Vektorräume und Mengen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es seien K ein Körper und V [mm] :=Abb({\IN, K}) [/mm] die Menge der Abbildungen [mm] {f:\IN \to K}. [/mm] Wir definieren eine Addition und Skalarmultiplikation auf V durch [mm] ({f,g\in V},{\lambda \in K}):
[/mm]
[mm] (f+{\nu g})(n) [/mm] := f(n) +_{k} g(n) [mm] {\forall n\in \IN} [/mm] [mm] (\lambda [/mm] * [mm] \nu [/mm] f)(n) := [mm] \lambda [/mm] *_{K} f(n) [mm] {\forall n \in \IN} [/mm] Weiter sei [mm] 0_{V} [/mm] die konstante Nullfunktion (d.h. [mm] 0_{V}(n) [/mm] := [mm] 0_{K} [/mm] für alle [mm] n\in \IN).
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass (V, [mm] 0_{V}, [/mm] +_{V}, *_{V}) ein K-Vektorraum ist.
(b) Für [mm] n\in \IN [/mm] sei [mm] W_{n}:={f\in V|f[m)=0 \forall m>n}. [/mm] Zeigen Sie, dass jedes [mm] W_n [/mm] ein Untervektorraum von V ist. |
| Aufgabe 2 | (a) Es seien M eine Menge, I eine Menge und für jedes [mm] {i\in I} [/mm] eine Teilmenge [mm] {M_{i}\subseteq M} [/mm] gegeben, sodass [mm] M=\bigcup^{*} _{i\in I} M_{i}. [/mm] Für [mm] {a,b\in M} [/mm] definieren wir [mm] a\sim [/mm] b [mm] :\gdw \exists {i\in I} [/mm] mit {a,b} [mm] \subseteq M_{i}. [/mm] Zeigen sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf M ist. Zeigen Sie des weiteren, dass die Äquivalenzklassen genau die nichtleeren Mengen [mm] M_{i} [/mm] sind.
(b) Sei M = [mm] \IR^{2} [/mm] und für [mm] r\in \IR [/mm] sei [mm] M_{r} [/mm] := [mm] {{(x,y)\in M}| x_{2} + y_{2}=r }. [/mm] Beschreiben sie die Teilmengen [mm] M_{r} [/mm] geometrisch. Zeigen Sie des weiteren, dass [mm] M=\bigcup^{\cdot}_{r\in \IR} M_{r} [/mm] gilt. Geben Sie eine geometrische Beschreibung der durch diese Zerlegung von M definierten Äquivalenzrelation (vgl. Teil (a)), ohne die Mengen [mm] M_{r} [/mm] zu verwenden. |
Zunächst einmal möchte ich mich für die lausige Darstellung der Aufgaben bzw. der Formeln entschuldigen, aber aus unerklärlichen Gründen klappt des heut irgendwie nicht so ganz.
Aufgabe 1
(a) Genügt es, alle Axiome nachrechnen?
(b) Wie fang ich hier an - ich bin bei dieser Teilaufgabe irgendwie planlos?
Aufgabe 2
(a) Genügt es Äquivalenz zu beweisen, wenn ich die drei Äquivalenzrelation (transitiv, reflexiv und symmetrisch) anwende und zeige das sie gelten.
(b) Mit der hab ich mich noch überhaupt nicht befasst, Tipps nehm ich trotzdem gern entgegen (könnt ihr euch aber auch erstmal sparen).
Gruß
TrockenNass
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo.
> Zunächst einmal möchte ich mich für die lausige
> Darstellung der Aufgaben bzw. der Formeln entschuldigen,
> aber aus unerklärlichen Gründen klappt des heut irgendwie
> nicht so ganz. Aufgabe 1
> (a) Genügt es, alle Axiome nachrechnen?
Ja, klar.
> (b) Wie fang ich hier an - ich bin bei dieser Teilaufgabe
> irgendwie planlos?
Schau dir nochmal an, was Untervektorraum bedeutet. Um zu beweisen, dass [mm] $W_{n}$ [/mm] Untervektorraum des [mm] $Abb(\IN,K)$ [/mm] ist, müssen drei Dinge gezeigt werden:
1. [mm] $0_{V} \in W_{n}$
[/mm]
2. $f,g [mm] \in W_{n} \Rightarrow [/mm] f+g [mm] \in W_{n}$
[/mm]
3. [mm] $\alpha \in [/mm] K, f [mm] \in W_{n} \Rightarrow {\alpha}*f \in W_{n}$
[/mm]
> Aufgabe 2
> (a) Genügt es Äquivalenz zu beweisen, wenn ich die drei
> Äquivalenzrelation (transitiv, reflexiv und symmetrisch)
> anwende und zeige das sie gelten.
Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.
Zunächst musst du zeigen, dass die gegebene Relation transitiv, reflexiv und symmetrisch ist. Wenn eine Realtion diese drei Bedingungen erfüllt, spricht man von einer Äquivalenzrelation.
Wenn du das gezeigt hast kannst du für ein $a [mm] \in [/mm] M$ die Äquivalenzklasse [mm] $[a]:=\{b \in M | b \sim a\}$ [/mm] betrachten.
Zu zeigen ist nun, dass für ein $a [mm] \in M_{i}$ [/mm] (dieses $a$ ex. genau für die nichtleeren [mm] $M_i$, [/mm] für die die Aussage gezeigt werden soll) gilt:
[mm] $M_{i} [/mm] = [a]$, d.h. du musst beide Inklusionen zeigen:
1. [mm] $M_{i} \subseteq [/mm] [a]$
2. [mm] $M_{i} \supseteq [/mm] [a]$
> (b) Mit der hab ich mich noch überhaupt nicht befasst,
> Tipps nehm ich trotzdem gern entgegen (könnt ihr euch aber
> auch erstmal sparen).
> Gruß
> TrockenNass
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Grüße, Lippel
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