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| Aufgabe | Gegeben seien zwei Untervektorräume [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] eines Vektorraumes V.
Zeigen Sie: Wenn [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] ein Untervektorraum von V ist, so gilt [mm] U_{1} \subseteq U_{2} [/mm] oder [mm] U_{2} \subseteq U_{1}. [/mm]
Bemerkung: Die umgekehrte Richtung ist offensichtlich. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich sitze jetzt schon einige Zeit daran und komme nicht weiter. Das habe ich bis jetzt:
Bei [mm] "\Rightarrow" [/mm] wird angenommen, dass der Schnitt ein Untervektorraum ist. Folglich sind folgende Kriterien erfüllt:
1. Der Schnitt ist nicht leer
2. Die Summe zweier beliebiger Elemente des Schnittes liegen wiederum im Schnitt.
3. Alle skalaren Vielfachen beliebiger Elemente des Schnittes liegen wiederum im Schnitt.
Das einzige, was ich weiß, ist, dass wenn ein Element im Schnitt liegt, dieses auch automatisch in beiden Mengen enthalten sein muss.
Unser Tutor hat gemeint, wir sollen uns das an Hand eines Beispiels über den R³ veranschaulichen aber mir fallen keine ein.
Könnte mir jemand bitte Beispiele und einen Ansatz geben?
Die [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist wirklich offensichtlich und damit habe ich auch keine Probleme.
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Beispiele für Untervektorräume über den [mm] \IR^3:
[/mm]
Vektorraum über den [mm] \IQ^3
[/mm]
...über den [mm] \IN^3
[/mm]
...über den [mm] \IR^2
[/mm]
...über den [mm] \IQ^2
[/mm]
...über den [mm] \IN^2
[/mm]
...über eine zweidimensionale Basis [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] mit [mm] |\vec{a}*\vec{b}|\not=|\vec{a}|*|\vec{b}|
[/mm]
Die kannst Du ja schonmal miteinander kombinieren. Schau Dir besonders [mm] U_1=\IQ^2, U_2=\IN^3 [/mm] an.
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Danke für die Beispiele.
Der Schnitt aus [mm] \IQ² [/mm] und [mm] \IN³ [/mm] wäre [mm] \IN²... [/mm] und was kann ich damit anfangen?
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Hallo Marcel,
bist du sicher, dass es in der Augabenstellung um den Schnitt von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] geht und nocht eher um die Vereinigung, also [mm] $U_1\cup U_2$
[/mm]
Für den Schnitt überlegst du dir nämlich ganz einfach ein Gegenbsp. für die Richtung [mm] $[\Rightarrow]$
[/mm]
Nimm als VR [mm] $V=\IR^2$ [/mm] und als Unterräume die Achsen [mm] $U_1=\left\{\vektor{x_1\\0}\mid x_1\in\IR\right\}$ [/mm] und [mm] $U_2=\left\{\vektor{0\\x_2}\mid x_2\in\IR\right\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $U_1\cap U_2=\vektor{0\\0}$ [/mm] offensichtlich ein (Unter)VR, aber weder [mm] $U_1\subset U_2 [/mm] \ $ noch [mm] $U_2\subset U_1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 23.11.2008 | | Autor: | reverend |
[mm] \IQ^2\cap\IN^3 [/mm] widerlegt die Behauptung. Das Beispiel von schachuzipus tut das auch.
edit:
Allerdings gilt für ebendieses Beispiel auch, dass die Behauptung selbst für die Vereinigung nicht stimmt. Du bekämst einen zweidimensionalen Vektorraum, der ohne Zweifel Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist, aber weder [mm] U_1\subset U_2 [/mm] noch [mm] U_2\subset U_1.
[/mm]
Da stimmt was mit der Aufgabe nicht.
Sorry, das war falsch.
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Hallo reverend,
> [mm]\IQ^2\cap\IN^3[/mm] widerlegt die Behauptung. Das Beispiel von
> schachuzipus tut das auch.
>
> Allerdings gilt für ebendieses Beispiel auch, dass die
> Behauptung selbst für die Vereinigung nicht stimmt. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da haste aber einen temporären Knoten im Kopf 
Die Vereinigung der Achsen ist doch niemals ein Unterraum, was ist denn [mm] $\vektor{0\\1}+\vektor{1\\0}$ [/mm] Der liegt doch wohl kaum auf einer der Achsen ...
> Du bekämst einen zweidimensionalen Vektorraum, der ohne
> Zweifel Unterraum des [mm]\IR^3[/mm] ist, aber weder [mm]U_1\subset U_2[/mm]
> noch [mm]U_2\subset U_1.[/mm]
>
> Da stimmt was mit der Aufgabe nicht.
Doch doch, ich habe gerade nachgeschlagen im Fischer ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 So 23.11.2008 | | Autor: | reverend |
Danke für den Hinweis, schachuzipus.
Der Knoten ist mir glücklicherweise gerade noch so zwei Minuten vor Deinem Hinweis selbst aufgefallen (siehe edit).
In dieser Reihenfolge ist es nicht ganz so peinlich. Ich habe den ursprünglichen Text trotzdem stehen gelassen, nur im Schrifttyp "durchgestrichen".
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Hi,
ja, genau in der Zeit, als ich getippelt habe, ich hätte warten sollen ...
Schönen Abend noch
schachuzipus
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Oh.. ich sehe gerade, dass es um die Vereinigung und nicht um den Schnitt handelt. Hatte die ganze Zeit "Schnitt" im Kopf, da unser Tutor das zu der Aufgabe gemeint hat; hat sich wohl geirrt.
Noch einmal zu den Beispielen: [mm] U_{1}=\IQ² [/mm] und [mm] U_{2}=\IN³.. [/mm] Was wäre dann die Vereinigung und wie bekomme ich daraus einen Ansatz?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 So 23.11.2008 | | Autor: | reverend |
Für die Vereinigung ist mein Beispiel nicht das Beste.
Aber die bisherige Diskussion (incl. meines Irrtums) gibt doch gutes Material. Wie sieht denn die Vereinigung zweier Untervektorräume aus, wenn sie [kein] Untervektorraum ist? Das sollte Dich auf die Spur bringen, denke ich.
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Hallo nochmal,
da die Aussage gilt, solltest du wieder weg von den Bsp. gehen und einen Beweis für [mm] $[\Rightarrow]$ [/mm] versuchen
Sei also [mm] $U_1\cup U_2$ [/mm] Unterraum von V und sei nicht [mm] $U_1\subset U_2$
[/mm]
Dann ist zu zeigen: [mm] $U_2\subset U_1$
[/mm]
Zeige also, dass jeder Vektor, der in [mm] $U_2$ [/mm] ist, gefälligst auch in [mm] $U_1$ [/mm] ist ...
Probiere mal, wie weit du kommst ...
LG
schachuzipus
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Aufgabe habe ich hinbekommen und volle Punktzahl erhalten. Da ich keine Lust habe, jetzt alles abzutippen aber dennoch die Lösung für andere nicht vorenthalten möchte, hier ein Scan:
http://img408.imageshack.us/img408/356/aufgabeoi0.gif
Bemerkung: A0 ist das Axiom, dass die Abgeschlossenheit gegenüber der Addition beschreibt.
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