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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bayer04 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Basis des Vektorraums der 2x2 -Matrizen und geben Sie die Dimension an. |
Hallo zusammen,
haben vor kurzem mit Matrizen angefangen und ich hänge an dieser Aufgabe.
Die Begriffe wie Basis und Dimension habe ich im Zusammenhang mit Matrizen noch nie gehört.
Hab im Inet gefunden dass eine Basis sämtliche Linearkombinationen sein sollen, welche angewandt auf die Matrizen die Nullmatrix ergeben.
Nun ist diese Aufgabe jedoch sehr allgemein gehalten und ich komme wirklich nicht weiter.
Hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.
Danke im Voraus.
LG
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> Bestimmen Sie eine Basis des Vektorraums der 2x2 -Matrizen
> und geben Sie die Dimension an.
> Hallo zusammen,
> haben vor kurzem mit Matrizen angefangen und ich hänge an
> dieser Aufgabe.
> Die Begriffe wie Basis und Dimension habe ich im
> Zusammenhang mit Matrizen noch nie gehört.
Ist eigentlich genau das gleiche, wie bei Vektoren. Nur dass die (besser eine) Basis (hier) aus Matrizen besteht.
> Hab im Inet gefunden dass eine Basis sämtliche
> Linearkombinationen sein sollen, welche angewandt auf die
> Matrizen die Nullmatrix ergeben.
Hast du einen Link dazu?
>
> Nun ist diese Aufgabe jedoch sehr allgemein gehalten und
> ich komme wirklich nicht weiter.
> Hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.
>
> Danke im Voraus.
>
> LG
Eines vorneweg. Die Basis sind wieder Matrizen. Jede 2x2 Matrix lässt sich durch eine Linearkombination dieser Basismatrizen dar stellen.
Vielleicht führt ein Probieren zum Erfolg...
Betrachte doch einmal zwei Matrizen[mm]M=\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 } ,N=\pmat{ 3 & 7 \\
11 & 2 } [/mm]Jetzt versuchst du die Matrizen so dar zustellen:
[mm]M=r_1*B_1 + r_2*B_2+\ldots[/mm]
wobei [mm]B_i[/mm] auch eine 2x2 Matrix sein sollte. Versuch dir zu überlegen, wie viele dieser [mm]B_i[/mm] du brauchst. Also ob i=1 oder i=2,3,4,... ist. Und versuche die [mm]B_i[/mm] so zu wählen, dass du beide darstellen kannst, also
[mm]M=r_1*B_1 + r_2*B_2+\ldots[/mm]
[mm]N=q_1*B_1 + q_2*B_2+\ldots[/mm]
Wenn dir ein Muster auffällt. Dann kannst du sicher aus den Matrizen [mm] $B_i$ [/mm] alle 2x2 Matrizen bilden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bayer04 |
Erstmal Danke für die schnelle Antwort.
ich würde folgendermaßen ansetzen:
M = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
mir würde spontan nur folgende Linearkombination einfallen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] = 1 * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] + [mm] 0*\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Was meinst du dazu?
Tut mir Leid aber dieses Thema ist komplett Neu für mich und ich tu mir gerade wirklich schwer mit erkennen eines bestimmten Musters.
Wenn du mir das vielleicht erläutern könntest wäre ich sehr dankbar.
LG
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> Erstmal Danke für die schnelle Antwort.
>
> ich würde folgendermaßen ansetzen:
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> M = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm]
>
> mir würde spontan nur folgende Linearkombination
> einfallen:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm] = 1 * [mm]\blue{\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }}[/mm] + [mm]0*\blue{\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }}[/mm]
Naja die blauen Matrizen sollen linear unabhängig sein.
Außerdem solltest du ja versuchen beide Matrizen M und N mit der gleichen Basis darzustellen.
Nimm doch eine gaaaaaaanz einfache Matrix mit nur Nullen und einen Eintrag ungleich Null. Ist ja erst einmal egal, wie viele Matrizen du für die Basis nimmst. Aussortieren kann man hinterher immer noch.
