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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 So 27.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Heya, Könnte mir bitte jemanden korrigieren, was ich soweit gemacht habe?
Aufgabe:Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, [mm] \Omega [/mm] eine nichtleere Menge und [mm] Abb(\Omega,V) [/mm] die Menge aller Abbildungen von [mm] \Omega [/mm] nach V.
Auf [mm] Abb(\Omega,V) [/mm] sind die Addition und skalare Multiplikation ''punktweise'' definiert. D.h. [mm] \forall f,g\in Abb(\Omega,V) [/mm] und [mm] \lambda \in [/mm] K:
(f+g)(x):=f(x)+g(x) und [mm] (\lambda*f)(x):=\lambda*f(x) [/mm] , [mm] \forall x\in\Omega
[/mm]
1) Zeigen Sie, dass [mm] (Abb(\Omega,V),+,*) [/mm] ein K-Vektorraum ist.
2)Sei [mm] V=R^2. [/mm] Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen Unterräume von Abb(V,V) sind:
a) [mm] M_1:=\{f\in Abb(V,V)/ f bijektiv\}
[/mm]
b) [mm] M_2:=\{f\in Abb(V,V)/ f nicht bijektiv\} [/mm]
Idee:
Zu 1) soll ich erstmal zeigen, dass [mm] (Abb(\Omega,V),+) [/mm] eine kommutative Gruppe ist. D.h. dass + assotiativ ist und es existiert [mm] e\inAbb(\Omega,V) [/mm] neutrales Element.
Seien f, g, h [mm] \in Abb(\Omega,V) [/mm] . Dann gilt:
[mm] (f+g)(x)+h(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+g(x)+h(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+(g+h)(x) [/mm] , [mm] \forall x\in\Omega
[/mm]
Sei weiterhin [mm] e=0\in Abb(\Omega,V). [/mm] Dann gilt:
0+f(x)=f(x), [mm] \forall x\in \Omega. [/mm] (Hier ist 0 der Nullvektor und da V ein K-Vektroraum ist, gilt die Gleichung )
Weiter es existiert [mm] -f\in Abb(\Omega,V) [/mm] , für die gilt:
-f(x)+f(x)=0, [mm] \forall x\in\Omega [/mm] .
(? ich weiß nicht so genau wie ich diesen Schritt erklären könnte)
Und: [mm] (f+g)(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+g(x)\stackrel{K-Vektorraum}{=}g(x)+f(x)\stackrel{Vorauss.}{=}(g+f)(x) [/mm]
[mm] \Rightarrow (Abb(\Omega,V),+,*) [/mm] ist eine kommutative Gruppe.
Weiterhin sollten noch ein paar Assotiativgesetze bzgl. der Multiplikation gelten für alle [mm] f,g\in Abb(\Omega,V) [/mm] und [mm] \lambda, \mu\in [/mm] K , und zwar:
i)z.z. [mm] \lambda*(\mu*f)(x)=(\lambda\mu)f(x) [/mm] , [mm] \forall x\in\Omega
[/mm]
[mm] \lambda*(\mu*f(x))\stackrel{Vorauss.}{=}\lambda(\mu(f(x)))=(\lambda\mu)f(x), \forall x\in\Omega [/mm] da [mm] \lambda,\mu\in [/mm] K (Egentschafen eines Körpers)
ii) z.z: (1*f)(x)=f [mm] (x),\forall x\in\Omega
[/mm]
[mm] (1*f)(x)\stackrel{Vorauss.}{=}1*f(x)=f(x) ,\forall x\in\Omega [/mm] da V ein K-Vektorraum ist.
iii) z.z. [mm] \lambda*(f+g)(x)=\lambda*f(x)+\lambda*g(x) ,\forall x\in\Omega
[/mm]
[mm] \lambda*(f+g)(x)\stackrel{Vorauss.}{=}\lambda*(f(x)+g(x))=\lambda*f(x)+\lambda*g(x) [/mm] , [mm] \forall x\in\Omega, [/mm] weil V ein K-Vektorraum ist.
iv)z.z: [mm] (\lambda+\mu)*f(x)=\lambda*f(x)+\mu*f(x)
[/mm]
? hier weiß ich auch nicht, wie ich das beweisen soll..
der zweite Teil mache ich immer noch. Ich würde allerdings sehr dankber, wenn jemanden mir den ersten Teil korrigiert.
