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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 So 05.10.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum (VR) über dem Körper [mm] \IK [/mm] und [mm] U_1,U_2 [/mm] Untervektorräume (UVR) von V.
Zeige: [mm] U_1\cup{}U_2 [/mm] ist genau dann ein UVR von V, wenn [mm] U_1\subseteq{U_2} [/mm] oder [mm] U_2\subseteq{U_1} [/mm] gilt. |
Hi,
ich habe mir einmal Gedanken dazu gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob meine Beweisführung schlüssig ist. Vielleicht könnt ihr ja mal drüber schauen und nachsehen, ob der Beweis formal und inhaltlich okay ist.
[mm] U_1\cup{U_2}=\{v\in{}V|v\in{U_1}\text{oder } v\in{U_2}\}
[/mm]
[mm] "\Rightarrow" [/mm]
[mm] \forall u\in{U_1},w\in{U_2} [/mm] und [mm] \lambda\in{K} [/mm] gilt
[mm] \lambda*u\in{U_1\cup{U_2}}, [/mm] da [mm] U_1 [/mm] UVR und somit [mm] \lambda*u\in{U_1} [/mm] und
[mm] \lambda*w\in{U_1\cup{U_2}}, [/mm] da [mm] U_2 [/mm] UVR und somit [mm] \lambda*w\in{U_2}
[/mm]
Ist [mm] U_1\cup{U_2} [/mm] UVR von V, so muss gelten:
[mm] \lambda*u+\lambda*w\in{U_1\cup{U_2}}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda*u+\lambda*w\in{U_1} [/mm] oder [mm] \lambda*u+\lambda*w\in{{U_2}}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda*u\in{U_1} [/mm] und [mm] \lambda*w\in{U_1} [/mm] oder [mm] \lambda*u\in{U_2} [/mm] und [mm] \lambda*w\in{{U_2}}
[/mm]
Nach Voraussetzung gilt jedoch [mm] \lambda*u\in{U_1} [/mm] und [mm] \lambda*w\in{{U_2}}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda*w\in{U_1} [/mm] oder [mm] \lambda*u\in{U_2}
[/mm]
[mm] \gdw w\in{U_1} [/mm] oder [mm] u\in{U_2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (da u und w beliebig) Für alle [mm] w\in{U_2} [/mm] gilt: [mm] w\in{U_1} [/mm] oder für alle [mm] u\in{U_1} [/mm] gilt: [mm] u\in{U_2}
[/mm]
[mm] \gdw U_2\subseteq{U_1} [/mm] oder [mm] U_1\subseteq{U_2}
[/mm]
Soweit die "Hinrichtung".
Die Rückrichtung habe ich für [mm] U_1\subseteq{U_2} [/mm] und [mm] U_2\subseteq{U_1} [/mm] getrennt gemacht. Stellvertretend sei eine Mgl gezeigt.
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] U_2\subseteq{U_1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall w\in{U_2} [/mm] gilt: [mm] w\in{U_1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall w\in{U_2}, u\in{U_1}, \lambda\in{K} [/mm] gilt [mm] \lambda*w+\lambda*u\in{U_1}, [/mm] da [mm] U_1 [/mm] UVR von V
[mm] \Rightarrow \lambda*w+\lambda*u=\lambda(w+u)\in{U_1\cup{U_2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow U_1\cup{U_2} [/mm] ist UVR von V.
Vielleicht könnt ihr mir hierzu mal ein Feedback geben; ist der Beweis schlüssig, nachvollziehbar?
Danke.
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mo 06.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo barsch,
dein Beweis sieht etwas umständlich aus. Überlege einfach mal so:
Wenn eine der beiden Teilmengenbeziehungen gilt, ist die Aussage trivial.
Wenn keine der Teilmengenbeziehungen gilt, dann gibt es sicher [mm] $u_1 \in U_1 \setminus U_2$ [/mm] und [mm] $u_2 \in U_2 \setminus U_1$. [/mm] Man sieht nun leicht, daß [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2$ [/mm] weder in [mm] $U_1$ [/mm] noch in [mm] $U_2$ [/mm] liegen kann (warum?).
