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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Pauline |
| Aufgabe | Eine arithmetische Folge ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich [mm] \IN [/mm] ; und einer Zuordnungsvorschrift der Form: n [mm] \to [/mm] a + (n - 1) * d ; n [mm] \in \IN [/mm] : a,d [mm] \in \IR [/mm] .
Zeigen Sie, dass die Menge aller möglichen arithmetischen Folgen einen Vektorraum bildet. |
Hallo und guten Abend !
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe sagen könntet, ob ich auf dem richtigen Dampfer bin. Ich habe sie auf die ersten drei Axiome überprüft und hoffe, dass ich das richtig gemacht habe, denn ich bin mir da überhaupt nicht sicher ....
Wenn die Menge aller möglichen arithmetischen Folgen einen Vektorraum V bildet, erfüllt sie die Axiome der Addition und Skalarmultiplikation.
Für die Addition heißt das neutrale Element e = 0 .
Die Folge Null mit e(n) = 0 für alle n Є N mit a = 0 und d = 0 hat diese Eigenschaft. Es gilt dann für alle Folgen:
e(n) + f(n) = 0 + f(n) = f(n)
= f(n) + 0 = f(n) + e(n) .
Das zweite Axiom der Addition fordert ein inverses Element.
f(n) + g(n) = [a1 + (n-1) * d] + [-a1 (n-1) * d]
= (a1 + nd d) +(-a1 nd + d)
= a1 - a1 + nd - nd - d + d = 0 = e(n).
Das inverse Element zu f(n) ist der Term g(n).
Das dritte Axiom fordert bezüglich der Addition die Erfüllung des Assoziativgesetzes.
(f + g)(n) = [(a1 + (n-1)*d) + (b1+ (n-1)* d)]
(g + h)(n) = [(b1 +( n-1)*d) + (c1 + (n-1)* d)]
(f + g)(n) + h(n) = [(a1 +
) + (b1 +
)] + (c1 + ...)
= (a1 + ...)+(b1 +
)+(c1 + ...)
= (a1 +
) + [(b1 +
) + (c1 +
)]
= f (n) + (g + h )(n) .
Das Kommutativgesetz und die Axiome der Skalarmultiplikation prüfe ich morgen. Vielen Dank schon im Voraus für eure Mühe!
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 18.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Pauline,
das sieht ja schon recht gut aus. Allerdings solltest Du Dir als allererstes überlegen (und auch hinschreiben), wie die Addition (und später auch die Skalarmultiplikation) eigentlich aussehen, also wie sie definiert sind und ob die Definition wieder zu einem Element des Raumes führt aus dem die beiden Summanden stammen (nennt man "Wohldefiniertheit")
Für die Addition: sei [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + (n-1) * d und
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + (n-1) * d'.
Dann ist [mm] a_{n} \oplus b_{n} [/mm] := [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] b_{1}) [/mm] + (n-1) *(d + d')
Dabei ist das vordere [mm] \oplus [/mm] - Zeichen das des Vektorraumes, die weiteren sind normale Additionen im [mm] \IR [/mm] und das was rechts vom := steht, hat wieder die Form einer arithmetischen Folge mit dem Startwert [mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] und der Differenz d + d' der Folgenglieder der durch die Addition entstandenen neuen Folge.
Für die Sklarmultiplikation mal selber machen.
Die Prüfung des zweiten Axioms an einer Stelle noch etwas präzisieren.
Ach ja, Assoziativgesetz nachrechnen ist immer langweilig 
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo Uli,
vielen Dank für deine Antwort!
Um die Präzisierung des zweiten Axioms kümmere ich später noch mal. Ich bin schon heilfroh, dass das so gut ausgegangen ist (uff)
.
Nun zu deiner Antwort: Für die Addition sei
.
Das Zeichen für den Vektorraum haben wir noch nicht benutzt, deshalb muss ich auf eine andere Formulierung ausweichen. Vielleicht so?:
Dann gehört [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] = [mm] c_{n} [/mm] wieder zur gleichen Menge V:
[mm] c_{n}=(a_{1}+b_{1})+(n-1)*(d+d').