Vielen Dank im voraus.
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 27.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo arraneo,
> Heya, Könnte mir bitte jemanden korrigieren, was ich
> soweit gemacht habe?
>
> Aufgabe:Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, [mm]\Omega[/mm]
> eine nichtleere Menge und [mm]Abb(\Omega,V)[/mm] die Menge aller
> Abbildungen von [mm]\Omega[/mm] nach V.
>
> Auf [mm]Abb(\Omega,V)[/mm] sind die Addition und skalare
> Multiplikation ''punktweise'' definiert. D.h. [mm]\forall f,g\in Abb(\Omega,V)[/mm]
> und [mm]\lambda \in[/mm] K:
>
> (f+g)(x):=f(x)+g(x) und [mm](\lambda*f)(x):=\lambda*f(x)[/mm] ,
> [mm]\forall x\in\Omega[/mm]
>
> 1) Zeigen Sie, dass [mm](Abb(\Omega,V),+,*)[/mm] ein K-Vektorraum
> ist.
>
> 2)Sei [mm]V=R^2.[/mm] Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen
> Unterräume von Abb(V,V) sind:
>
> a) [mm]M_1:=\{f\in Abb(V,V)/ f bijektiv\}[/mm]
> b) [mm]M_2:=\{f\in Abb(V,V)/ f nicht bijektiv\}[/mm]
>
> Idee:
>
> Zu 1) soll ich erstmal zeigen, dass [mm](Abb(\Omega,V),+)[/mm] eine
> kommutative Gruppe ist. D.h. dass + assotiativ ist und es
> existiert [mm]e\inAbb(\Omega,V)[/mm] neutrales Element.
>
> Seien f, g, h [mm]\in Abb(\Omega,V)[/mm] . Dann gilt:
>
> [mm](f+g)(x)+h(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+g(x)+h(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+(g+h)(x)[/mm]
> , [mm]\forall x\in\Omega[/mm]
>
> Sei weiterhin [mm]e=0\in Abb(\Omega,V).[/mm] Dann gilt:
>
> 0+f(x)=f(x), [mm]\forall x\in \Omega.[/mm] (Hier ist 0 der
> Nullvektor und da V ein K-Vektroraum ist, gilt die
> Gleichung )
>
> Weiter es existiert [mm]-f\in Abb(\Omega,V)[/mm] , für die gilt:
>
> -f(x)+f(x)=0, [mm]\forall x\in\Omega[/mm] .
Definiere (-f) durch (-f)(x) = -f(x).
>
> (? ich weiß nicht so genau wie ich diesen Schritt
> erklären könnte)
>
> Und:
> [mm](f+g)(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+g(x)\stackrel{K-Vektorraum}{=}g(x)+f(x)\stackrel{Vorauss.}{=}(g+f)(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (Abb(\Omega,V),+,*)[/mm] ist eine kommutative
> Gruppe.
>
> Weiterhin sollten noch ein paar Assotiativgesetze bzgl. der
> Multiplikation gelten für alle [mm]f,g\in Abb(\Omega,V)[/mm] und
> [mm]\lambda, \mu\in[/mm] K , und zwar:
>
> i)z.z. [mm]\lambda*(\mu*f)(x)=(\lambda\mu)f(x)[/mm] , [mm]\forall x\in\Omega[/mm]
>
> [mm]\lambda*(\mu*f(x))\stackrel{Vorauss.}{=}\lambda(\mu(f(x)))=(\lambda\mu)f(x), \forall x\in\Omega[/mm]
> da [mm]\lambda,\mu\in[/mm] K (Egentschafen eines Körpers)
>
> ii) z.z: (1*f)(x)=f [mm](x),\forall x\in\Omega[/mm]
>
> [mm](1*f)(x)\stackrel{Vorauss.}{=}1*f(x)=f(x) ,\forall x\in\Omega[/mm]
> da V ein K-Vektorraum ist.
>
> iii) z.z. [mm]\lambda*(f+g)(x)=\lambda*f(x)+\lambda*g(x) ,\forall x\in\Omega[/mm]
>
> [mm]\lambda*(f+g)(x)\stackrel{Vorauss.}{=}\lambda*(f(x)+g(x))=\lambda*f(x)+\lambda*g(x)[/mm]
> , [mm]\forall x\in\Omega,[/mm] weil V ein K-Vektorraum ist.