LG
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Wenn eine der beiden Teilmengenbeziehungen gilt, ist die
> > Aussage trivial.
>
> So dürfte ich das aber im Leben nicht hinschreiben 
Naja es ist aber tatsächlich trivial, denn ist z.B. [mm] $U_1\subset U_2$, [/mm] dann ist [mm] $U_1\cup U_2=U_2$ [/mm] also ein UVR.
> Okay, Widerspruchsbeweis scheint wohl sinnvoller?!
> > Wenn keine der Teilmengenbeziehungen gilt, dann gibt es
> > sicher [mm]u_1 \in U_1 \setminus U_2[/mm] und [mm]u_2 \in U_2 \setminus U_1[/mm].
>
> Das würde ja zwangsläufig folgen aus der Annahme:
> [mm]U_1\not\subseteq{U_2}[/mm] und [mm]U_2\not\subseteq{U_1}.[/mm]
Genau.
> > Man sieht nun leicht, daß [mm]u_1 + u_2[/mm] weder in [mm]U_1[/mm] noch in
> > [mm]U_2[/mm] liegen kann (warum?).
>
> Das ist eine gute Frage. mhhhh ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Vielleicht kann
> man hier mit den Untervektorraum-Axiomen argumentieren.
>
> Wäre [mm]u_1+u_2\in{U_1},[/mm] dann müsste nach UVR-Axiomen
> [mm]u_1\in{U_1}[/mm] und [mm]u_2\in{U_1}[/mm] sein. [mm]u_2\in{U_1}[/mm] ist aber
> Widerspruch zur Annahme.
Dass [mm] $u_1\in U_1$ [/mm] ist, ist uninteressant. Wie genau folgt, dass dann [mm] $u_2\in U_1$ [/mm] sein müsste?
> Selbe Argumentation gilt für [mm]u_1+u_2\not\in{U_2}.[/mm]
Richtig.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 06.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Wie genau folgt, dass dann $ [mm] u_2\in U_1 [/mm] $ sein müsste?
ich weiß es nicht.
Ich denke jetzt schon längere Zeit darüber nach, komme aber einfach nicht auf des Rätsels Lösung.
> Wenn keine der Teilmengenbeziehungen gilt, dann gibt es sicher $ [mm] u_1 \in U_1 \setminus U_2 [/mm] $ und $ [mm] u_2 \in U_2 \setminus U_1 [/mm] $.
Der 1. Teil ist klar.
> Man sieht nun leicht, daß $ [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] $ weder in $ [mm] U_1 [/mm] $ noch in $ [mm] U_2 [/mm] $ liegen kann [mm] (\red{\text{warum?}}). [/mm]
Ich sehe das leider nicht so leicht. Vielleicht könnt ihr mich von meiner Unwissenheit erlösen? Ich scheine doch etwas auf meinem (umständlichen) Beweis festgefahren zu sein...
Wieso sollte auch ich das so leicht sehen?
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Wenn keine der Teilmengenbeziehungen gilt, dann gibt es
> > sicher [mm]u_1 \in U_1 \setminus U_2[/mm] und [mm]u_2 \in U_2 \setminus U_1 [/mm].
> > Man sieht nun leicht, daß [mm]u_1 + u_2[/mm] weder in [mm]U_1[/mm] noch in
> > [mm]U_2[/mm] liegen kann [mm](\red{\text{warum?}}).[/mm]
> Ich sehe das leider nicht so leicht. Vielleicht könnt ihr
> mich von meiner Unwissenheit erlösen? Ich scheine doch
> etwas auf meinem (umständlichen) Beweis festgefahren zu
> sein...
Wäre [mm] $u_1+u_2\in U_1$, [/mm] dann auch [mm] $(u_1+u_2)-u_1=u_2$, [/mm] Widerspruch zu [mm] $u_2\in U_2\setminus U_1$. [/mm] 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mo 06.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
in der Tat, klingt plausibel ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Danke.
MfG barsch
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