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hi,
ich soll für eine GFS den Vektorraum erklären und bin gerade dabei ein paar Vektorräume aufzustellen, bzw zu überprüfen ob es welche sind, dabei bin ich über folgende Aufgabe gestolpert:
V= [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}; |x_{1}|=|x_{2}|
[/mm]
nun hab ich ja 2 Fälle:
[mm] x_{1}=x_{2} [/mm]
[mm] x_{1}=- x_{2}
[/mm]
andere Fälle treten nicht auf, oder irre ich mich da?
ich mein -, - = +,etc
damit könnte man schreiben:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{1} } [/mm] + [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{1} } [/mm] = [mm] \in [/mm] V
[mm] \vektor{x_{1} \\ - x_{1} } [/mm] + [mm] \vektor{x_{1} \\ - x_{1} } [/mm] = [mm] \in [/mm] V
das ist jetzt noch kein Beweis,ich müsste eben noch alle Bereiche der Addition und Multiplikation für die beiden Fälle überprüfen. Aber stimmt der Ansatz so? und was ist wenn nur 1 Fall nachher sich als Vektorraum herausstellt dann ist
V= [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}; |x_{1}|=|x_{2}| [/mm] komplett kein Vektorraum?
danke
Mfg Mark
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Nimue |
Hi Mark
> V= [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}; |x_{1}|=|x_{2}|
[/mm]
>
> nun hab ich ja 2 Fälle:
>
> [mm]x_{1}=x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1}=- x_{2}
[/mm]
>
Bis hierhin soweit so gut... 
V ist kein Vektorraum, da er bzgl. der Addition nicht abgeschlossen ist.
Kannst du an einem ganz einfachen Beispiel sehen:
x=(2|-2) und y=(3|3) sind beide in V.
Addierst du die beiden Vektoren kommt aber (5|1) raus, was nicht in V liegt.
Damit bist du auch schon fertig, denn ein Gegenbeispiel reicht schon für die Aussage, daß V kein Vekorraum ist.
Klar?
Gruß
Nimue
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Das habe ich verstanden.
Kann man dann allg. sagen:
[mm] \vektor{x \\ -x } [/mm] + [mm] \vektor{y \\ y } [/mm] = [mm] \vektor{x+y \\ -x +y }
[/mm]
und wenn x+y und -x+y gleich sind :
(x+y)-(-x+y)=0
2x=0
x=0
und das darf ja nicht sein, weil die Addition mit dem Nullvektor in dem Fall nicht Sinn der Sache ist.
Passt das nun so?
Mfg Mark
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Hallo Mark!
Ich verstehe leider nicht ganz, was Du vorhast!
Durch das Gegenbeispiel ist doch gezeigt, dass die Addition nicht abgeschlossen ist, somit V hier kein Vektorraum.
Das reicht als Beweis völlig aus.
Sobald man etwas widerlegen will, sucht man ein Gegenbeispiel und fertig ist.
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Hallo WurzelPi,
nun ich hab bereits in meiner ganzen schriftlichen Ausarbeitung allgemein bewiesen ob es sich bei der gegebenen Menge um einen Vektorraum handelt oder nicht und wollte das fortlaufend fortführen.
Dies versuche ich komischerweise bei allen Beweisen, es könnte ja sein dass 1x ein Beispiel so hinhaut, dass ich das ich ein falsches Ergebnis dastehen habe.
Aber du hast recht im Grunde reicht es völlig, ein Zahlenbeispiel zu nehmen um zu zeigen dass es sich hierbei um keinen Vektorraum handelt.
Abgesehen davon stimmt der Beweis von mir ansonsten soweit?
Mfg Mark
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Do 20.01.2005 | | Autor: | Nimue |
Hi Mark
Ich versteh zwar nicht, warum du weniger Fehler einbaust, wenn du x und y anstatt zahlen verwendest, aber wenn du damit besser klarkommst... In manchen Fällen sind Zahlen aber für den gleichen Erfolg einfacher einzusetzten.
Zur Beweisform:
Am besten schreibst du das ganze ein bissl ordentlicher auf, z.b. in der Form:
Beh.: V ist kein VR
Bew. über Widerspruch:
... und dann dein Gegenbeispiel.
Ich hoffe ich hab deine Frage beantwortet.
Gruß
Nimue
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Do 20.01.2005 | | Autor: | deathclaw |
hi Nimue,
ja so in der Art hab ich es in der Hausarbeit aufgeschrieben.
Meine Frage wär damit vollkommen beantwortet ich wollte einfach nur noch ein Feedback haben, ob mein Beispiel so korrekt ist :).
Vielen Dank
Mfg Mark
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hi,
ich habe noch eine Frage und zwar hat mein Lehrer gemeint ich soll auch ein bischen auf andere Vektorräume eingehen und habe so neben den Funktionen noch eine Matrix angegeben, die ich im Internet gefunden habe.
Jedoch verstehe ich nicht was in der Matrix drinsteht, da wir Matrizen in der Form nie durchgenommen haben.