>
> iv)z.z: [mm](\lambda+\mu)*f(x)=\lambda*f(x)+\mu*f(x)[/mm]
>
> ? hier weiß ich auch nicht, wie ich das beweisen soll..
Auch wieder, weil $V$ ein [mm] $\IK$-Vektorraum [/mm] ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Mo 28.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey Wolfgang! Vielen Dank für deine schnelle Antwort . Ich war total froh, um herauszufinden, dass ich die Aufgabe nicht falsch verstanden habe .
Nun mal zu der zweiten Unterpunkt. Hier habe ich ein paar Probleme.
Sei [mm] V=R^2. [/mm] Die Menge [mm] M_1:=\{f\in Abb(V,V) / f \ bijektiv\} [/mm] sollte also mit der Addition und Multiplikation ein Unterraum von Abb(V,V)sein.
Erstens ist [mm] M_1 [/mm] eine nicht leere Teilmenge von Abb(V,V), da Abb(V,V) nicht leer ist und enthält alle Funktionen von [mm] R^2 [/mm] nach [mm] R^2, [/mm] sowohl bijektive als auch nicht bijektive . Außerdem gilt aus der Voraussetzung: [mm] \forall f\in M_1 [/mm] : [mm] f\in [/mm] Abb(V,V)
Nun um das ein Unterraum zu sein, solle noch folgendes gelten:
i) [mm] f+g\in M_1, \forall f,g\in M_1 [/mm] und
ii) [mm] \lambda*f\in M_1, \forall \lambda\in [/mm] K und [mm] f\in M_1
[/mm]
Jetzt ist mir eigentlich unklar wie genau das geht. Ich denke mir, da wir nur bijektive Funktionen haben, sollte vielleicht auch das Ergebnis eine bijektive Funktion sein, bin mir aber allerdings nicht sicher.
Bei der ii) sollte [mm] \lambda*f [/mm] auf jeden Fall eine bijektive Funktion sein und weiter in [mm] M_1 [/mm] liegend, weiß ich aber nicht wie ich das ordentlich zeigen könnte.
Könntest du mir vielleicht dabei helfen?
vielen Dank !
arraneo
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> Nun mal zu der zweiten Unterpunkt. Hier habe ich ein paar
> Probleme.
>
> Sei [mm]V=R^2.[/mm] Die Menge [mm]M_1:=\{f\in Abb(V,V) / f \ bijektiv\}[/mm]
> sollte also mit der Addition und Multiplikation ein
> Unterraum von Abb(V,V)sein.
Hallo,
>
> Erstens ist [mm]M_1[/mm] eine nicht leere Teilmenge von Abb(V,V),
an dieser Stelle solltest Du eine Funktion sagen, die in [mm] M_1 [/mm] ist, damit auch wirklich jeder überzeugt ist.
> da
> Abb(V,V) nicht leer ist und enthält alle Funktionen von
> [mm]R^2[/mm] nach [mm]R^2,[/mm] sowohl bijektive als auch nicht bijektive .
???
Nein!
[mm] M_1 [/mm] enthält diejenigen Funktionen aus Abb(V,V), welche bijektiv sind.
> Außerdem gilt aus der Voraussetzung: [mm]\forall f\in M_1[/mm] :
> [mm]f\in[/mm] Abb(V,V)
>
> Nun um das ein Unterraum zu sein, solle noch folgendes
> gelten:
>
> i) [mm]f+g\in M_1, \forall f,g\in M_1[/mm] und
>
> ii) [mm]\lambda*f\in M_1, \forall \lambda\in[/mm] K und [mm]f\in M_1[/mm]
>
> Jetzt ist mir eigentlich unklar wie genau das geht. Ich
> denke mir, da wir nur bijektive Funktionen haben, sollte
> vielleicht auch das Ergebnis eine bijektive Funktion sein,
> bin mir aber allerdings nicht sicher.
Tja...
Da könntest Du versucen zu beweisen, daß Summe und Produkt ebenfalls bijektiv sind,
oder
Du suchst einen Gegenbeispiel, mit welchem Du die Unterraumeigenschaft widerlegst.
