Vektorräume < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:47 Sa 01.05.2010 | | Autor: | blumich86 |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die Menge V zusammen mit der für den Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] definierten Addition und Multiplikation ein Vektorraum ist.
c) V= { [mm] \vektor{a \\ a^2 \\ a^3} [/mm] | [mm] a\varepsilon \IR [/mm] } |
Hallo,
warum ist diese Menge kein Vektorraum???
lg blumich
|
|
| |
|
Hallo,
> Überprüfen Sie, ob die Menge V zusammen mit der für den
> Vektorraum [mm]\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
definierten Addition und Multiplikation
> ein Vektorraum ist.
>
> c) V= { [mm]\vektor{a \\ a^2 \\ a^3}[/mm] | [mm]a\varepsilon \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Hallo,
>
> warum ist diese Menge kein Vektorraum???
Woher weisst du denn, dass das keiner ist?
Du wirst vermutlich die Vektorraumaxiome geprüft haben.
Zeig' mal, was du so machst.
>
> lg blumich
ChopSuey
|
|
|
| |
|
also, in unsere Lösung gehen wir so vor:
[mm] \vektor{a \\ a^2 \\ a^3} [/mm] + [mm] \vektor{b \\ b^2 \\ b^3} [/mm] = [mm] \vektor{a+b \\ a^2+b^2 \\ a^3+b^3} \not= \vektor{a+b \\ (a+b)^2 \\ (a+b)^3}
[/mm]
obwohl ich ja nicht verstehe, warum man [mm] +\vektor{b \\ b^2 \\ b^3} [/mm] rechnet und warum man sagt, [mm] \vektor{a+b \\ a^2+b^2 \\ a^3+b^3} \not= \vektor{a+b \\ (a+b)^2 \\ (a+b)^3}
[/mm]
natürlich ist das Ungleich, aber warum setzt man das Ungleich??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Sa 01.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Du untersuchst es ja so quasi auf Linearität(!). Es ist halt so definiert,dass es linear sein muss.
Sehe mal (a+b) als eine Zahl c, also a+b=c.
Du willst wissen, ob wenn du die beiden Vektoren [mm] \vektor{a \\ a^{2} \\ a^{3}} [/mm] und [mm] \vektor{b \\ b^{2} \\ b^{3}} [/mm] addierst, das gleiche herauskommt wie wenn du zuerst(!) a+b rechnest bzw. ob [mm] \vektor{c \\ c^{2} \\ c^{3}} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ a^{2} \\ a^{3}} [/mm] + [mm] \vektor{b \\ b^{2} \\ b^{3}} [/mm]
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
nicht linearität, sondern Abgeschlossenheit bezüglich Addition.
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Sa 01.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Sorry...
Aber sagmal, linearität ist doch auch so definiert? (Und hald, dass man einen Faktor aus einer Funktion herausziehen kann.)
Gruss
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Welche dieser Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] ist zusammen mit der für den Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] definierten Addition und Multiplikation jeweils ein Vektorraum
A= { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] | [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] =0 }
B= { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] | [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] =1 } |
Klasse, diese Aufgabe habe ich verstanden!!!! Vielen Dank!!
Nur mit der nächsten komme ich nicht klar.
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2} \in [/mm] A
weil [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0 und [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] =0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] =0
Warum ist den [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] =0???? Und darf man rein mathematisch [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] =0, dass so schreiben??
|
|
|
| |
|
Hallo,
das selbe, wie bei deiner ersten Aufgabe.
Ein Vektorraum muss bezüglich Addition und Multiplikation abgeschlossen sein !!
Warum ist $\ B $ bezüglich Addition und Multiplikation nicht abgeschlossen?
Prüfe das !
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
mmhh, ich glaube so langsam verstehe ich das.
Für B gilt dann: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2} \not\in [/mm] B
weil: [mm] x_1+x_2=1 [/mm] und [mm] y_1+y_2=1 [/mm] => [mm] x_1+x_2 [/mm] + [mm] y_1+y_2=2[/mm]
|
|
|
| |
|
Erst lesen, dann fragen!