Und zwar gehts um eine n [mm] \*n [/mm] Matrix in dem Fall 2 [mm] \*2:
[/mm]
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
und zwar gehts mir um
[mm] a_{11} [/mm] , [mm] a_{12} [/mm] ich versteh nicht für was das steht
Danke schonmal
Mfg Mark
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Mark
> hi,
>
> ich habe noch eine Frage und zwar hat mein Lehrer gemeint
> ich soll auch ein bischen auf andere Vektorräume eingehen
> und habe so neben den Funktionen noch eine Matrix
> angegeben, die ich im Internet gefunden habe.
>
> Jedoch verstehe ich nicht was in der Matrix drinsteht, da
> wir Matrizen in der Form nie durchgenommen haben.
>
> Und zwar gehts um eine n [mm]\*n[/mm] Matrix in dem Fall 2 [mm]\*2:
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
>
> und zwar gehts mir um
> [mm]a_{11}[/mm] , [mm]a_{12}[/mm] ich versteh nicht für was das steht
Nun, wenn man die Matrix einfach einmal betrachtet als rechteckiges Schema mit Zeilen und Spalten, dann kann man den Platz, wo eine bestimmte Zahl in der Matrix stehen soll, einfach angeben, indem man die Variaben mit einem Doppelindex versieht. Der erste Index bedeutet dann die Zeilennummer, der zweite Index die Spaltennummer.
Zum Beispiel diese Matrix:
[mm] $\pmat{4&7\\9&3}$
[/mm]
Das würde dann heissen:
Der Eintrag in der 1. Zeile, 1. Spalte ist 4, also [mm] $a_{11}=4$
[/mm]
Der Eintrag in der 1. Zeile, 2. Spalte ist 7, also [mm] $a_{12}=7$
[/mm]
Der Eintrag in der 2. Zeile, 1. Spalte ist 9, also [mm] $a_{21}=9$
[/mm]
Der Eintrag in der 2. Zeile, 2. Spalte ist 3, also [mm] $a_{22}=3$
[/mm]
Vergleiche dazu vielleicht auch die Numerierung von Folgengliedern
[mm] $a_1, a_2, a_3, a_4 [/mm] ...$
Bedeutet auch: das 1. Folgenglied ist [mm] $a_1$, [/mm] das 2. Folgenglied ist [mm] $a_2$ [/mm] und so weiter.
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 So 23.01.2005 | | Autor: | deathclaw |
Hi Paul,
das habe ich jetzt verstanden, ich dachte [mm] a_{11}, x_{12} [/mm] ,etc stehen für eine bestimmte Zahl, dabei bestimmt der Index nur wo die Zahlen stehen, sind aber genauso beliebig wie ohne Index
Danke sehr.
Mfg Mark
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Hi,
ich hab mir gerade beim Schreiben meine Hausarbeit überlegt, was eigentlich die Basis von dem Vektorraum einer Funktion-2ten,3ten,etc Grades ist?
Bei Vektoren ist mir das klar aber bei einer Funktion?
Eine Basis ist ja nach der Definition das System das alle Elemente eines Vektorraumes bildet.
Wäre dann etwa die Funktion selber die Basis? Normalerweise spielt sich der Definitionsbereich einer Funktion im [mm] \IR^{2} [/mm] ab, dann müsste es doch auch 2 Basen geben.
*leicht verwirrt ist*
Mfg Mark
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Mark
> Hi,
>
> ich hab mir gerade beim Schreiben meine Hausarbeit
> überlegt, was eigentlich die Basis von dem Vektorraum einer
> Funktion-2ten,3ten,etc Grades ist?
>
> Bei Vektoren ist mir das klar aber bei einer Funktion?
>
> Eine Basis ist ja nach der Definition das System das alle
> Elemente eines Vektorraumes bildet.
>
> Wäre dann etwa die Funktion selber die Basis? Normalerweise
> spielt sich der Definitionsbereich einer Funktion im
> [mm]\IR^{2}[/mm] ab, dann müsste es doch auch 2 Basen geben.
>
> *leicht verwirrt ist*
>
Da bin ich auch verwirrt. Wie kommst du den darauf??
Ich gebe mal das Beispiel der Polynome 3. Grades.
Die haben ja die Form
[mm] $a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_2 x^2 +a_1 [/mm] x + [mm] a_0$
[/mm]
Wenn du jetzt alle Polynome herstellen wirst, kannst du nicht einfach diese Funktion als Basis nehmen.
Könnte man obigem Polynom nicht etwa, gefühlsmässig, die Koordinaten [mm] $(a_3, a_2, a_1, a_0)$ [/mm] zuordnen?
Wenn man die Funkton [mm] $x^3$ [/mm] als 1. Basisvektor nimmt, [mm] $x^2$ [/mm] als 2. Basisvektor, $x_$ als 3. Basisvektor und $1_$ als 4. Basisvektor, dann ist das tatsächlich so.
Das wäre dann so etwas wie eine natürliche Basis für die Polynome 3. Grades. Es gibt aber auch andere Basen. Die kann man genau gleich konstruieren wie bei dem, was du bisher unter Vektoren verstanden hast: addiere einfach zu einem Basisvektor eine Linearkombination der anderen Basisvektoren. Versuchs mal aus und spiele ein wenig damit herum, d.h. versuche dann, ein beliebiges Polynom 3. Grades mit Hilfe der neuen Basis herzustellen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mo 24.01.2005 | | Autor: | deathclaw |
hi Paul,
ja klar logisch.
*peinlich*
danke nochmal
Mfg Mark
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