>
> Bei der ii) sollte [mm]\lambda*f[/mm] auf jeden Fall eine bijektive
> Funktion sein und weiter in [mm]M_1[/mm] liegend, weiß ich aber
> nicht wie ich das ordentlich zeigen könnte.
Was ist, wenn Du mit 0 multiplizierst?
LG Angela
>
> Könntest du mir vielleicht dabei helfen?
>
> vielen Dank !
>
> arraneo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mo 28.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Hallo Angela. Danke für deine Antwort!
Ich hatte geschrieben, dass Abb(V,V), enthält sowohl die bijektiven Funktionen als auch die nicht bijektiven Funktionen, daher sollte [mm] M_1(die [/mm] enthält nämlich nur die bijektiven Funktionen aus Abb(V,V) eine Teilmenge von Abb(V,V) sein. )
Ein Beispiel dafür kann ich mir nicht so leicht vorstellen.
Vielleicht ist die Funktion : [mm] (x,y)\to [/mm] (x+3,y+3) eine bijektive Funktion im [mm] R^2? [/mm]
Du hast allerdings Recht, für [mm] \lambda=0 [/mm] sind keine Funktionen mehr bijektiv, daher muss ich auch nicht beweisen , oder bzw. widerlegen, dass die Addition bijektiver Funktionen, wieder bijektiv ist.
Weil es gilt eben nicht für alle [mm] \lambda\in [/mm] K : [mm] \lambda*f\in M_1, \forall f\in [/mm] Abb(V,V)
Somit ist [mm] M_1 [/mm] eben keinen Untervektorraum von Abb(V,V).
Nun mal zu der Menge [mm] M_2, [/mm] die auf alle nicht bijektiven Funktionen besteht, soll ich in Fällen zerfallen? und zwar, für [mm] f\in [/mm] Abb(V,V) .
i) f ist weder bijektiv noch injektiv,
ii) f ist injektiv aber nicht surjektiv,
iii) f ist surjektiv aber nicht injektiv?
Vielen Dank,
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Angela. Danke für deine Antwort!
>
> Ich hatte geschrieben, dass Abb(V,V), enthält sowohl die
> bijektiven Funktionen als auch die nicht bijektiven
> Funktionen, daher sollte [mm]M_1(die[/mm] enthält nämlich nur die
> bijektiven Funktionen aus Abb(V,V) eine Teilmenge von
> Abb(V,V) sein. )
>
> Ein Beispiel dafür kann ich mir nicht so leicht
> vorstellen.
>
> Vielleicht ist die Funktion : [mm](x,y)\to[/mm] (x+3,y+3) eine
> bijektive Funktion im [mm]R^2?[/mm]
>
> Du hast allerdings Recht, für [mm]\lambda=0[/mm] sind keine
> Funktionen mehr bijektiv, daher muss ich auch nicht
> beweisen , oder bzw. widerlegen, dass die Addition
> bijektiver Funktionen, wieder bijektiv ist.
>
> Weil es gilt eben nicht für alle [mm]\lambda\in[/mm] K :
> [mm]\lambda*f\in M_1, \forall f\in[/mm] Abb(V,V)
>
> Somit ist [mm]M_1[/mm] eben keinen Untervektorraum von Abb(V,V).
Hallo arraneo,
etwas einfacher: [mm] $M_1$ [/mm] ist kein Unterraum von ABB(V,V), weil die Nullabbildung nicht bijektiv ist.
>
> Nun mal zu der Menge [mm]M_2,[/mm] die auf alle nicht bijektiven
> Funktionen besteht, soll ich in Fällen zerfallen? und
> zwar, für [mm]f\in[/mm] Abb(V,V) .
>
> i) f ist weder bijektiv noch injektiv,
> ii) f ist injektiv aber nicht surjektiv,
> iii) f ist surjektiv aber nicht injektiv?
Um zu zeigen, daß [mm] $M_2$ [/mm] kein Unterraum ist, gib zwei nichtbijektive Abbildungen an, deren Summe bijektiv ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mo 28.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Danke Wofgang!
Gäbe es dafür 'leichtere' Funktionen?
[mm] f:R\to [/mm] R zum Beispiel, könnte [mm] f(x)=x^2-x^3 [/mm] sein , was vom Graph her nicht bijektiv ist, würde aber ne Weile dauern ums zu beweisen.