>
> Was meinst du dazu?
> Tut mir Leid aber dieses Thema ist komplett Neu für mich
> und ich tu mir gerade wirklich schwer mit erkennen eines
> bestimmten Musters.
> Wenn du mir das vielleicht erläutern könntest wäre ich
> sehr dankbar.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bayer04 |
oh du hast Recht, wie dumm von mir.
aber was meinst du mit selber Basis darstellen? Sind das die Koeffizienten [mm] r_{i} [/mm] vor den zu bildenden linear unabhängigen Matrizen [mm] B_{i} [/mm] ?
1* [mm] \pmat{ 0 & \\ 0 & 0 } [/mm] + 1* [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
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> oh du hast Recht, wie dumm von mir.
> aber was meinst du mit selber Basis darstellen? Sind das
> die Koeffizienten [mm]r_{i}[/mm] vor den zu bildenden linear
> unabhängigen Matrizen [mm]B_{i}[/mm] ?
>
> 1* [mm]\pmat{ 0 & \\
0 & 0 }[/mm] + 1* [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm]
Ich gib dir mal eine Basismatrix vor:
[mm]\pmat{ 0 & 1\\
0 & 0 } [/mm] Damit kannst du den oberen rechten Eintrag abfertigen. Wie sehen die anderen (dr..) Matrizen aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bayer04 |
meinst du das hier:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] = 1* [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + 1* [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] 1*\pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 0 } [/mm] + [mm] 1*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
Heißt das nun dass sich die Matrix M = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] mit n Komponenten aus einer Linearkombination mit n Koeffizienten [mm] r_{i} [/mm] zusammensetzt?
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> meinst du das hier:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm] = 1* [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 0 }[/mm] + 1*
> [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
0 & 0 }[/mm] + [mm]1*\pmat{ 0 & 0 \\
3 & 0 }[/mm] +
> [mm]1*\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 4 }[/mm]
>
Bei Topfschlagen würde ich sagen: warm, sehr warm.
Eigentlich ist es richtig. Aber ich glaube du siehst es noch nicht.
Was spricht dagegen , dass die Matrizen nur 0 und 1 enthalten:
[mm]r_1*\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 0 }+r_2*\pmat{ 0 & 1 \\
0 & 0 } +r_3*\pmat{ 0 & 0 \\
1 & 0 } +r_4*\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 1 } [/mm]
> Heißt das nun dass sich die Matrix M = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm]
> mit n Komponenten aus einer Linearkombination mit n
> Koeffizienten [mm]r_{i}[/mm] zusammensetzt? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja ganz genau. Für jeden Koeff eine Matrix.
Sollst du noch zeigen, dass es eine Basis ist. Beweisen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bayer04 |
oh danke dir vielmals du hast wirklich sehr viel Licht reingebracht.
ich denke nicht dass ich dies beweisen muss. In der Aufgabe steht ja nur dass ich eine Basis darstellen soll.
Nochmal ganz kurz:
Könnte ich also die Basis folgendermaßen definieren?:
Die Basis ist die Menge an Linearkombinationen aus linear unabhänigen Matrizen, welche gemeinsam die "Ausgangsmatrix" M darstellen.
und im zweiten Aufgabenteil steht ja irgendwas mit Dimension. Wenn du mir vielleicht noch zum Schluss kurz und knapp sagen könntest was man darunter versteht könnte ich heute wirklich beruhigt schlafen gehen^^
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Zur Basis:
Es heißt eigentlich "Die Basis ist das kleinste Erzeugendesystem". Das heißt mit der Basis kann man alle Elemente des Vektorraumes (über Linearkombinationen der Basiselemente) darstellen. Nimmt man aber auch nur ein Element von der Basisweg (hier eine Basismatrix), so kann man nicht mehr alle Elemente im Vektorraum darstellen.
Die Dimension ist die Anzahl der Basiselemente: hier Basismatrizen. Also 4.
Dann gute Nacht.
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