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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Sa 13.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Aufgabe:
Sind V und W Vektorräume, so gilt
V [mm] \times [/mm] W = [mm] (V\times\{0\})\oplus(\{0\}\times [/mm] W)
Ich nehme an, dies soll man beweisen, weiter steht hier nichts.
Ich weiß ja eigentlich, was die Zeichen alle bedeuten (also [mm] \oplus [/mm] steht natürlich für die direkte Summe), aber ich kann mir das hier nicht so ganz vorstellen, wie man das [mm] \times [/mm] mit dem [mm] \oplus [/mm] kombiniert. Könnte mir das jemand erklären? Oder vllt eine der beiden Bedingungen für die direkte Summe vorrechnen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:30 Sa 13.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Zunächst einmal zeige ich:
$V [mm] \times [/mm] W = (V [mm] \times \{0\}) [/mm] + [mm] (\{0\} \times [/mm] W)$.
Ist $x [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W$ beliebig vorgegeben, dann müssen wir zeigen, dass sich $x$ schreiben lässt als
$x=y+z$
mit
$y [mm] \in [/mm] V [mm] \times \{0\}$ [/mm] und $z [mm] \in [/mm] W [mm] \times \{0\}$.
[/mm]
Nun, dies ist aber einfach. Ein $x [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W$ hat die Form:
$x=(v,w)$ mit $v [mm] \in [/mm] V$ und $w [mm] \in [/mm] W$,
und es gilt ja:
$(v,w) = [mm] \underbrace{(v,0)}_{=:y \in V \times \{0\}} [/mm] + [mm] \underbrace{(0,w)}_{=:z \in \{0\} \times W} \in [/mm] V [mm] \times \{0\} [/mm] + [mm] \{0\} \times [/mm] W$.
Weiterhin handelt es sich um eine direkte Summe:
Es sei nämlich $x [mm] \in [/mm] (V [mm] \times \{0\}) \cap (\{0\} \times [/mm] W)$ beliebig gewählt. Dann muss $x$ einerseits von der Form $(v,0)$ für ein $v [mm] \in [/mm] V$, andererseits aber von der Form $(0,w)$ für ein $w [mm] \in [/mm] W$ sein, was nur für $x=(0,0)$ möglich ist. Wir haben also:
$(V [mm] \times \{0\}) \cap (\{0\} \times [/mm] W) = [mm] \{(0,0)\}$,
[/mm]
also insgesamt:
$V [mm] \times [/mm] W = (V [mm] \times \{0\}) \oplus [/mm] ( W [mm] \times \{0\})$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 So 14.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Zunächst einmal zeige ich:
>
> [mm]V \times W = (V \times \{0\}) + ( W \times \{0\})[/mm].
>
> Ist [mm]x \in V \times W[/mm] beliebig vorgegeben, dann müssen wir
> zeigen, dass sich [mm]x[/mm] schreiben lässt als
Ich muss mich erstmal dafür entschuldigen, dass ich diese Frage hier gestellt habe. Ich glaube, es ist gut, wenn ich jetzt diese Woche mal zur Abwechslung so ziemlich kein Mathe mache. Denn bis genau hierhin musste ich lesen, um die Aufgabe selber lösen zu können. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Keine Ahnung, warum ich das nicht kapiert hatte, wie man das macht - wahrscheinlich hab ich einfach mal zu kompliziert gedacht oder so. Jedenfalls habe ich alles verstanden und es, bevor ich es jetzt gelesen habe, auch selber hinbekommen. 
Trotzdem vielen Dank für deine Antwort!
Übrigens hast du dich da oben verschrieben, es muss nämlich [mm] (\{0\}\times [/mm] W) heißen, und nicht (W [mm] \times \{0\}). [/mm] 
Viele Grüße
Christiane
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