Dann könnte ich dagegen [mm] g:R\to [/mm] R, mit [mm] g(x)=-x^2-x^3 [/mm] , welche auch nicht bijektiv ist.
Dagegen ist aber f(x)+g(x)= [mm] -2x^3 [/mm] und die ist allerdings bijektiv.
Ich hätte aber gerne eine schönere Funktion finden können.
Könntest du mir bitte helfen ? Oder bleibe ich bei den Funktionen, wobei werde ich sie natürlich in [mm] R^2 [/mm] definieren und versuchen erstmal zu beweisen, dass sie nicht bijektiv sind..
vielen Dank,
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Danke Wofgang!
>
> Gäbe es dafür 'leichtere' Funktionen?
>
> [mm]f:R\to[/mm] R zum Beispiel, könnte [mm]f(x)=x^2-x^3[/mm] sein , was vom
> Graph her nicht bijektiv ist, würde aber ne Weile dauern
> ums zu beweisen.
>
> Dann könnte ich dagegen [mm]g:R\to[/mm] R, mit [mm]g(x)=-x^2-x^3[/mm] ,
> welche auch nicht bijektiv ist.
>
> Dagegen ist aber f(x)+g(x)= [mm]-2x^3[/mm] und die ist allerdings
> bijektiv.
>
> Ich hätte aber gerne eine schönere Funktion finden
> können.
Zunächst ist hier [mm] $\Omega=V=\IR^2$, [/mm] d. h. wir suchen zwei nichtbijektive Funktionen von [mm] $\IR^2\to\IR^2$, [/mm] deren Summe bijektiv ist. Eine einfache nichtbijektive Funktion ist z. B. $f(x, y) = (x, [mm] 0)\,.$ [/mm] Jetzt findest Du bestimmt die andere!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 28.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Danke Dir!!
Ich wusste , dass ich mich immer kompliziere :)
Seien also [mm] f,g:R^2\to R^2 [/mm] mit,
f(x,y)=(x,0)
g(x,y)=(0,y), für alle [mm] (x,y)\in R^2. [/mm]
Keine Funktion ist bijektiv [mm] \Rightarrow f,g\in M_2, [/mm] wobei
f(x,y)+g(x,y)=(x+0,y+0)=(x,y) bijektiv.
[mm] \Rightarrow f+g\not\in M_2 [/mm]
[mm] \Rightarrow M_2 [/mm] ist kein Untervektorraum.
Das sollte schon ok sein, oder?
nochmals vielen Dank!
lg. arraneo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Seien also [mm]f,g:R^2\to R^2[/mm] mit,
>
> f(x,y)=(x,0)
> g(x,y)=(0,y), für alle [mm](x,y)\in R^2.[/mm]
>
> Keine Funktion ist bijektiv [mm]\Rightarrow f,g\in M_2,[/mm] wobei
>
> f(x,y)+g(x,y)=(x+0,y+0)=(x,y) bijektiv.
>
> [mm]\Rightarrow f+g\not\in M_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow M_2[/mm] ist kein Untervektorraum.
>
> Das sollte schon ok sein, oder?
Ja!
Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo arraneo,
wirklich nur gerade ganz kurz:
> Heya, Könnte mir bitte jemanden korrigieren, was ich
> soweit gemacht habe?
>
> Aufgabe:Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, [mm]\Omega[/mm]
> eine nichtleere Menge und [mm]Abb(\Omega,V)[/mm] die Menge aller
> Abbildungen von [mm]\Omega[/mm] nach V.
>
> Auf [mm]Abb(\Omega,V)[/mm] sind die Addition und skalare
> Multiplikation ''punktweise'' definiert. D.h. [mm]\forall f,g\in Abb(\Omega,V)[/mm]
> und [mm]\lambda \in[/mm] K:
>
> (f+g)(x):=f(x)+g(x) und [mm](\lambda*f)(x):=\lambda*f(x)[/mm] ,
> [mm]\forall x\in\Omega[/mm]
>
> 1) Zeigen Sie, dass [mm](Abb(\Omega,V),+,*)[/mm] ein K-Vektorraum
> ist.