[/mm]
Und nun zur Definition der Skalarmultiplikation:
Es sei [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + (n-1) * d mit einer reellen Zahl r multipliziert.
Dann gehört das entstehende Element [mm] b_{n} [/mm] wieder zur gleichen
Menge V: [mm] b_{n} [/mm] = [mm] ra_{1} [/mm] + (n-1) * rd ."
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 19.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Pauline,
Skalarprodukt ist o.k. so. Das Zeichen [mm] \oplus [/mm] für die Addition im Vektorraum habe ich nur zur Verdeutlichung benutzt. Deine Darstellung ist natürlich ebenfalls in Ordnung.
Weiterhin viel Spaß!
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo Uli,
vielen Dank für deine Antwort. Da das jetzt geklärt ist, möchte ich gerne an dieser Stelle weiter machen mit A4: Kommutativgesetz.
Für alle a, b [mm] \in [/mm] V gilt: a + b = b + a
Eine arithmetische Funktion sei f(n) = [mm] a_{1} [/mm] + (n-1) * d
und eine andere sei g(n)= [mm] b_{1} [/mm] + (n-1) * d' .
Dann gilt bezüglich der Kommutativität:
(f + g)(n) = [mm] [a_{1} [/mm] + (n-1) *d] + [ [mm] b_{1} [/mm] + (n-1) * d']
= [mm] [b_{1} [/mm] + (n-1) * d'] + [mm] [a_{1} [/mm] + (n-1) *d]
= (g + f) (n) .
Axiome der Skalarmultiplikation.
Für alle a, b [mm] \in [/mm] V und r,s [mm] \in\IR [/mm] gilt:
M1: Distributivgesetz.
r * (a + b) = r * a + r * b .
(f + g)(n) = [mm] [a_{1} [/mm] + (n-1) *d] + [ [mm] b_{1} [/mm] + (n-1) * d']
r * (f + g)(n) = r [mm] *[a_{1} [/mm] + (n-1) *d] + r*[ [mm] b_{1} [/mm] + (n-1) * d']
= [mm] [ra_{1} [/mm] + (n-1) * rd] + [mm] [rb_{1} [/mm] + (n-1) * rd'] .
M2: (r + s) * a = r * a + s * a .
f(n) = [mm] a_{1} [/mm] + (n-1) * d
(r + s) * f(n) = r * [mm] [a_{1} [/mm] + (n-1) * d] + s * [mm] [a_{1} [/mm] + (n-1) * d]
= [mm] [ra_{1} [/mm] + (n-1) * rd] + [mm] [sa_{1} [/mm] + (n-1) * sd].
M3: r * (s * a) = (r * s) * a.
f(n) = [mm] a_{1}+ [/mm] (n-1) * d
r * (s * f(n) ) = r * [ s * [mm] (a_{1}+ [/mm] (n-1) * d) ] = r * [ [mm] sa_{1} [/mm] + (n-1) * sd]
= [mm] rsa_{1} [/mm] + (n-1) * rsd .
M4: 1 * a = a
f(n) = [mm] a_{1} [/mm] + (n-1) * d
1 * f(n) = 1 * [mm] (a_{1} [/mm] + (n-1) * d) = [mm] (a_{1} [/mm] + (n-1) * d) = f(n).
So, das war's jetzt. Ich weiß, es ist eine Zumutung, dass alles durchzuarbeiten. Aber ich würde mich sehr freuen...Vielen Dank und
viele Grüße aus dem [mm] \IR^n
[/mm]
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Sa 19.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Pauline,
alles im grünen Bereich.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 20.07.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo Uli,
hier hab ich mal versucht, das zweite Axiom zu präzisieren. Wenn es das ist, was du meinst.....
Das zweite Axiom der Addition fordert ein inverses Element.
f(n) + g(n) = [a1 + (n-1) * d] + [-a1 (n-1) * d']
= (a1 + nd d) + (-a1 nd' + d')
= a1 - a1 + nd - nd' - d + d' = 0 = e(n).
Das inverse Element zu f(n) ist der Term g(n) mit d' ist invers zu d .
