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| Aufgabe | Es sei $K [mm] =\{\lambda = a+\wurzel{2}b |a,b \in \IQ\}$. [/mm] Welche Dimension hat
a) [mm] $K^n$ [/mm] als Vektorraum über $K$?
b) [mm] $K^n$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $\IQ$?
[/mm]
c) Welche Dimension besitzt der [mm] $\IR^n$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $\IQ$? [/mm] |
Was muss ich den da machen?
Ich hab überhaupt kein Ansatz!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Patrick65305,
> Es sei [mm]K =\{\lambda = a+\wurzel{2}b |a,b \in \IQ\}[/mm]. Welche
> Dimension hat
> a) [mm]K^n[/mm] als Vektorraum über [mm]K[/mm]?
> b) [mm]K^n[/mm] als Vektorraum über [mm]\IQ[/mm]?
> c) Welche Dimension besitzt der [mm]\IR^n[/mm] als Vektorraum über
> [mm]\IQ[/mm]?
> Was muss ich den da machen?
Du musst Dir überlegen, wie viele Vektoren Du mindestens benötigst, um eine Basis zu erhalten.
Der [mm] $K^n$ [/mm] ist die Menge aller n-Tupel, deren Einträge aus $K$ stammen.
zu a)
Man sagt, die Menge V ist ein Vektorraum "über K", wenn die Skalare des Vektorraums aus K stammen (und die Menge V natürlich die Vektoraumaxiome erfüllt).
Damit kommt man sehr schnell zu dem Schluss, dass [mm] $(1,0,\ldots,0,0), (0,1,\ldots,0,0),\ldots,(0,0,\ldots,1,0),(0,0,\ldots,0,1)$
[/mm]
i) linear unabhängig sind
ii) ein Erzugendensystem des [mm] $K^n$ [/mm] bilden.
Der [mm] $K^n$ [/mm] ist also also als Vektorraum über $K$ n dimensional.
zu b)
Hier reicht die in a) gefundene Basis nicht mehr aus, denn die Skalare stammen nun nur noch aus [mm] $\IQ$.
[/mm]
Zum Beispiel ist der Vektor
[mm] $(\wurzel{2},0,\ldots,0,0)$ [/mm] nicht mehr als Linearkombination unserer Vektoren aus a) darstellbar.
Naheliegend ist doch dann, die Basis um die Vektoren
[mm] $(\wurzel{2},0,\ldots,0,0), (0,\wurzel{2},\ldots,0,0),\ldots,(0,0,\ldots,\wurzel{2},0),(0,0,\ldots,0,\wurzel{2})$
[/mm]
zu erweitern.
Damit haben wir $2*n$ Vektoren, die den Bedingungen aus i) und ii) genügen. Der Vektorraum ist 2n-dimensional.
zu c)
Wegen [mm] $K^n\subset\IR^n$ [/mm] und der Tatsache, dass z.B. [mm] $(\pi,0,\ldots,0,0)$ [/mm] keine Linearkombination unserer Basis aus b) ist, reicht die Basis aus b) wieder nicht.
Und man wird vielleicht zeigen können, dass bereits die unendlich vielen Vektoren
[mm] $(\wurzel{p},0,\ldots,0)$, $p\in\IN, p\mbox{ prim }$
[/mm]
alle linear unabhängig sind, weswegen [mm] $\IR^n$ [/mm] über [mm] $\IQ$ [/mm] unendlich-dimensional sein wird.
Viele Grüße,
Marc
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