>
> 2)Sei [mm]V=R^2.[/mm] Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen
> Unterräume von Abb(V,V) sind:
>
> a) [mm]M_1:=\{f\in Abb(V,V)/ f bijektiv\}[/mm]
> b) [mm]M_2:=\{f\in Abb(V,V)/ f nicht bijektiv\}[/mm]
>
> Idee:
>
> Zu 1) soll ich erstmal zeigen, dass [mm](Abb(\Omega,V),+)[/mm] eine
> kommutative Gruppe ist. D.h. dass + assotiativ ist und es
> existiert [mm]e\inAbb(\Omega,V)[/mm] neutrales Element.
>
> Seien f, g, h [mm]\in Abb(\Omega,V)[/mm] . Dann gilt:
>
> [mm](f+g)(x)+h(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+g(x)+h(x)\stackrel{Vorauss.}{=}f(x)+(g+h)(x)[/mm]
> , [mm]\forall x\in\Omega[/mm]
das verschleiert das ganze ein wenig: Dass Du einfach
$$f(x)+g(x)+h(x)$$
schreiben darfst, liegt an der Assoziativität der Addition [mm] $+\,$ [/mm] bzgl. [mm] $V\,.$
[/mm]
Um's deutlicher zu machen, solltest Du etwa schreiben: Für alle $x [mm] \in \Omega$ [/mm] gilt (die Farbe bei der Erklärung bezieht sich immer auf das, was "(links) vor" dem Gleichheitszeichen steht)
[mm] $$((f+g)\red{\;+\;}h)(x)$$
[/mm]
[mm] $$\stackrel{\text{per Definitionem von }\red{\;+\;}\text{ bzgl. }Abb(\Omega,V)}{=}(f\blue{\text{\;+\;}}g)(x)+h(x)$$
[/mm]
[mm] $$\stackrel{\text{per Definitionem von }\blue{\text{\;+\;}}\text{ bzgl. }Abb(\Omega,V)}{=}(f(x)+g(x))+h(x)$$
[/mm]
[mm] $$\stackrel{\text{Addition in }V\text{ ist assoziativ: beachte} f(x),g(x),h(x) \in V}{=}f(x)+(\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{g(x)+h(x)}_{\substack{=(g+h)(x) \text{ per Definitionem}\\\text{ von }(g+h)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!)$$
[/mm]
$$=f(x)+(g+h)(x)$$
[mm] $$=(f+(g+h))(x)\,.$$
[/mm]
So begründet man eigentlich die genannte Gleichheit "schrittweise und
vollständig!"
Und jetzt geht's eigentlich sogar noch ein wenig weiter: Da sowohl
$(f+g)+h: [mm] \Omega \to [/mm] V$ als auch $f+(g+h): [mm] \Omega \to [/mm] V$
(wohldefinierte) Abbildungen sind, und wir eben gezeigt haben, dass für
alle $x [mm] \in \Omega$ [/mm] gilt:
[mm] $$((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x)\,,$$
[/mm]
folgt [mm] $(f+g)+h=f+(g+h)\,.$ [/mm] (Die letzte Gleichheit ist eigentlich "wirklich" die
Assoziativtät auf [mm] $Abb(\Omega,V)$ [/mm] bzgl. der dortigen Addition [mm] $+\,.$)
[/mm]
(Und nur, damit das klar(er) wird: [mm] $(f+(g+h))(x)\,$ [/mm] bedeutet eigentlich: Bilde
die Funktion [mm] $\tilde{h}:=g+h\,,$ [/mm] und dann ist für alle $x [mm] \in \Omega$
[/mm]
[mm] $$(f+(g+h))(x)=(f+\tilde{h})(x)=f(x)+\tilde{h}(x)\,.$$
[/mm]
[mm] $((f+g)+h)(x)\,$ [/mm] bedeutet analog mit [mm] $\tilde{f}:=f+g$ [/mm] nichts anderes als
[mm] $$((f+g)+h)(x)=(\tilde{f}+h)(x)=\tilde{f}(x)+h(x)\,.$$
[/mm]
Hier sieht man viel klarer, dass die zu zeigende Gleichheit "i.a. nichttrivial ist":
Du sollst in dieser Notation nämlich
[mm] $$f(x)+\tilde{h}(x)=\tilde{f}(x)+h(x)$$
[/mm]
nachrechnen. (Wobei man anstatt [mm] $\tilde{f}$ [/mm] und [mm] $\tilde{h}$ [/mm] vielleicht
sogar noch besser andere Funktionsbezeichnungen gewählt hätte, denn
so sieht's wieder nur aus, als wenn da eine "tilde" wandert!))
