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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen V bilden einen Vektorraum?
Testen Sie, ob mit [mm] \vec{a},\vec{b} \in [/mm] V , λ [mm] \in \IR [/mm] auch [mm] \vec{a} +\vec{b}\in [/mm] V und λ · [mm] \vec{a} \in [/mm] V gilt!
V= { [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] | x1+2 x2 = 0 } |
hey leute,
bräuchte hier mal nen ansatz oder ähnliches, weiß grad garnicht was von mir verlangt wird,
für hilfe wäre ich dankbar, da die aufgabe mehrere solche aufgaben beinhaltet
danke schonmal
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> Welche der folgenden Mengen V bilden einen Vektorraum?
> Testen Sie, ob mit [mm]\vec{a},\vec{b} \in[/mm] V , λ [mm]\in \IR[/mm]
> auch [mm]\vec{a} +\vec{b}\in[/mm] V und λ · [mm]\vec{a} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V
> gilt!
>
> V= { [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x_1+2x_2 = 0 }
Hallo,
Du hast hier eine Teilmenge des \IR^2 gegeben, in welcher die Vektoren sind, die die Gleichung x_1+2x_2 = 0 lösen.
Du sollst nun herausfinden, ob dies ein Untervektorraum des \IR^2 ist.
Dies prüft man mit den Unterraumkriterien, welche Dir oben angegeben wurden. (Man muß auch noch zeigen, daß die menge V nichtleer ist, was hier offensichtlich der Fall ist, denn \vektor{0\\0} liegt drin.)
Wie testest Du nun, ob " mit $ \vec{a},\vec{b} \in $ V auch $ \vec{a} +\vec{b}\in $ V"?
So:
Nimm Dir zwei Elemente aus V, etwa a:=\vektor{a_1\\a_2}, b:=\vektor{b_1\\b_2} \in V.
Bedenke, was es bedeutet, daß die in V sind: sie lösen die Gleichung.
Nun addiere sie.
a+b=\vektor{a_1\\a_2}+\vektor{b_1\\b_2}=\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2}.
Nun mußt Du herausfinden, ob das Ergebnis in V liegt. Wie kannst Du's feststellen? Du schaust nach, ob der vektor das Gleichungssystem löst, ob also bei
(a_1+b_1) + 2*(a_2+b_2) die 0 herauskommt.
das Produkt geht dann so ähnlich.
Gruß v. Angela
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hey danke erstmal,
aber wie kann ich im letzten schritt nun beweisen das x1 + 2 x2 = 0
ich habe doch keine werte die ich einsetzen kann um das zu beweisen ?!
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> hey danke erstmal,
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> aber wie kann ich im letzten schritt nun beweisen das x1 +
> 2 x2 = 0
> ich habe doch keine werte die ich einsetzen kann um das zu
> beweisen ?!
>
Hallo,
aber Du hast Informationen über die Koordinaten der beiden Vektoren, die Du verwendet hast. Die waren ja aus V.
Was hast Du denn jetzt dastehen?
Gruß v. Angela
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das ist ja gerade das problem, ich habe in meinem mathematischen einfallsreichtum :S
erstmal versucht die x1 + 2 x2 = 0 so zu lösen wie ich das kenne, in dem ich einfach mal probiert habe, so das ich z.b. für x1 = 4 und x2 = -2 einsetze
allerdings denke ich das das vollkommen falsch is, also hab ichs versuch mit deinem ansatz hinzubekomen, mir ist auch klar das ich 2 vektoren a und b nehmen muss, nur weiß ich nicht was ich mit denen anstellen muss
ich sags ja immer wieder, manche sind einfach nich für mathe gemacht, und ich bin einer davon
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> das ist ja gerade das problem, ich habe in meinem
> mathematischen einfallsreichtum :S
> erstmal versucht die x1 + 2 x2 = 0 so zu lösen wie ich das
> kenne, in dem ich einfach mal probiert habe, so das ich
> z.b. für x1 = 4 und x2 = -2 einsetze
Hallo,
für die Fragestellung, die Du in dieser Aufgab zu bearbeiten hast, mußt Du das gar nicht lösen.
Es geht darum: wenn Du eine Lösung a hast und eine Lösung b (wie in meinem ersten Post) ist dann die Summe a+b auch eine Lösung? Wenn ja ist a+b drin in V.
[mm] a,b\in [/mm] V, das bedeuet doch: [mm] a_1+2*a_2=0 [/mm] und [mm] b_1+2b_2=0. (\*)
[/mm]
Nun schau Dir die Komponenten von a+b an.
was kommt raus bei 1.Komponente + 2* 2.Komponente?
Den Term hatte ich doch schon hingeschrieben, und unter Berücksichtigung von [mm] (\*) [/mm] bekommst Du 0 heraus. Versuch's.
Sortiere so, daß die [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] zusammenstehen und dann weiter.
> allerdings denke ich das das vollkommen falsch is, also hab
> ichs versuch mit deinem ansatz hinzubekomen, mir ist auch
> klar das ich 2 vektoren a und b nehmen muss, nur weiß ich
> nicht was ich mit denen anstellen muss
Das hatte ich Dir doch genau gesagt. Am besten Du liest's jetzt nochmal ganz langsam.
Gruß v. Angela
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also ich versteh immernoch nur bahnhof, liegt aber vll auch daran das ich grad keinen nerv meher habe ^^
ich werds morgen früh nochmal versuchen und hoffentlich allein drauf kommen, ansonsten werd ich wohl wieder schreiben ^^
trotzdem danke dir
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öhm ich habs nu nochma versucht das auszurechnen was du gesagt hattest, das kann ich allerdings nur auflösen, bevor ich wieder vor einem rätsel stehe,
ich habe dann
2 [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + 2 [mm] b_{2} [/mm] + [mm] b_{1}
[/mm]
allerdings ist mir auch nicht ganz klar, was mit "komponenten" gemeint ist
naja wie gesagt drüber schlafen ^^
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> öhm ich habs nu nochma versucht das auszurechnen was du
> gesagt hattest, das kann ich allerdings nur auflösen, bevor
> ich wieder vor einem rätsel stehe,
> ich habe dann
>
> 2 [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] + 2 [mm]b_{2}[/mm] + [mm]b_{1}[/mm]
>
> allerdings ist mir auch nicht ganz klar, was mit
> "komponenten" gemeint ist
Hallo,
ich hoffe, Du hattest gesehen, daß ich zuvor Vektoren addiert hatte. Da die aus V waren, gilt für [mm] \vektor{a_1\\a_2} [/mm] doch folgendes: [mm] a_1 [/mm] + [mm] 2a_2=0. [/mm] Für b entsprechend
Wenn Du das jetzt mal oben in der Gleichung einsetzt...
Gruß v. Angela
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also ich habs aufgegeben, mir fehlt dafür momentan einfach das verständnis, ich hab keine ahnung wo ich was einsetzen soll, um am ende nach 0 aufzulösen :(
ich hoffe ich kappiers montag im tutorium, das war nämlich zum glück eigentlich die einzigste aufgabe die ich absolut nicht lösen konnte
lg und danke
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