Viele Grüße
Pauline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 So 20.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Pauline,
beim Nachweis des 2. Axioms kam es mir nur darauf an, das Aussehen der inversen Elemente deutlich zu definieren. Beim neutralen Element hast Du ja auch sehr richtig geschrieben, dass das neutrale Element durch a=0 und d=0 gebildet wird.
Beim inversen Element sagt man genauso:
Zu [mm] a_{1} [/mm] + (n-1) * d ist das inverse Element [mm] -a_{1} [/mm] +(n-1) *(-d) und dann rechnet man los.
Das hatte ich gemeint.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 So 20.07.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo Uli,
vielen Dank für deine Antwort.
ach ja, das sind die Feinheiten in der Mathematik, auf die es manchmal ankommt und für die man erstmal ein Gespür bekommen muss. Aber ich glaube, dazu braucht man vieeel Übung, stimmts?
Auf jeden Fall möchte ich mich sehr für deine Unterstützung bedanken, herzlichen Dank!!!
Viele Grüße
Pauline
und - schön, dass es euch gibt!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Sa 19.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Wenn dus etwas abstrakter magst kannst du auch zeigen dass die Addition und Skalarmultiplikation wohldefiniert sind, und dass deine Menge isomorph zum Vektorraum [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, also insbesondere selbst ein VR. Betrachte dazu die Abbildung [mm] $\Phi:(\IN\ni n\mapsto a+(n-1)\cdot d\in\IR)\mapsto (a,d)\in\IR^2$ [/mm] bzw. [mm] $\Phi^{-1}:\IR^2\ni (x,y)\mapsto (\IN\ni n\mapsto x+(n-1)\cdot y\in\IR)$
[/mm]
Ist diese Abbildung überhaupt wohldefiniert? Du musst dann zeigen, dass diese Abbildungen mit deiner neuen Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, d.h. [mm] $\Phi(\lambda f\oplus\mu g)=\lambda\Phi(f)+\mu\Phi(g)$ [/mm] (selbiges für [mm] $\Phi^{-1}$...), [/mm] und dass die Abbildung bijektiv ist. Jedenfalls würde daraus dann folgen, dass [mm] $\Phi$ [/mm] tatsächlich ein Isomorphismus ist und alle Axiome des VR [mm] $\IR^2$ [/mm] übertragen sich automatisch auf deine Menge der arithmetischen Progressionen, z.B. Assoziativität:
[mm][f\oplus g]\oplus h&=[\Phi^{-1}(\Phi(f))\oplus\Phi^{-1}(\Phi(g))]\oplus\Phi^{-1}(\Phi(h))
\stackrel{(1)}{=}\Phi^{-1}([\Phi(f)+\Phi(g)]+\Phi(h))
\stackrel{(2)}{=}\Phi^{-1}(\Phi(f)+[\Phi(g)+\Phi(h)])
\stackrel{(1)}{=}f\oplus\Phi^{-1}(\Phi(g)+\Phi(h))
\stackrel{(1)}{=}f\oplus[g\oplus h][/mm]
Bei den Gleichheiten mit $(1)$ benutzt du (i.A. mehrfach) die oben gennante Veträglichkeit von [mm] $\Phi$ [/mm] und [mm] $\Phi^{-1}$ [/mm] mit deinen Operationen und bei $(2)$ benutzt du die Assoziativität im Vektorraum [mm] $\IR^2$.
[/mm]
In diesem Fall wirst du damit wahrscheinlich keine Arbeit sparen, aber nehmen wir mal an die Assoziativität in deiner Menge wäre sehr schwer zu zeigen, dann kannst du das Problem auf diese Weise geschickt umgehen. Achja und falls du nur Bahnhof verstanden haben solltest, mach dir nichts draus und schaus dir vielleicht später nochmal an, es geht hier eher um die Idee - dass du zeigst dass deine Struktur eigentlich nichts weiter als der [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, nur mit einem anderen Gesicht... 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo Robert,
vielen Dank für deinen Antwort. Beim Lesen hab ichs schon mit der
Angst bekommen (häää?), weil das meine grauen Hirnzellen noch
nicht so richtig einordnen können. Zum Schluss hast du es ja auch
schon geahnt...
Vielen Dank für deine Mühe, ich werde mich deshalb bestimmt noch
mal damit beschäftigen.
Viele Grüße
Pauline
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