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:53 Mo 28.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey Marcel!
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.. ich hab mich nämlich bewundert, wie ich das eigentlich vom ersten Versuch korrekt hinkriegen könnte..
Naja, jetzt ist ja sehr klar wie das ordentlich aufgeschrieben werden soll.
Hast du vielleicht ein paar Kommentaren zur zweite Aufgabe? ^^
vielen Dank,
arraneo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:17 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Marcel!
>
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.. ich hab mich
> nämlich bewundert, wie ich das eigentlich vom ersten
> Versuch korrekt hinkriegen könnte..
>
> Naja, jetzt ist ja sehr klar wie das ordentlich
> aufgeschrieben werden soll.
>
> Hast du vielleicht ein paar Kommentaren zur zweite Aufgabe?
> ^^
ich hatte bisher (aus reiner Unlust meinerseits) noch nicht drübergeschaut.
Wenn ich nach meinem Schlaf im Laufe des Tages dazu komme, schaue ich
mir das gerne nochmal an, sofern dann da noch Bedarf besteht.
Übrigens: Es ist eine Kunst, die es zu lernen gilt, die Übungsaufgaben so
zu lösen, dass man das Wesentliche erläutert, und dennoch nicht zu
undetailliert vorgeht. Meine Antwort zur Assoziativität ist so eine Art
Musterlösung, die (fast) alle Details penibelst und unverkürzt enthält.
Sowas passend zu "komprimieren" lernst Du während des Studiums.
(Wäre ich Dozent, so würde ich Leuten aus den ersten zwei Semestern die
Lösung zumindest in dieser Art bei der Besprechung der Übungsaufgaben
präsentieren; wären die Leute fortgeschrittener, so wäre die "Musterlösung"
dann stark verkürzt und an entsprechenden Stellen mit jeweils einem
passenden Stichwort versehen gewesen. "Musterlösungen" kann man
auch an den Kreis der Interessierten anpassen. Das heißt nicht, dass
jeder Studienanfänger solch' eine detaillierte Lösung "braucht", aber ich
würde sie jedem ANBIETEN; denn nicht jede(r), der/die solch' eine braucht,
traut sich auch, danach zu fragen...)
Im Prinzip hattest Du sowas auch schon "fast" gemacht, nur sehe ich
immer die Gefahr bei Studienanfängern, dass das Weglassen von
manchen Dingen, ohne dass sie wenigstens kommentiert worden sind,
darauf basierte, dass man sich gar nicht wirklich klar gemacht hat, warum
man das, was man da machen durfte, auch tun durfte, sondern es eher
"nach Gefühl" oder "so, wie man es schonmal woanders gesehen hat"
einfach getan hat.
Wenn Du Dir allen meinen Schritten bewußt warst, ist das ein sehr gutes
Zeichen. Wenn nicht, ist es gut, dass Du nun alle da stehen hast und
sehen kannst, "was Du, ohne wirklich zu überlegen, einfach im Kopf getan
hast".
Ein typisches Beispiel, wo jemand einfach mal so vorgegangen ist, findest
Du hier (klick!). Dabei geht's nicht um eine Bewertung dieser Vorgehensweise,
dass jemand etwas irgendwie "rein intuitiv" sogar auch RICHTIG macht,
nur dort hätte sich Hellsing89 vielleicht gewundert, wenn er dieses "de
l'Hôpital in die Funktion ziehen" anwendet bei Funktionen, wo es halt nicht
funktionieren wird: Stichwort Unstetigkeitsstelle.
Aber ob Dir das Bsp. da im Link wirklich das ganze klar macht, was ich
meine, weiß ich nicht. Denn vom Studienstoff her seid ihr sicher noch nicht
bei de l'Hôpital und Stetigkeit. Aber vielleicht reicht da auch Dein
Schulwissen...
Aber egal: Ansonsten liest Du Dir das in ein oder zwei Semestern nochmal
durch, dann wirst Du es verstehen (also die Aufgabe aus dem Link, und
das Vorgehen von Hellsing89 etc. pp.).
Gruß,
Marcel
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