervektorräume [mm] $U\subseteq [/mm] V$ stets selbst wieder Vektorräume bilden (wenn man die Vektoren aus U genauso addiert und mit Skalaren multipliziert, wie man es in V tun würde).
Alle Antworten hier schlagen sinnvollerweise vor, diesen hoffentlich bekannten Zusammenhang anzuwenden auf [mm] $V:=Abb(\IR,\IR)$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] und [mm] $U:=C^1(\IR)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Ok also dann nochmal ein Versuch:
Sei [mm] U:=Abb(\IR,\IR), [/mm] also die Menge aller Abbildungen und somit Verträum
[mm] C^{1}(\IR)\subseteq [/mm] U
Zu zeigen: [mm] C^{1}(\IR) [/mm] ist Untervektorraum von U
1. 0 Vektor in [mm] C^{1}(\IR)
[/mm]
2. [mm] f,g\in C^{1}(\IR)\Rightarrow f+g\in C^{1}(\IR)
[/mm]
3. [mm] \alpha\in\IR, f\in C^{1}(\IR)\Rightarrow \alpha*f \in C^{1}(\IR) [/mm]
zu 2.: Sind f und g in [mm] x_{0} [/mm] diff'bar, so ist auch f+g in [mm] x_{0} [/mm] diff'bar und es [mm] gilt:(f+g)'(x_{0})=f'(x_{0})+g'(x_{0})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_{0})}\bruch{(f+g)(x)-(f+g)(x_{0})}{x-x_{0}}=...=\limes_{x\rightarrow\(x_{0})}\bruch{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{0}}+\limes_{x\rightarrow\(x_{0})}\bruch{g(x)-g(x_{0}}{x-x_{0}}=f'(x_{0})+g'(x_{0}) \Box
[/mm]
Wäre damit die Differenzierbarkeit gezeigt? Bei der Stetigkeit muss ich mich nochmal dransetzen und überlegen
Kann mich leider nicht auf eine Analysisvorlesung berufen, da wir nur Ingenieurmathematik haben und somit keine Analysis- und LA- Vorlesung
Haben bisher eig auch noch nicht wirklich Beweisaufgaben gemacht
zu 3.: Hier hätte ich es wie bei 2. gemacht nur anstatt f+g
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_{0})}\bruch{\alpha*f(x)-\alpha*f(x_{0})}{x-x_{0}}=...=\alpha*f'(x_{0})
[/mm]
Oder muss ich überhaupt nicht so viel "rumrechnen" und kann einfach behaupten dass nach Summenregel die Summe zweier diff'barer Funktionen wieder diff'bar sind und nach Faktorenregel [mm] \alpha*f [/mm] wieder diff'bar ist wenn f diff'bar?
Und kann man dies auch für die Stetigkeit übernehmen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
so wie Du es gemacht hast, kannst Du es machen.
Du fragst, ob Du Dich stattdessen auch einfach darauf berufen kannst, daß die Summe differenzierbarer Funktionen differenzierbar ist, und die Summe stetiger Funktionen stetig.
So hätte ich mir das eigentlich gedacht.
Hmm, ich würd' sagen:
wenn Euer großes Thema im Moment der Vektorraumbegriff ist, würde ich mich einfach auf die von irgendwoher vorhandenen Kenntnisse berufen.
Ist Euer großes Thema im Moment die Diffbarkeit, würde ich es mit dem limes-Gedöns machen.
Was genau Du tun sollst, weiß nur der Chef...
LG Angela
|
|
|
| |
|
Also hab es jetzt mal mit dem limes gelassen und dazu ergänzt, dass wie aus Semester 2 bekannt, die Summe stetiger Funktionen wieder stetig ist und ebenso die Multiplikation einer stetigen Funktion multipliziert mit einem Faktor wieder stetig ist.
Nun zur Nullfunktion:
Bekannt ist mir, dass diese beliebig oft stetig diff'bar ist. Ist Sie somit auch [mm] \in C^{1}(\IR)? C^{1}(\IR) [/mm] ist ja eig die Menge der EINMAL stetig diff'baren Funktionen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> siehe vorherige
> Also hab es jetzt mal mit dem limes gelassen und dazu
> ergänzt, dass wie aus Semester 2 bekannt, die Summe
> stetiger Funktionen wieder stetig ist und ebenso die
> Multiplikation einer stetigen Funktion multipliziert mit
> einem Faktor wieder stetig ist.
Das ist wohl auch im Sinne der Aufgabe ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun zur Nullfunktion:
> Bekannt ist mir, dass diese beliebig oft stetig diff'bar
> ist. Ist Sie somit auch [mm]\in C^{1}(\IR)? C^{1}(\IR)[/mm] ist ja
> eig die Menge der EINMAL stetig diff'baren Funktionen.
Jo, ist sie. Sie ist insbesondere in [mm] $C^1(\IR)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ok, reicht es dann genau dies zu schreiben?
Also: Da Nullfunktion beliebig oft stetig diff'bar ist diese [mm] \in C^{1}(\IR)
[/mm]
Somit ist [mm] C^{1}(\IR) [/mm] Untervektorraum und deshalb wieder ein Vektorraum
Und noch eine andere Frage, da ich nicht genau weiß ob wir das mittels Untervektorraum machen dürfen
Wenn ich zu Beginn genau so zeigen würde dass Summenregel und Faktorenregel gilt, dann müssten doch daraus eig die 10 Axiome für einen Vektorraum gelten, oder müsste ich dann noch mehr zeigen?
|
|
|
| |
|
> siehe vorherige
> Ok, reicht es dann genau dies zu schreiben?
>
> Also: Da Nullfunktion beliebig oft stetig diff'bar ist
> diese [mm]\in C^{1}(\IR)[/mm]
>
> Somit ist [mm]C^{1}(\IR)[/mm] Untervektorraum und deshalb wieder ein
> Vektorraum
Hallo,
ja.
>
> Und noch eine andere Frage, da ich nicht genau weiß ob wir
> das mittels Untervektorraum machen dürfen
>
> Wenn ich zu Beginn genau so zeigen würde dass
[mm] C_1(\IR) [/mm] nichtleer ist, also z.B. die Nullfunktion drin ist
und
> Summenregel
> und Faktorenregel gilt, dann müssten doch daraus eig die
> 10 Axiome für einen Vektorraum gelten, oder müsste ich
> dann noch mehr zeigen?
Dann kannst Du sagen, daß sich alles weitere ergibt, weil [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] bekanntermaßen ein VR ist.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Sa 17.10.2015 | | Autor: | Martin_Ph |
Danke an alle für die hilfreichen Tipps :)
|
|
|
|