Siehe unten!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Welche dieser Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] ist zusammen mit der für den Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] definierten Addition und Multiplikation jeweils ein Vektorraum.
D= { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] | [mm] x_1 [/mm] * [mm] x_2= [/mm] 0 } |
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2} [/mm]
[mm] (x_1+y_1) [/mm] * [mm] (x_2+y_2) [/mm] =...
Darf man dieses Zwei Zeilen miteinander multiplizieren???
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Welche dieser Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] ist zusammen mit der
> für den Vektorraum [mm]\IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
definierten Addition und
> Multiplikation jeweils ein Vektorraum.
>
> D= { [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] | [mm]x_1[/mm] * [mm]x_2=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 }
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] + [mm]\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm] =
> [mm]\vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2}[/mm]
>
> [mm](x_1+y_1)[/mm] * [mm](x_2+y_2)[/mm] =...
>
> Darf man dieses Zwei Zeilen miteinander multiplizieren???
Ja natürlich, das müsste dann für die Gültigkeit der Abgeschlossenheit auch 0 ergeben, tut es aber im Allgemeinen offensichtlich nicht
Viel schneller bist du mit einem Gegenbsp. fertig.
Du solltest allein aufgrund der Multiplikation in der Definition schon daran denken, dass es wohl kein VR sein wird.
Es ist ja [mm] $x_1x_2=0\gdw x_1=0 [/mm] \ [mm] \text{oder} [/mm] \ [mm] x_2=0$
[/mm]
Was ist mit [mm] $\vec{x}=\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}=\vektor{0\\1}$
[/mm]
Die liegen beide drin, da sowohl [mm] $1\cdot{}0=0$ [/mm] also auch [mm] $0\cdot{}1=0$
[/mm]
Wie sieht's mit deren Summe aus?
Das wäre der schnelle Weg.
Mache das aber auch mal allg. weiter nach deinem Weg und zeige, dass bei dem Produkt der Komponenten des Summenvektors nicht immer 0 rauskommen muss.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo blumich86,
> Welche dieser Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist zusammen mit der für
> den Vektorraum [mm]\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
definierten Addition und
> Multiplikation jeweils ein Vektorraum
>
> A= { [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] | [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=0 }
>
> B= { [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] | [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=1 }
> Klasse, diese Aufgabe habe ich verstanden!!!! Vielen
> Dank!!
> Nur mit der nächsten komme ich nicht klar.
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] + [mm]\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm] = [mm]\vektor{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2} \in[/mm]
> A
>
> weil [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = 0 und [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm] =0
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm] =0
>
> Warum ist den [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm] =0????
Na, das ist doch genau die definierende Eigenschaft von Vektoren, die in der Menge A sind aus.
> Und darf man rein
> mathematisch [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm] =0, dass so schreiben??
>
Nun, es werden 2 Vektoren [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}=\vektor{y_1\\y_2}\in [/mm] A$ hergenommen.
Das bedeutet nach der Def. von A:
(1) [mm] $x_1+x_2=0$ [/mm] (da [mm] $\vec{x}\in [/mm] A$)
(2) [mm] $y_1+y_2=0$ [/mm] (da [mm] $\vec{y}\in [/mm] A$)
Nun will man zeigen, dass auch [mm] $\vec{x}+\vec{y}=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2}\in [/mm] A$ ist.
Dazu müsste gelten: [mm] $(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0$ [/mm] (denn so ist A definiert!)
Aber das kannst du in leichter Weise aus den Gleichungen (1) und (2) folgern?
Addiere (2) auf (1) ...
Gruß
schachuzipus
A
|
|
|
| |
|
Hallo,
$\ a, b [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] V $
$\ a = [mm] \vektor{a \\ a^2 \\ a^3} [/mm] $, $\ b = [mm] \vektor{b \\ b^2 \\ b^3} [/mm] $
Rechne $\ a + b $ und entscheide, ob die Summe in $\ V $ liegt. Wie Elemente aus $\ V $ aussehen, weisst du.
Grüße
ChopSuey
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
linearen Abbildungen